数理方程第二章 非齐次方程的解法-4

1、深圳大学电子科学与技术学院 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论分离变量法提要分离变量法提要: :深圳大学电子科学与技术学院)0,0(),(22222tLxtxfxvatv, 0),(0 xtxv)0(0),(ttxvLx),(),(0 xtxvt)(0 xtvt)0(Lx 有界弦的强迫振动有界弦的强迫振动: : 弦长度为弦长度为L, ,两

2、端固定两端固定, ,任意初始任意初始条件。条件。定解问题为：定解问题为： 强迫弦振动强迫弦振动非齐次泛定方程非齐次泛定方程及任意初始条件及任意初始条件深圳大学电子科学与技术学院)0,0(22222tLxxuatu, 0),(0 xtxu)0(0),(ttxuLx),(),(0 xtxut)(0 xtut)0(Lx 有界弦的自由振动有界弦的自由振动: : 弦长度为弦长度为L, ,两端固定两端固定, ,任意初任意初始位移始位移, ,任意初始速度。定解问题为：任意初始速度。定解问题为：（1）（2）（3）回顾齐次方程的弦振动问题：深圳大学电子科学与技术学院xLntLnaDtLnaCtxunnnsins

3、incos),(1 一般解是按本征函数集的展开一般解是按本征函数集的展开: :, 3, 2, 1sinnxLn将定解问题的解直接按本征函数集展开将定解问题的解直接按本征函数集展开,而展开系数是时间而展开系数是时间 t 的函数的函数:xLntTtxunnsin)(),(1（6）（4）（5）启示：启示：显示：显示：弦振动:一般解深圳大学电子科学与技术学院 将展开式将展开式(6)代入方程代入方程(1), 得到得到 两边关于两边关于 比较系数：比较系数： 它的通解为它的通解为 xLntTLnaxLntTnnnnsin)(sin)(2121 xLnsin0)()(2 tTLnatTnntLnaDtLna

4、CtTnnnsincos)(7)(7)(8)(8)求时间解:与前面使用分离变量法得到的结果完全相同！与前面使用分离变量法得到的结果完全相同！深圳大学电子科学与技术学院xxuxuxxcos0sin00022222xuatu222xuatu 边界条件边界条件 本征函数集本征函数集）（00)()( xXxXcossin)(sincos)(xBxAxXxBxAxX本征函数集空间部分：对于弦振动方程和热传导方程：深圳大学电子科学与技术学院, 3, 2, 1cos0, 0, 3, 2, 1sin0, 0, 2, 1, 02) 12(cos0, 0, 2, 1, 02) 12(sin0, 0, 2, 1,

5、0cos0, 0, 3, 2, 1sin0, 0000000nxLxuhuxunxLxuhuunxLnuxunxLnxuunxLnxuxunxLnuunLxxnLxxLxxLxxLxxLxx22222xuatu边界条件边界条件 本征函数集本征函数集222xuatu本征函数集（ ， ）深圳大学电子科学与技术学院对于齐次泛定方程和齐次边界条件，求解空对于齐次泛定方程和齐次边界条件，求解空间函数的边值问题间函数的边值问题： 即可得到本征函数集：即可得到本征函数集：边界条件)()(xXxXFnnnx)(xXn一般情况：如何得到本征函数集？深圳大学电子科学与技术学院选择空间函数的本征函数集选择空间函数的

6、本征函数集 ，写出，写出泛定方程的形式解：泛定方程的形式解：将形式解代入泛定方程，直接得到时间函数将形式解代入泛定方程，直接得到时间函数 的常微分方程，例如弦振动：的常微分方程，例如弦振动：3. 3. 本征函数法能用来求解齐次和非齐次泛定方本征函数法能用来求解齐次和非齐次泛定方程的定解问题程的定解问题)()(),(xXtTtxunnn)(xXn0)()(2 tTLnatTnn本征函数法的要点和优点:深圳大学电子科学与技术学院)0,0(),(22222tLxtxfxvatv, 0),(0 xtxv)0(0),(ttxvLx, 0),(0ttxv00ttv)0(Lx 有界弦的强迫振动有界弦的强迫振

7、动: : 弦长度为弦长度为L, ,两端固定两端固定, ,齐次初始齐次初始条件。条件。定解问题为：定解问题为：（1 1）（2 2）（3 3） 强迫弦振动强迫弦振动非齐次泛定方程非齐次泛定方程及齐次初始条件及齐次初始条件例例1：深圳大学电子科学与技术学院),(sin)()(21txfxLntTLnatTnnn xLntTtxvnnsin)(),(1由于相应的齐次问题由于相应的齐次问题 1.1.齐次方程；齐次方程；2. 2. 的本征的本征函数集为函数集为故将现在的非齐次定解问题的解按该本征函数集故将现在的非齐次定解问题的解按该本征函数集展开展开, ,而展开系数是时间而展开系数是时间 t 的函数的函数

8、: :代入代入(1):(1):（4 4）（5 5）, 3, 2, 1sinnxLn( (满足边界条件满足边界条件) )000Lxxuu强迫弦振动深圳大学电子科学与技术学院xLntftxfnnsin)(),(1将自由项将自由项( (已知函数已知函数) )也按该本征函数集展开也按该本征函数集展开: :xLntfxLntTLnatTnnnnnsin)(sin)()(121 LnxdxLntxfLtf0sin),(2)(其中：将将(6)代入代入(5)(5)右边右边: :（6 6）是展开系数是展开系数深圳大学电子科学与技术学院 0)0( , 0)0(0)()()(2nnnnnTTtftTLnatT这个初

9、值问题可用这个初值问题可用拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法求解求解（7 7）（8 8）求解初值问题：深圳大学电子科学与技术学院函数函数 的拉普拉斯变换定义为积分的拉普拉斯变换定义为积分这个积分的结果是参数这个积分的结果是参数 p 的函数，它称为函数的函数，它称为函数 的的拉普拉斯变换的象函数，记为拉普拉斯变换的象函数，记为)(tdtetpt0)()(t)(p（原函数）（原函数） （象函数）（象函数） peptpCCt112pdteepetpdtetpttpCdteCpCtptttptpt1)(,)(1)()()()(0200，)()(pt拉普拉斯变换：拉普拉斯变换：深圳大学电子科学与技术学院

10、如果如果 则有则有 证明：证明：)()(pt)0()()(ppdttd)()0()()()()(0000)(ppdtetpptetddtedttddttdptptptet原函数导数的象函数：原函数导数的象函数：深圳大学电子科学与技术学院 如果如果 那么那么 )()(pt)0( )0()()(222pppdttd)0()()(ppdttd深圳大学电子科学与技术学院卷积定理：如果象函数卷积定理：如果象函数 可以写成乘积形式：可以写成乘积形式： 而而 的原函数分别为的原函数分别为 则则 的原函数是的原函数是 的卷积：的卷积：)()()(21ppp)(p)(),(21pp)(),(21tt)(p)()

11、(21tt和dttttpt)()()()()()(20121卷积定理：卷积定理：由象函数求原函数由象函数求原函数深圳大学电子科学与技术学院 已知象函数已知象函数 ，求原函数，求原函数 解：解：) 1(1)(2ppp11)(,1)(111) 1(1)(22122ppppppppp)(ttettt)(,)(21ttttetdedtttt1)()()()()(020121注意：由象函数注意：由象函数求原函数的过程求原函数的过程称为称为“反演反演”例题：由象函数求原函数深圳大学电子科学与技术学院0)0( , 0)0(0)()()(2 nnnnnTTtftTLnatT函数函数Tn(t)的拉氏变换的拉氏变

12、换:)()(0pTdtetTnptn)()()()0()0()()( )()0()()()()(22pftfpTpTpTpTptTpTpTpTptTpTtTnnnnnnnnnnnnn原函数原函数 象函数象函数（7 7）（8 8）采用拉普拉斯变换求解初值问题：深圳大学电子科学与技术学院0)()()(22pfpTLnapTpnnn 0)0( , 0)0(0)()()(2nnnnnTTtftTLnatT)( pTn对对(7)式两边作拉氏变两边作拉氏变换，给出代数方程：换，给出代数方程：初值问题初值问题现在对现在对 反演反演, ,以求出以求出22)()(LnappfpTnn)(tTn（7 7）（8 8

13、）深圳大学电子科学与技术学院dtLnafnaLtTtnn)(sin)()(0tLnanaLLnapsin122 由卷积定理得到原函数由卷积定理得到原函数:有有 和和 22221)()()(LnappfLnappfpTnnn象函数象函数:)()(tfpfnn（查表）（查表）深圳大学电子科学与技术学院代入代入 最后得到最后得到xLntTtxvnnsin)(),(1dtLnafnaLtTtnn)(sin)()(0 xLndtLnafnaLtxvtnnsin)(sin)(),(01LnxdxLnxfLf0sin),(2)(其中：强迫弦振动的结果强迫弦振动的结果：深圳大学电子科学与技术学院 )()()(

14、2222tftTlnatTnnn 0)0(,0)0( nnTT)()()(tftATtTnnn 原原方方程程写写成成)()()(tATtftTnnn 移移项项整整理理得得)()()(tTAtftTtddnnn 可可以以被被改改写写为为 ctdtTAtftTtnntn )()()(0积积分分一一次次得得对对补补充充资资料料),(2222无关。与常数令tAlna。可确定积分常数可确定积分常数依据条件依据条件cTn,0)0( ctdtTAtftTdtdnntn )()()(0。可可确确另另一一个个定定积积分分常常数数一一条条件件再再积积分分一一次次，并并依依据据另另对对,0)0( nTt二阶常微，附

15、加两个条件，通过积分两次，总可以找到原函数。深圳大学电子科学与技术学院)0,0(),(22222tLxtxfxwatw, 0),(0 xtxw)0(0),(ttxwLx)0(Lx 有界弦的强迫振动有界弦的强迫振动: : 弦长度为弦长度为L, ,两端固定两端固定, ,任意任意初始位移初始位移, ,任意初始速度任意初始速度, ,定解问题为：定解问题为：（8）（9）（10）非齐次泛定方程非齐次泛定方程及任意初始条件及任意初始条件),(),(0 xtxwt)(0 xtwt)0,0(),(22222tLxtxfxwatw, 0),(0 xtxw)0(0),(ttxwLx)0(Lx ),(),(0 xtx

16、wt)(0 xtwt强迫弦振动例例2：深圳大学电子科学与技术学院)0,0(),(22222tLxtxfxwatw, 0),(0 xtxw)0(0),(ttxwLx)0(Lx ),(),(0 xtxwt)(0 xtwt),(),(),(txvtxutxw22222xuatu, 0),(0 xtxu0),(Lxtxu),(),(0 xtxut)(0 xtut),(22222txfxvatv, 0),(0 xtxv0),(Lxtxv, 0),(0ttxv00ttv从物理学的观点从物理学的观点来看，叫运动的来看，叫运动的叠加叠加从军事学策略的从军事学策略的观点来看，叫观点来看，叫“各个击破，分各个击破

17、，分而食之。而食之。”一分为二深圳大学电子科学与技术学院xLntLnaDtLnaCtxunnnsinsincos),(1xdxLnxanDxdxLnxLCLnLnsin)(2sin)(200LnxdxLnxfLf0sin),(2)(),(),(),(txvtxutxwxLndtLnafnaLtxvtnnsin)(sin)(),(01最后结果：分离变量法求解本征函数法求解深圳大学电子科学与技术学院xLntTxLntLnaDtLnaCtxuunnnnnsin)(sinsincos),()(11xLntTxLntTtTxLntTxLntTtxvtxutxwnnvnunnvnnunnsin)(sin)

18、()(sin)(sin)(),(),(),(1)()(1)(1)(1xLntTxLndtLnafnaLtxvvnntnnsin)(sin)(sin)(),()(101在实际应用中，往往不必分成两个定解问题，可以合在实际应用中，往往不必分成两个定解问题，可以合二为一：直接设二为一：直接设 ， 代入方程及初始条代入方程及初始条件，求出展开系数件，求出展开系数 。下面举例说明。下面举例说明。xLntTtxwnnsin)(),(1)(tTn非齐次方程：“合二为一”深圳大学电子科学与技术学院例例3：有界杆的长度为有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有热，其两端保持绝热，内有热源。已知杆内初始温度分布，关

19、于杆内任意时刻的源。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：温度分布的一个定解问题为：0, 0)()0,0(),(00222LxxtxuxuxutLxtxfxuatu(1)(2)(3)有源热传导：定解问题深圳大学电子科学与技术学院),2, 1,0(cosnxLnxLntTtxunncos)(),(0已知相应的齐次问题已知相应的齐次问题 1. .齐次方程，齐次方程，2. . 的本征函的本征函数集为数集为故本定解问题的形式解为：故本定解问题的形式解为：为了后面的需要，将源项也按该本征函数集展开：为了后面的需要，将源项也按该本征函数集展开：其中其中,cos),(2)(,),

20、(1)(cos)(),(0000dxxLntxfLtfdxtxfLtfxLntftxfLnLnn(4)(5)000Lxxxuxu有源热传导：本征函数法深圳大学电子科学与技术学院)(cos)0(cos)(cos)()(0020 xxLnTxLntfxLntTLnatTnnnnnnn将将(4)(4)和和(5)(5)代入代入(1)(1)和和(2):(2):（6）（7）（8）（9）nnnnnCTtftTLnatT)0()()()(2,cos)(2,)(1000dxxLnxLCdxxLCLnL即即其中其中有源热传导：本征函数法深圳大学电子科学与技术学院函数函数Tn(t)的拉氏变换的拉氏变换:)()(0p

21、TdtetTnptn)()()()0()()()()(pftfCpTpTpTptTpTtTnnnnnnnnn原函数原函数 象函数象函数nnnnnCTtftTLnatT)0()()()(2（8）（9）采用拉普拉斯变换求解初值问题：深圳大学电子科学与技术学院)()()(2pfpTLnaCpTpnnnn)( pTn对对 (8) 式两边作拉氏式两边作拉氏变换，给出代数方程变换，给出代数方程: :初值问题初值问题现在对现在对 反演反演, ,以求出以求出)(tTnnnnnnCTtftTLnatT)0()()()(2（8）（9）2)()(LnappfCpTnnn深圳大学电子科学与技术学院pAAet2221)

22、()()(LnappfLnapCLnappfCpTnnnnndtLnaftLnaCtTtnnn)(exp)(exp)(202积分项表示热源的作用，它不存在时，积分项表示热源的作用，它不存在时，约化为无源热传导的结果约化为无源热传导的结果,cos)(2,)(1000dxxLnxLCdxxLCLnL深圳大学电子科学与技术学院xLntLnaCCtxunncosexp),(210 利用傅里叶系数公式利用傅里叶系数公式, ,得到得到xLnCCxnncos)(10LnLxdxLnxLCdxxLC000cos)(2)(1C0是本征是本征值值 相相应的特解应的特解X0(x) = A 0无源热传导深圳大学电子科

23、学与技术学院例例4：有界杆的长度为有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有周，其两端保持绝热，内有周期性变化的热源。已知杆内初始温度分布，关于杆期性变化的热源。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：内任意时刻的温度分布的一个定解问题为：0, 00)0,0(sin00222LxxtxuxuutLxtAxuatu( (1) )( (2) )( (3) )有源热传导问题深圳大学电子科学与技术学院解：有源热传导的一般情况解：有源热传导的一般情况现在的条件：现在的条件：dxxLntxfLtfdxtxfLtfLnL000cos),(2)(,),(1)(nnnnnCTtftTLna

24、tT)0()()()(2)0(0)(,sin),(nCxtAtxf0cossin2)(sinsin1)(000dxxLntALtftAdxtALtfLnL0)0(sin)(:000TtAtTn0)0(0)()(:02nnnTtTLnatTn0exp)0()(2tLnaTtTnn)cos1 ()(0tAtT)cos1 (cos)(),(0tAxLntTtxunn结果：结果：dxxLnxLCdxxLCLnL000cos)(2)(1深圳大学电子科学与技术学院 在环形区域在环形区域 内求解定解问题：内求解定解问题： byxa220, 0)(122222222222byxayxnuuyxyuxuabxy

25、用极坐标系用极坐标系sincosyx, 0, 02cos12112222bauuuu(1)(2)例例5：本征函数法求解泊松方程深圳大学电子科学与技术学院考虑到相应的齐次方程的角向解：考虑到相应的齐次方程的角向解：现在用它作为本征函数集，构成定解问题（1）和（2）的一般解：注意：注意：现在的本征函数集不是单个的现在的本征函数集不是单个的sin或或cos函数函数，而是二者的组合而是二者的组合。在这种情况下，需要确定两个展开。在这种情况下，需要确定两个展开系数系数将（将（3）代入（）代入（1）得到：）得到：nBnAsincos)(), 2, 1, 0(n0sin)(cos)(),(nnnnBnAu(

26、3)()(nnBA和深圳大学电子科学与技术学院2cos12sin)()(1)(cos)()(1)(202222nnnnnnnnBnBBnAnAA0)()(1)()2(0)()(1)(12)(4)(1)(222222222nnnnnnBnBBnAnAAAAA两边比较关于两边比较关于 的系数：的系数：nnsin,cos条件（条件（2 2）导致：）导致：0)( , 0)( 0)(, 0)(bBbAaBaAnnnn(5)(4)(6)(7)(8)深圳大学电子科学与技术学院)2(0)()(1)(22 nAnAAnnn0)()(1)(22nnnBnBB上面两个方程，都是齐次上面两个方程，都是齐次 Euler

27、 方程，它们的通解分别为方程，它们的通解分别为)2()( ndcAnnnnn )3 , 2 , 1()( ndcBnnnnn )0(ln)(000 ndcA )0(ln)(000 ndcB )2(0)()()(22 nAnAAnnn0)()()(22nnnBnBB深圳大学电子科学与技术学院)2()( ndcAnnnnn )3 , 2 , 1()( ndcBnnnnn 其中，其中， ，都是任意常数，考虑到之前捆绑边界条件的结果，都是任意常数，考虑到之前捆绑边界条件的结果nnnndcdc ,)2(0)( nAn 0)( nB)7(0)()(bAaAnn)8(0)()(bBaBnn显然，可以断定显然，可以断定分分别别在在特特殊殊点点、以以及及其其导导函函数数、函函数数）（)()()()(.1 nnnnBABA的值为零；的值为零；、ba 都都是是任任意意常常数数。）（nnnndcdc ,.2在这种情况下，只有一种可能，就是上述的四个任意常数都等于零，才会有此结果。这是由于深圳大学电子科学与技术学院222212)(2)(1)( AAAnn)2( n222212)(2)(1)( AAA