线性代数第4章

1、第二章：n 维向量（回顾）n n 维向量及其运算维向量及其运算（定义，性质，内积）（定义，性质，内积）向量的线性相关性向量的线性相关性（相关、判断相关性、与矩阵关系）（相关、判断相关性、与矩阵关系）向量组的秩向量组的秩（极大无关组求法、秩的求法）（极大无关组求法、秩的求法）向量空间向量空间（基、维数、坐标求法）（基、维数、坐标求法）向量组的正交性和正交矩阵向量组的正交性和正交矩阵（正交化，正交矩阵）（正交化，正交矩阵）1 1第四章：矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量相似矩阵相似矩阵的定义与性质。的定义与性质。特征值特征值、特征向量特征向量的定义、求法与性质。的定义、求法与性

2、质。矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化与对角阵相似的条件。与对角阵相似的条件。对角化对角化方法。方法。实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化性质，对角化。性质，对角化。矩阵的矩阵的合同合同。2 24.1 矩阵的特征值与特征向量：相似矩阵3 3定义定义4.1.14.1.1 设设 A A 与与 B B 都是都是 n n 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在 P P，使，使得得 B B= =P P-1-1APAP，则称，则称 A A 与与 B B 相似相似。记作。记作 A BA B，P P为为相似变换矩阵相似变换矩阵。相似也是一种等价关系：相似也是一种等价关系：自反性；对称性；传递性自反性；对称性；传递

3、性性质：性质：(1) (1) 若若 A A B B，则，则 r r(A)=(A)=r r(B)(B)；反之不然；反之不然；(2) (2) 若若 A A B B，则，则 |A|=|B|A|=|B|；(3) (3) 若若 A A B B，则，则 A A 与与 B B 同时可逆或不可逆，且可逆同时可逆或不可逆，且可逆时有时有 A A-1-1 B B-1-1；(4) (4) 若若 A A B B，则，则 f f( (A A) ) f f( (B B) )；f f( (x x) )为多项式函数。为多项式函数。4.1 矩阵的特征值与特征向量4 4将矩阵将矩阵 A A 看做线性变换。看做线性变换。问题：对于

4、一个给定的问题：对于一个给定的 n n 阶矩阵阶矩阵 A A，是否存在，是否存在 n n 元非元非零向量零向量 a a, ,使得使得 Aa Aa 与与 a a 平行？如果有，平行？如果有，a a 如何求？如何求？例例4.1.1 4.1.1 设设 n n 阶方阵阶方阵 A A 为数量矩阵为数量矩阵 kEkEn n，求使得，求使得 A A = = 的非零向量的非零向量 以及常数以及常数 。例例4.1.2 4.1.2 验证验证 A A = = ； A A 。定义定义4.1.24.1.2 设设 n n 阶方阵阶方阵 A A ，以及数，以及数 ，若存在非零向，若存在非零向量量 使得使得A A = = ，

5、则，则 为矩阵为矩阵 A A 的的特征值特征值， 为矩阵为矩阵 A A 对应特征值对应特征值 的的特征向量特征向量。Aaa.21;11;0110A4.1 矩阵的特征值与特征向量5 5特征值问题针对于方阵而言！特征值问题针对于方阵而言！特征向量为非零向量！特征向量为非零向量！特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定。向量所唯一确定。 证明：证明：1 1）AA 0 0 对任意的对任意的k kP P, , k k0, 0, A A ( (kk) ) kAkAk k( ( 0 0 ) ) 0 0( (kk) . ) . 即即: : 凡凡 k

6、k都是都是A A 的属于的属于 0 0的特征向量的特征向量. . 设设 是是A 的属于特征值的属于特征值 1 , 2 特征向量特征向量 A = = 1 1 = = 2 2 ( ( 1 1- - 2 2) ) = 0 = 0 因因 0, 0, 故故 1 1 - - 2 2 = 0 = 0 1 1 = = 2 2。4.1 矩阵的特征值与特征向量：求法6 6定义定义4.1.14.1.1 设设 A A 与与 B B 都是都是 n n 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在 P P，使，使得得 B B= =P P-1-1APAP，则称，则称 A A 与与 B B 相似相似。记作。记作 A BA B，P P为为相似

7、变换矩阵相似变换矩阵。定义定义4.1.24.1.2 设设 n n 阶方阵阶方阵 A A ，以及数，以及数 ，若存在非零，若存在非零向量向量 使得使得A A = = ，则，则 为矩阵为矩阵 A A 的的特征值特征值， 为为矩阵矩阵 A A 对应特征值对应特征值 的的特征向量特征向量。 OEAA)(的非零解是方程组OXEA)(0EA为特征值；的数满足0EA的非零解为特征向量。方程组0)(XEA基础解系基础解系4.1 矩阵的特征值与特征向量：求法7 7定义定义4.1.14.1.1 对对 n n 阶矩阵阶矩阵 A A： f f( ( ) )称为矩阵称为矩阵 A A 的的特征多项式特征多项式，方程为，方

8、程为特征方程特征方程，其，其根为根为 A A 的的特征根特征根，矩阵，矩阵 A A- - E E 为矩阵为矩阵 A A 的的特征矩阵特征矩阵，方程组方程组 ( (A A- - E E) )X X=0 =0 为为 A A 的的特征方程组特征方程组。其解为。其解为 A A 关于关于 的的特征向量特征向量。0|)(212222111211nnnnnnaaaaaaaaaEAf4.1 矩阵的特征值与特征向量：求法8 8定理定理 三角三角矩阵矩阵的的特征值的求法：特征值的求法：若若 A A 为一个为一个 n n的三角的三角矩阵矩阵，则其特征值为则其特征值为其其主对角线主对角线上的元素上的元素 。例例 求求

9、对对角角矩阵矩阵及三角及三角矩阵矩阵的的特征值：特征值：(i). (i). A A 的特征值就是特征方程的解；的特征值就是特征方程的解；(ii). (ii). 特征方程在复数范围内一定有特征方程在复数范围内一定有 n n 个根（重根按重数计个根（重根按重数计算）。因此，算）。因此，n n 阶方阵阶方阵A A有有 n n 个特征值。个特征值。(iii). (iii). 实矩阵的特征值不一定是实数，复数特征值是共轭实矩阵的特征值不一定是实数，复数特征值是共轭 成成对出现的；对出现的；335011002)(Aa3000004000000000002000001)(Ab4.1 矩阵的特征值与特征向量：

10、求法9 9求法步骤：求法步骤：(1) (1) 计算计算 A A 的特征多项式的特征多项式 f f( ( )=|)=|A A- - E E| |；(2) (2) 求特征方程式求特征方程式 f f( ( )=|)=|A A- - E E|=0 |=0 的全部根，他们就是的全部根，他们就是 A A 的全部特征值；的全部特征值；(3) (3) 对对 A A 的每个特征值的每个特征值 i i，求出其所对应特征方程组，求出其所对应特征方程组 ( (A A- - i i E E) )X X=0 =0 的一个基础解系的一个基础解系 1 1, , 2 2 , , t t，他们就是，他们就是 A A 的对的对应应

11、 i i 的一组线性无关的特征向量，的一组线性无关的特征向量，A A 的对应于的对应于 i i 的全部的全部特征向量为：特征向量为： k1, k2 , kn-r 为不全为零的任意常数。为不全为零的任意常数。ttkkk22114.1 矩阵的特征值与特征向量：求法1010例例4.1.3 / 4.1.4 4.1.3 / 4.1.4 求矩阵的特征值和特征向量：求矩阵的特征值和特征向量：例例4.1.5 4.1.5 求矩阵的特征值和特征向量：求矩阵的特征值和特征向量：122212221A201034011BaaaaaaaaaA4.1 矩阵的特征值与特征向量：求法1111的特征值；为kAki)(的特征值；为

12、mmAii)(的特征值；为为多项式函数)()()()(Axiii的特征值；为11)(Aiv的特征值；为AAv)(.)(的特征值为TAvi可逆。A4.1 矩阵的特征值与特征向量：性质1212性质性质4.1.14.1.1 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 的相异特征值的相异特征值 1 1, , 2 2, , , , m m 对应的特征向量对应的特征向量 1 1, , 2 2 , , mm 线性无关。线性无关。推论推论 性质性质4.1.24.1.2 相似矩阵有相同的特征值。相似矩阵有相同的特征值。性质性质4.1.34.1.3 n n 阶矩阵与其转置矩阵有相同的特征值。阶矩阵与其转置矩阵有相同的特征值。1

13、212121211121221212,immmiiirmrmrrmiiinAr阶矩阵 的相异特征值为 ， ， ，是特征值 所对应的线性无关的特征向量，则个特征向量， ，线性无关。4.1 矩阵的特征值与特征向量：性质1313性质性质4.1.44.1.4 设设 n n 阶矩阵阶矩阵 A A = ( = (a aij ij) )n nn n的特征值的特征值 1 1, , 2 2, , , , n n ，则：，则：(1) (1) 1 1+ + 2 2+ n n = = a a1111+ +a a2222+a annnn; ;(2)(2) 1 1 2 2 n n = |= |A A|.|.矩阵矩阵A A

14、的迹：的迹： 例例4.1.7 4.1.7 设设 1 1和和 2 2 为矩阵为矩阵 A A 的两个互异特征值，的两个互异特征值， 1 1 和和 2 2 分别是他们对应的特征向量。证明：分别是他们对应的特征向量。证明： k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2 不是不是 A A 的特征向量（的特征向量（ k k1 1k k2 2 非零）。非零）。例例4.1.8 4.1.8 设设 3 3 阶方阵阶方阵 A A 的特征值为的特征值为 -1, 0, 1-1, 0, 1，试求，试求| |A A - 5- 5E E| |。11221nnniiitrAaaaa作业第四章习题：第四章习题：3, 4, 53

15、, 4, 5。14144.1 矩阵的特征值与特征向量1515定理定理（哈米尔顿（哈米尔顿- -凯莱凯莱(Hamilton-Caylay)(Hamilton-Caylay)定理）设定理）设A A是数域是数域 P P 的一个的一个 n n 级方阵，级方阵，A A 的特征多项式是：的特征多项式是： 则：则：定理定理（特征空间）（特征空间）若若 A A 为为一一 n n n n 矩阵，且矩阵，且 为为 A A 的的一个特征值，则对应于一个特征值，则对应于 的所有特征向量与零向量的所有特征向量与零向量可构成一个可构成一个 R Rn n 的子空间，称之为特征空间或属于的子空间，称之为特征空间或属于 的特征

16、子空间。的特征子空间。12120( ).nnnnnfEAppp12120( ).0nnnnnn nf AApApAp E4.1 矩阵的特征值与特征向量：求法1616例例：平面中的：平面中的特征特征空空间：间： 求下列求下列矩阵矩阵的特的特征征值及值及所所对应对应的的特征空间特征空间就就几何几何上上来说来说，矩阵矩阵 A A 与与在在 R R2 2 中的向量的中的向量的乘积为对乘积为对称于称于 y y 轴轴的映射的映射。对应于对应于 = -1= -1 的的特特 征空间为征空间为 x x 轴轴 。对应于对应于 = 1= 1 的的特特 征空间为征空间为 y y 轴轴 。1001A4.1 矩阵的特征值

17、与特征向量：求法1717例例：求求特征特征值、值、特征特征向量向量与与每每个特征个特征值所值所对应特征对应特征空间空间的的维度：维度：若若特征特征值值 1为为特特征多项式征多项式的的 k k个个重根，重根，则则 1 的重的重数数(multiplicity)为为k k。特征特征值的重值的重数数往往往往会大于会大于或或等于等于其特其特征空间的维度征空间的维度, ,对应着为特征方程的解空间的维数对应着为特征方程的解空间的维数200020012A4.1 矩阵的特征值与特征向量：求法1818在数学上，矩阵表示线性变换，因此上面讨论的特在数学上，矩阵表示线性变换，因此上面讨论的特征问题实际上为空间的变换问

18、题：征问题实际上为空间的变换问题：试考虑下列二维空间的线性变换：试考虑下列二维空间的线性变换：向量顺时针旋转向量顺时针旋转9090o o; ;向量关于向量关于 y y 轴取对称向量；轴取对称向量；向量关于向量关于 x x = = y y 取对称向量；取对称向量；向量取反方向向量；向量取反方向向量；向量取在向量取在 x x 轴的投影。轴的投影。作业今天没有作业！今天没有作业！ 1919山东大学，刘丙强山东大学，刘丙强2010.11.112010.11.11（1818）线性代数线性代数2020山东大学，刘丙强山东大学，刘丙强2011.05.232011.05.23 （1212）线性代数线性代数21

19、214.1 矩阵的特征值与特征向量：2222定义定义4.1.14.1.1 设设 A A 与与 B B 都是都是 n n 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在 P P，使，使得得 B B= =P P-1-1APAP，则称，则称 A A 与与 B B 相似相似。记作。记作 A BA B，P P为为相似变换矩阵相似变换矩阵。定义定义4.1.24.1.2 设设 n n 阶方阵阶方阵 A A ，以及数，以及数 ，若存在非零，若存在非零向量向量 使得使得A A = = ，则，则 为矩阵为矩阵 A A 的的特征值特征值， 为为矩阵矩阵 A A 对应特征值对应特征值 的的特征向量特征向量。性质性质4.1.14.1.1

20、 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 的相异特征值的相异特征值 1 1, , 2 2, , , , m m 对应的特征向量对应的特征向量 1 1, , 2 2 , , mm 线性无关。线性无关。性质性质4.1.44.1.4 设设 n n 阶矩阵阶矩阵 A A = ( = (a aij ij) )n nn n的特征值的特征值 1 1, , 2 2, , , , n n ，则：，则：(1) (1) 1 1+ + 2 2+ n n = = a a1111+ +a a2222+a annnn; ;(2)(2) 1 1 2 2 n n = |= |A A|. |. 4.2 矩阵的相似对角化2323定义定义4.

21、1.14.1.1 设设 A A 与与 B B 都是都是 n n 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在 P P，使得使得 B B= =P P-1-1APAP，则称，则称 A A 与与 B B 相似相似。记作。记作 ABAB，P P为为相似变换矩阵相似变换矩阵。AB AB A A B, B, 反之不对。反之不对。对角阵：最简单的矩阵。对角阵：最简单的矩阵。性质性质4.1.44.1.4在对角阵上的情况。在对角阵上的情况。矩阵是否与对角阵相似？矩阵是否与对角阵相似？ 相似，与对角阵设AAPPPn1，使阶可逆阵存在一个4.2 矩阵的相似对角化2424定理定理4.2.14.2.1 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 与

22、对角阵相似的充要条件为与对角阵相似的充要条件为 A A 有有 n n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 推论推论 若若 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 有有 n n 个相异特征值个相异特征值 1 1, , 2 2, , , , n n，则，则 A A 一定与对角阵一定与对角阵 相似且：相似且：n211201A证明 为不可对角化矩阵4.2 矩阵的相似对角化2525看下列矩阵是否能够对角化：看下列矩阵是否能够对角化：互异的互异的 n n 个特征值个特征值 与对角阵相似；反之不然。与对角阵相似；反之不然。定理定理4.2.2 4.2.2 若若 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 有有 mm 个相异

23、特征值个相异特征值 1 1, , 2 2, , , , mm，其重数分别为，其重数分别为 r r1 1, , r r2 2, , , , r rm m 且且 ，则则 A A 与对角阵与对角阵 相似的充要条件为：相似的充要条件为：300100121A222212221Anrmii1iirnEAr)(4.2 矩阵的相似对角化2626矩阵相似对角化的步骤：矩阵相似对角化的步骤：nnnAPPPnAAii2112121),(,)(，则有，并令向量个线性无关的特征的与对角阵相似时，求出当不与对角阵相似。则一定与对角阵相似；否时，当的重数为每个中互异的为与对角阵相似；若则互异，若的所有特征值求出AAmirn

24、EArrAAiiiiimnnn, 2 , 1,)(,)(212121214.2 矩阵的相似对角化2727例例4.2.1 4.2.1 判断矩阵能否相似于对角阵，并求相似变判断矩阵能否相似于对角阵，并求相似变换矩阵：换矩阵： 例例4.2.2 4.2.2 设设 =(1,=(1,a a2 2,a an n) )， =(1, =(1,b b2 2,b bn n) )，A A= = T T 且且 1+ 1+ a a2 2b b2 2+a an nb bn n = =a a；证明：；证明：当当 a a = 0 = 0 时，时， A A 不能与对角阵相似；不能与对角阵相似；当当 a a 0 0 时，时， A

25、A 能与对角阵相似。能与对角阵相似。例例4.2.3 4.2.3 求求 A Ak：100120011,314020112,101131002CBA340430241A4.3 实对称矩阵的相似对角化：性质2828并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称矩并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称矩阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵的几个特征，说明它一定能相似对角化。的几个特征，说明它一定能相似对角化。11()()(,)(,).:, ,)( ,)|ijijTTnnTAaAaxxxxxxABAB xyxyABABkAk A kxkxAAAx yx

26、 yxyxx x称为的 共 轭 矩 阵称为得 共 轭 向 量共 轭 运 算 满 足方 阵为 实 矩 阵对 于 复 向 量它 们 的 内 积 为 (221|nxx4.3 实对称矩阵的相似对角化：性质2929性质性质4.3.14.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征都是实向量。实对称矩阵的特征都是实向量。性质性质4.3.24.3.2 实对称矩阵的相异特征值对应的特征向实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量必定正交。量必定正交。性质性质4.3.34.3.3 实对称矩阵的实对称矩阵的 k k 重特征值所对应的线性重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有无关的特征

27、向量恰有 k k 个。个。例例4.3.1 4.3.1 设设 1, 1, -1 1, 1, -1 为三阶实对称矩阵为三阶实对称矩阵 A A 的的 3 3 个特个特征值，征值， 1 1 = (1,1,1) = (1,1,1)T T, , 2 2 = (2,2,1)= (2,2,1)T T 是属于特征值是属于特征值 1 1 的特征向量，求另一个特征向量。的特征向量，求另一个特征向量。4.3 实对称矩阵的相似对角化3030定理定理4.1.3 4.1.3 实对称矩阵一定与对角阵相似。实对称矩阵一定与对角阵相似。定理定理4.1.4 4.1.4 实对称矩阵可以通过正交相似转换矩阵实对称矩阵可以通过正交相似转

28、换矩阵相似于对角阵。相似于对角阵。正交相似的步骤：正交相似的步骤：的特征向量。它们仍为属于，；先正交化再单位化为；个线性无关的特征向量所对应的每一个重特征值用施密特正交化方法将iiriiiriiiimimiriiiii), 2 , 1(,), 2 , 1(,)(2121.), 2 , 1(,)(121nrmiriimiiiriiiii由性质知；个线性无关的特征向量，求出对应的对每一个重特征值;,)(21mAi的所有相异的特征值求出为对角阵。所求的正交方阵。此时即为，则阶方阵一个向量作为列向量，排成将上面求得的正交单位AQQAQQQQnivT1)(4.3 实对称矩阵的相似对角化3131例例4.3

29、.2 4.3.2 将三阶对称阵进行相似对角化和正交相似将三阶对称阵进行相似对角化和正交相似对角化：对角化：242422221A.,)2 , 1, 2(,) 1 , 2, 2(,)2 , 2 , 1 (. 3 , 2 , 1,321AiiAATTTii求满足例：设三阶方阵.1122,111311121AAATT特征向量，求的的属于特征值是），（），（个特征值，的是三阶实对称方阵，例：设4.3 实对称矩阵的相似对角化3232矩阵合同矩阵合同的定义：设的定义：设 A A 与与 B B 都是都是 n n 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在 P P，使得，使得 B B= =P PT TAPAP，则称矩阵，则称

30、矩阵 A A 与与 B B 合同合同。记作。记作 A A B B 。合同也是一种等价关系。合同也是一种等价关系。 定理定理4.3.34.3.3 实对称矩阵与对角阵合同。实对称矩阵与对角阵合同。 一般而言，相似与合同没有关系。一般而言，相似与合同没有关系。BABABABA作业第四章习题：第四章习题：8, 9, 108, 9, 10。33334.2 矩阵的相似对角化3434例例4.2.3 4.2.3 求求 A Ak：例例4.2.44.2.4（简单迁移模型）人口朝城镇流动趋势：（简单迁移模型）人口朝城镇流动趋势：(1) (1) 每年农村居民每年农村居民 2.5% 2.5% 移居城镇；移居城镇；(2) (2) 每年城镇居民每年城镇居民 1% 1% 移居农村。移居农村。 假定总人口不变，目前假定总人口不变，目前 60%60%在城镇，一年后城镇人在城镇，一年后城镇人口比例多少？二年？十年？最终？口比例多少？二年？十年？最终？例例4.2.5 4.2.5 兔生二月而育，月育一双，问：自幼兔一兔生二月而育，月育一双，问：自幼兔一对始，每月有兔几何？对始，每月有兔几何？340430241A山东大学，刘丙强山东大学，刘丙强2010.11.182010.11.18（2020）习题）习题线性代数线性代数35354.3 实对称矩阵的相似对角化3636定理定理4.1.3 4.1.3 实对称