第四章不定积分学习指导书

1、第四章不定积分教学与考试基本要求：1理解原函数与不定积分的概念；2 会灵活运用不定积分的性质及基本积分公式求不定积分；3 会灵活运用第一类换元积分法求不定积分，会用第二类换元积分法来求被积函数含有根式的不定积分；4 会灵活运用分部积分法求不定积分；5 会计算简单有理函数的不定积分 4.1不定积分的概念及性质一、主要内容回顾表4-1不定积分的概念及性质原函数的概念如果在某区间|上可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对每一 x I，都有F (x) = f (x贝愜数F (x)就称为()或 dF(x)=f(x)dxJ f (x)在该区间上的原函数.如果函数f (x)在区间1上连续，则在1上存在可导

2、函数F (x)，使F (x) = f (x) ,1 ,原函数存在的条件即连续函数一定有原函数.注若f(X)在|上有原函数，则有无数多个原函数.任意两个原函数只相差一个常数.在区间I 上, f (x)的所有原函数称为函数f (x)在区间1上的不定积分，记作 f f (x)dx .不定积分的概念若F (x)是f (x)在区间1上的原函数，则f (x)dx = F (x) +C，其中C为任意常数.(1)J0dx =C.(2)xdx1 x由 +C (W 1)丿 x dX xC (i 帀i).Jk +1(3)Sx =lnxx| +C .x a(4)r - x*+c(4丿 i| a dx c .ln a(

3、5)XxJe dx =e+C.(6) cosxdxusi nx + C.(7)fsi n xdx =cosx +C .(8 ) Jsec xdx = tanx+C .基本积分公式(9)J esc2 xdx= -cotx +C .(10)secxta nxdx = secx+C.(11)J cscx cot xdx = cscx + C .1(122 dx arctanx 十C .1 +x2(13)f 厂1 Jx arcsin x + C = -arccosx + C .不定积分的性质(1) 两个函数和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分的和(差)，即f f(x) 士g(x)dx = Jf

4、(x)dx土Jg(x)dx.(2) 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面来，即kf (x)dx =kf (x)dx ( k 为常数，且 k 式 0).不定积分与微分的关系先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数(1) Jf (x)dxr = f (x)或d J f (x)dx = f (x)dx .(2) fF (x)dx =F (x)+C 或dF (x)dx = F (x)+C .二、基本题型及例题题型I判断题(对者打“V”，错者打“X” )d dt 1，/、(1)ik c( V)(2)| is in x dx =si nx解(1)由f(x)dx= f(x)可知本题

5、是对的(2)由 F (x)dx = F (x) C 可知，|( si nx dx =s in x C .所以本题是错的题型II选择题(1)若f(x)的导函数是sinx，贝V f(x)的一个原函数是()A.1 si nx B.1 -s inx C. 1 cosx D.1-cosx(2)f(x)dx =xx2 C,则 f(x)二()A.2x3 -2x B.332x -2x C C. x -x D.x -2x解(1)由已知f (x) =sinx，设F (x)是f (x)的一个原函数，即 F (x) = f (x)则F (x) = f (x) =sin x，将被选答案代入验证得(1 -sin x/ =

6、sin x .(2)将所给等式的两端对故选B.x 求导，得 f(x) =2x3 -2x，故选 A.题型III 计算题(1)11 cos2x(2)secx(secx tan x)dx ；dx ；(3)dx.解( 1)1 cos2x1 1dx厂 dx - 2cos x 2、2 1 sec xdx tanx C .2(2)2secx(secx tanx)dx = sec xdx _ secxtanxdx =tanxsecx 亠C .(3)x 23x21Tdx1= .(xZ51-2x x 4 )dx 二14题型IV应用题曲线通过点（e2,3）,方程.解由导数的几何意义，得5x4dx _2 x巨dxx

7、4dx54 4 x451724 12 x121734-x4 C .3且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的=ln x C .xX 2 =3，所以 C =1 .故该曲线的方程为y =1 n x 1.三、习题选解（习题4-1)1.求下列不定积分(3)j ;x. xdx ;(9)sin2 Jcos2 xdx ；(10)cot2 xdx;(13)xx -125 dx ；10x(15)淳dx ；sin x(17)2 dx.(1 x ) 3解( 3). x、xdx 二 x4dxc+7 - 4X4 - 7(9) 1dx =sin xcos x12sin xdx cos x- 2 2二(es

8、c x sec x)dx =tanx - cotx C .1(1)xxdx J-5-2ln丄/ C5ln丄22(10) cot xdx = (esc x -1)dx - -cotx -x C .2x4 _5x411 11 1(13) Fdx(d5-)dx29dxV25+C5ln 2 2ln 5(15)2cos2x 12sin x ,22 dx2dx = (csc x 2)dx - cotx 2x C .sin2 xsin2 x(17)1 1 1 1r厂dx = 62)dxarctanx C .x2(1 x2)x21 x2x3已知曲线上任一点处的切线斜率为2x，且曲线通过点(1,-2)，求此曲线

9、方程解 设曲线方程为y=f(x).由题意知：f (x) =2x .两边同时对x积分，得f(x) =x2，C.又曲线过点(1,2)，则f(1)=代入上式，得c = 3故 f(x) =x -3.4.设物体的运动速度为v=cost(m/s)，当t s时，物体所经过的路程s=10 m ,求物体2的运动规律.解设运动方程为s =s(t)，由导数的物理意义可知：v(t) = s(t) = cost.两边同时对t求积分，得s(t)二si nt C .又t 时s = 10，代入上式，得C = 9 .2故物体的运动规律为 s(t) =sin t 9 .4.2换元积分法一、主要内容回顾表4-2换元积分法公式及常用

10、公式第一类换元积分法(凑微分法)设法将被积函数f (x)凑成f(X) =g申(x)Q(x)且g(u)的原函数容易求出，则有Jf (x)dx = fgP(x)*(x)d = fg(u)du =G(u) *C =G申(x) +C， 其中 u =(x), G(u)=g(u).常用的凑微分公式1(1) f (ax+b)dx =J f (ax+b)d (ax+b) (aO).a、2 1 2 2(2) f f (ax +b)xdx= f (ax +b)d(ax +b) (a式0).$2a丨1(3) f (axn+b)xn dx =一 f (axn+b)d(axn+b) (a 芒 0, n 工0) na (

11、4) J f ()dx = -Jf (Td() x xx x1l厂(5) J f(yx)旷dx=2 Jf (s/x)d(Vx).1(6) J f (lnx) dx=Jf(lnx)d(ln x )x(7) f (eax)eaxdx =丄 f f (eax)d (eax) (a 式 0) a (8) f (sin x)cos xdx = J f (sin x)d (sin x).(9) f (cos x)sin xdx = _ f (cosx)d(cosx).第二类换元积分法先对积分变量进行换元，简化被积函数的形式，再求积分，即令X二半，其中x =半化)及其导数 (t)都连续，且申(t)式0，则J

12、f (x)dx= f f 申(t)(t)dt .常用的几种变量代换(1) 被积函数中含有根式 Ja2 _x2，令nnx = asi nt或 x=acost (0 etc兀).22、t 亠：2 i 2JTJT(2) 被积函数中含有根式 va +x ，令x = atant (t).2 2(3) 被积函数中含有根式 Jx2 a2，令x = asect (0 t 匹).2二、基本题型及例题题型I填空题4(1) (7 -3x) dx =(2)设x2是函数f(x)的一个原函数，则xf(1 -x2)dx解( 1)41414(7 -3x) dx(7 -3x) d(7 -3x)(7 -3x) C .3 15(2

13、)x2是函数f(x)的一个原函数，所以.f (x)dx =x2 C .2122122贝U xf (1 -x )dxf (1 x )d(1 x )(1 x ) C .2 2题型II选择题(1)函数f(x) cos2x的一个原函数为(1 +si n xcosxA. In(2 sin 2x)B.In(1 sin 2x)C. In x 亠 sin 2xD. In(2 -sin2x)(2)x =()A.x cosx CB.arcs in x 1 -x2CC.arcsin xCD.arccosx - .1 一 x2 C解( 1)f cos2x ,d (si n2x)=1 n(2 sin2x) C，所以选

14、A则,-xEdx七(2) 令 x 二si nt，贝U dx 二 costdt, t 二 arcs inx .2 2 .xcos tdxdt = (1 sin t)dt1 -sin t=t -cost C=arcs in x -1 - x2 C .所以选B.题型III计算题(1.I ；(2)dx;.3-4x3(3)(1 x)、1 -x2dx ;1(4)dx.解( 1)1 dx1 3x 31(1 -3x) %(1 _3x)(2)24x1=dx =3 1213d(3虫)(3 4x3) 2 2(3-4x3)+ C =丄丿3-4x3 +C .6(3)1所以(1 -x) d -x2dx 二1costdt

15、= dt(1-si nt)cost1s intdt(1s in t)(1sint)1晋 dt 二cos ti 2sec tdt 亠 i sect tantdt=tant sect C-= C .1 -x2令 ex =tant (0 :t )，则 x =lntant ,dx * 1 dt.sin tcostsect sin tcostdt = csctdt =ln csct -cott| C三、习题选解2.求下列不定积分(1)e5xdx ；t(9)xedx ;(11)3x3(13)(15)(17)(19)(21)(23)解( 1)(2)(3)1=lnx eC =1 n( 1e2x-1 )x C(

16、2)_1dx ；32 _3x(4)cos2 3tdt ；(6)tan x sec xdx ；(8)dx .x丄e e(10)xdx .x22(12)sin xcosx,4 dx ；1 sin4 x(14)cos2(： 1)sin( t ： 1)dtdxx hx2 -1(16)3cos x2xdx ；1-x2sin x cosxdx ；3 sin x -cosxtan3 x secxdx;1 l nxEx;dx1 2x5xe dx =(18)(20)(22)(24)15x1e d (5x) e55sin 2x cos3xdx ;12arccosx dx1 -x29dx ;x1 dx.J_ex5x

17、 - C .= -3 J(2 -3x) 5d (2 -3x)32 -3x 311(2-3x)1t(sin at -eb)dt 二 sinatdt - ebdt sin atd (at) -b ebd() ab(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)cosat beb C . a(4)-sin6t C .2 12cos2 3tdt =- (1 cos6t)dt =- dt 丄 cos6td(6t)二2 J2、12 Jdt =2 sin td Jt - _2cos t C .r 10tan x2sec xdx = tan10111xd

18、(tan x) tan x C .11InIn x1pd(ex) = arctanex C .e2x 11血亦曲血xi ln C.2xe dx2-e d(_x2) _- e C . 2 2xdxx222* 1 d(x2 2)=丄 In(x2 2) C .2 x222dx1 -x4A2d(1 -x4) = In 1 - x4 +C .x441 sin4 x 21 2 1 2d(sin x)arctan(sin x) C .1 sin x2cos2( ;：i )sin(，t 曲)dt =cos2(t 曲)d (cos(，t 曲)sin x1123 dxd (cosx) sec x C .cos x

19、cos x2令 x =sect(0 瑞”)，则 dxned 怡ntdt.所以沁空型=1dt =t C rccos1 C . sect tan tx2x -1dx2x1 -x21-x21dxExF=d(1-x2) -arcsinx-x23-d (sinx-cosx) (sinx-cosx)3 C .=-2 1 -x2 -arcsin x C .3 sin x- cos xsinx cosx1111sin5 xd(5x) sin xdx cosx cos5x C 102210(19)32213tan x secxdx = tan x secxtanxdx = (sec x -1)d(secx) s

20、ec x -secx 亠 C .(20)12arccosxdx1 -x斗严讥沁汕012arccosx10C(21)Udx-(xl nx)2d(xlnx) 1C.(xln x)xln x(22)令 x =3sect，贝U dx =3sect tantdt .3tan t22话3sect tantdt=3 tan tdt WGectJdt= 3tant -3t C = x2 -9 -3arccos3 亠C .x(23)令.2x =t，即，则 dx =tdt.所以dx_1 亠，2xtdt二(1-丄)dt1 t=V2x - In 1 +vJ，2x| +C=.2x - In(1 2x) C .(24)令

21、 1 ex =t ,则 1 ex =t2 ,x=ln(t2 1), dx 弹t2 -11 2t dt所以片如2一12dt11 )dtt2-(t-1 t 1=ln(t-1)-ln(t 1) C=ln1 & 一1 C4.3分部积分法、主要内容回顾表4-3分部积分法公式及常见类型分部积分公式Ju(x)dv(x) =u(x)v(x)-Jv(x)du(x)，简记为 Judv =uv-Jvdu .1. 多项式与指数函数（或三角函数）的乘积，将多项式选为u（x），使用分部积分法，可以 降低多项式的次数.2. 多项式与对数函数（或反三角函数）的乘积，将对数函数（或反三角函数）选为U（x）.常见的分部积分类型使

22、用分部积分法，可以在求积分的过程中去掉对数函数(或反三角函数)部分3.幕函数与三角函数的乘积，使用若干次分部积分法后，等式右边出现所求积分，此时只需 解出所求积分即可.二、基本题型及例题题型I填空题(1) xf (x)dx =；(2) In 2xdx =(3) xsin xdx 二 解(1) xf (x)dx = xdf (x) =xf (x) _ f (x)dx =xf (x) _ f (x) C .(2) In 2xdx =xln 2x _ xd (In2x)=xln 2x _ dx=x(ln2x_1)C.(3) xsin xdx = _ xd (cos x) = _x cos x 亠 i

23、 cos xdx = _x cos x sin x C .题型II选择题(1)设函数f(x)具有连续的导数，则xf (x) f(x)dx=()A. xf(x) CB. xf (x)C. x f (x) CD. x f (x) C(2) arc cotxdx =()A1丄2A. xarc cot xIn (1 亠 x)B.J丄2xarc cotx In(1 亠 x)C.1 2xarc cot x In(1 亠 x)亠 C2D.xarccot x -l n(1 x)2 C2解(1)xf (x) f(x)dx 二 Xf (x)dx f (x)dx=xf (x) i f (x)dx 亠 i f (x)

24、dx C = xf (x) C .所以选A.(2)arc cot xdx 二 xarc cot x - xd( arc cot x)二 x arc cot x 1 + xxdx=x1 2 arc cot x ln(1 x ) C .2所以选D.题型III计算题(2)xcosfdx ；(3) exs in2 xdx.3x d(lnx)(2)N哼x=2Jxd伽沪2（x嗚十吟=2 x s 命 一 2 益d*x(二冈 _ sin - x 心。s2”2 222(3)ex sin2 xdx = ex 1dx =-ex ex cos2xdx 22=ex f ex d( s in 2 畀 =- e s ix2

25、sdcfi e (2224x x.ee1xsin2x e sin 2xdx =244x xe esin2x -24iexd(cos2x)由，可得故 exsin2 xdxxx.ee1 xxsin 立 e cos2 xdoes 2248x xxe ee1 xsin2x cos2x e cos2 xdx.2488x.8e1cos2 xdx(sin 2x cos2x)亠 C542訂一咤一冲2105解( 1)x21nxdxIn xd(x3)=1x3lnx 33133132x In x 一 x (In x) dx (x In x 一 x dx)亠 C= -(x31n x -1 x3) C =、(ln x

26、-1) C .三、习题选解(1)xsin xdx ；（2）In xdx ；(3)arcs in xdx ；（4）i xedx ；(5)x2ln(x -1)dx ；（6）x2arc sin xdx ；(7)xta n xdx ；（8）x cosxdx ；(9)tedt ；（10）(In x) dx ；(11)t2(x -1)sin 2xdx ；(12)x2 cos2 dx ； 2(13)2(arc sin x) dx ；(14)(In x)3 , dx ；求下列不定积分（其中a,b均为常数）3333(15)arcta nexxedx ；(17)eax cosbxdx ;(16)e cosxdx

27、；(18)cos(l nx)dx.解(1) fxsin xdx = _ xd (cosx) =-xcosx _ cosxdx =_xcosx +sin x + C .(2)In xdx =xl nx_ xd(l n x) =xl nx_ dx=xl nx_x 亠 C=x(l nx_1)、C.(3)arc si nxdx =xarcsi nx - xd (arcsi nx) =xarcsi nx_.Rx2 1d(x)=xarcsinx + 丄 f(1-x2) 2d(1x2) 1_x22= xarcsin x . 1 -x2 C .二 xarcsi nx 12(4)xedx - - xd(e 必)

28、-xe-edx - 4xe亠 ed ( -x) - -xe -e亠C .(5)3xdx1313313x ln(x -1)dxln(x _1)d(x ) x ln(x _1) x d ln(x _1) x ln(x_1) x - 11 3x3 -11x ln(x 1) ()dxx -1x T1 3 2 1 x ln(x -1) - (x 亠x 1 )dx x -1213x x x(x -1)l n(x1)C .96(6)213133x arctanxdxarctanxd(x ) x arctanx - x d(arctan x)331 3x arctan x - 33 .x XX2 dx1 x2

29、社)dx 二 1 x3 arctan x _ x - ln(1 x2) C1 x2322笃dxlrx3 arctanx-1 x23= lx3arctanx- (x31 312x arctanxln(1 x ) C .6 6(7)222xtan xdx 二 x(sec x T)dx 二 xsec xdx :xdx 二 xd(tanx) xdx2x 二(xtanx - tan xdx) - xdx 二 xtanx ln cosxC .2x=x s i nx 2x c ox2 sx n. C cosxdx = x2d (sinx) =x2 sin x - sin xd(x2) = x2 sinx -

30、2 xsin xdx22=x sinx 2 xd(cosx) =x sinx 2(xcosx - cosxdx)-Je%t鼻讦电bdS =舟异J評+C .(9) tedt =_!td (e?) =te(10)22222(In x) dx =x(l n x) - xd(l n x) = x(l n x) -2 In xdx=x(l n x) - 2xl nx - xd(l n x)22= x(l n x) - 2(xl nx- dx) =x(l n x) - 2xl nxZxC.(11)(x2-1)sin 2xdx - -1 (x221 2-1)d (cos2 x) (x 1)cos2 x -2

31、2cos2 xd(x -1)一1 (x221 2_1)cos2x_ 2xcos2 xdx (x - 1)cos2 x- xd (si n2x)” 2 ”12一 2【(x12-(x一 1)cos2 x xsin2x 亠 isin2xdx1-1)cos2x -xsin 2xcos2x亠C1 2 3x(x )cos2 x sin 2x 亠C .2 22(12)x2cos2 xdx212122122x (cosx 亠1)dx x cosxdx 亠 ix dx x d(sinx)亠 i x dx1222122x sin x - sin xd(x ) x dx x sin x - 2 xsin xdx x

32、 dx=1 x2 sin x 2 1 xd (cos x)亠 i x2dx1 22x sinx 2xcosx 2 cosxdx 亠 ixdx21 2x(ln x)331dx (In x) d(_)=-x d (ln x)x sinx 亠2xcosx-2sinx 2 3,1)sinx xcosx C.2 6(13)2 2 2 2(arc sinx) dx =x(arcsin x) - xd (arcsin x)x(arcsin x) -2 x arcs in x dxJ1 _x2= x(arcsin x)2=x(arcsin x)2 2 arcsin xd ( . 1 x2)*竺4(/)/但心i

33、nx)2 aJd(1-x2)1-x1x=x(arcsin x)22,1x2 arcsinx 1.1-x2d(arcsinx)=x(arcs in x)22 1 -x2 arcsinx -2x C .(In x)3313 (ln x)3-,-d(l nx)3x3(ln x)21(lnx) d() x2(ln x) (ln x) 12(In x)3_3泄x辱dx 一皿一 3皿x(In x)3-6 In xd)= x(Inx)33(“)_6怛-d(I nx)xx x(In x)3132(In x) 3(In x) 6In x 6 C . x(15)arcta n exdxex-arctaneXd(e

34、)二 ed (arctanex)arcta n exex1arctan exExe2x2x1 e)dxxarcta ne1 rd(e2x+1) arcta nexx21 e2x久如1 e2x)2x、 arcta nex C .(16)ecosxdx - - cosxdD - 4ecosx_ ed(cosx)=-ecosx 亠 lesin xdx - -ecosx - sin xd(e) =-ecosx esinx- ed(sinx)cosx sin x -e cosxdx所以 e cosxdx= -e_x(sinx-cosx) C .2(17)eax cos bxdx = a1 ； e a1

35、axeaaxeaxsin bxdxcosbx -acosbx 2 sin bxd (eax) acosbxd(eax)=丄 eax cosbx-丄 eaxd (cosbx) aa L1 axeab ax/ axcosbx 2【e sinbx- e d(sin bx) a1 axeacosbx $eax sin bx ab2a2eax cosbxdx.所以 eax cosbxdx 二a2b2eax (a cosbx bsin bx) C .(18)cos(ln x)dx =xcos(ln x) xd(cos(ln x) =xcos(ln x)亠 isin(In x)dx= xcos(l n x)

36、亠 xs in (I n x) - xd (s in (I n x)= xcos(lxi )x s i nx(4 n )(xods*x所以 cos(Inx)dxcos(In x) sin(ln x) C 4.4三种函数简单形式的积分举例(1 )求一 1 - (x21)(x 1)2dx ；(2 )求dx ；4 5cos x一、主要内容回顾表4-4三种函数的积分方法有理函数的积分首先将有理函数化成多项式与真分式的和，再把真分式部分利用待定系数法分解成若干个最简真分式的代数和。最简真分式的形式只有四种：1 1,n ,x -a (x -a jMx + NMx + N.2-2,n 5= 2,3|,p 4

37、qc0)x + px +q (xx(2)令 tan t，贝U cosx2 十 px +q )三角函数有理式的积分R(sin x,cos x)dx可通过万能公式三角函数有理式积分X22t1 _t2厂Cc廿化成有理函数的积分tan t,sin x 2 1+t1 +t简单无理式的积分对于被积函数含有无理根式的积分，总体思路是设法作根式代换使积分化成有理函数的积分.二、基本题型及例题题型计算题(3 )求 3 解(1)设12 2(x21)(x 1)2Ax B C Dx21 (x 1)2 x 1通分得(Ax+ B (对 2) + Cfx+ 廿 D 0 2 )x(+ .斗)1111比较两边同次项系数得A =

38、-丄月=0,C =，D = 222=-1l n(x21)41 1Rdnx 1C.1 -t21 t2dx 二2 dt1 t2所以1dx4 5cos x1t2 dt22dt9 -121In3t+3t31lntan +3tan -3(3)令 gx.,则 xltWdt.x dx11 t33t2dt(t -t4)dtit-t2 C3156三、习题选解1.求下列不定积分(1)x ；(3)dx(x 1)(x 2)(5)54x x -83dx ；x x(7).dxx(x21)(9)dx1 sinx cosx(11)解( 1)厶dx9 x2(2)dx4 -x2(3)二丄(13xd159x9 x2(2)(4)(6

39、)(8)(10)(12)_丄(1 _3xf C .6dx4T7 ；r2x 3 dx ；x 3x10x21i 2 dx ; (x 1)2(x -1)十dx；3 cosxdx)dxxdx9EdxxdTd(x29)X2 9In(x29) C .2 2(2 x)(2 x)1 dx =4 * 2 _xJ -)dx11-(In 2 x -In 2 -x) C In 44 dx(x 1)(x2)（丄3 x 21R)dx9 x22 +x2 x(1 dx dx)3 x-2x 1(4)令亠卫 A Lx2+3x10 x+5 x2通分得2x 3x2 3x -10(A B)x (5B -2A)(x 5)(x-2)比较对

40、应项系数，得 A 2 , 5B -2A=3.x 2 Pn- x+ 1所以 A =1 , B =1.2x711故dx = ()dx = In x 亠5 Tn x 2 亠Cx2 3x -10x 5 x 2=ln x2 +3x -10 +C .(5)x5x4 -82 彳 x2 x _8x x 1X -X3x -x 人 x2x -8令x3A=_ +xB C+x -1 x 1通分得x2 x -82(A B C)x2 (B C)x - AX3 Xx(x -1)(x 1)比较对应项系数，得A B C =1 , B-C=1 , A=8.所以 A =8 , B _ -3 , C - -4 .(6)故 X5 x

41、-8x3-xdx22x，x-82834(x x 13 )dx = (x x 1)dxx3 _xx x 1 x +11 3二一 X3X22x 8ln x -3ln x -1 一41 n2x(x 1)2(x -1)x 1 (x 1)x21通分得(x 1)2(x-1)(A C)x2 (B 2C)x (C - A - B)(x 1)2(X_1)比较对应项系数,A C =1,B 2C =0 , C - A-B =1.x21故(x 1)2(x-1)1 1厂 1(l nx 1 ln X)C-4lnx2-C.(7)Bx Cx2 1通分得 A(x21) (Bx C)x =1.比较两端同次项系数得 A =：1,B

42、 - -1,C =0 .xx21I亠)dxx21=ln x -lln(x21) C .x(8)令 t =tan ，则 x =2arctant ,22dx 2 dt ,1 tcosx1 t21 t2.dx所以df 3 +cosx11 t22dt1 t2dt21 d( I)2 1 21:arcta n212x tan 2arctan x(9)令 tan t，则 x =2arctant ,22dx 21 t2tdt , sinx 2 ，1 +t1t2cosx 2 .1+tdx所以=1 sin x cosx22 dt1 t+ dt=ln 1 t C(10)令 x 1 =t3，则 dx=3t2dt.dx

43、22t 1 _13t dt =3 f11 t =3 (t“ C)dtQQI_=t2 3t +3 In 1 +t| +C =?3(x +1)2 33x+1 +3 In 1 +Yx + 1(11)令x1 =t，则 dx =2tdt .所以.=x Fdx = t t _1 2tdt =2 (t -2)dt”t +1二t2 4t 41 n t 1 C=x - 4 x 1 4ln( x 11) C .(12)令 4 x =t，即 x =t4 .所以dx3 t2t2 _1 1 1dtRdt(T7 C)dt=4(t “ C)dt=2t2 -4t 4ln(t 1) 2 x -44 x 4ln( 4 x 1)

44、C .2 利用以前学过的方法求下列不定积分(1)dxXx，e-e 一(2)1 cosx dx x 亠sin x(3) ln ln x dx ;(4)、,xsin xdx ; x(5) In(1 x2 * *)dx ;(6)x1 2 *1x41dx ;11(7)x8 3x42dx ;(8)jx _ x(仮+沃)dx ;(9)dx2 ；3 sin x(10)2cos x dx ； si nx(11).2sin x_,3 dx ； cos x(12)sin x dx ； 1 sin x(13)(14)e3x exe4x-e2xdx.1解( 1)dxx.Xe -e1dxY 5 -1)d (ex)(2)(3)x1 len + 卅C=1 cosx dxx 亠sin xlnln x dxx；xln1d (x sin x) =1 n xsin x C x 亠sin x=lnlnxd(ln x) =1 n xlnln x In xd(lnln x)(5)ln(1x2)dx =xl n(1x2) - xd(ln(1x2) =xln(1x2)-2x21x2dx(6)(7)(8)9)2 Hx- n (VTXxrfe十 2 a r od aHCHrV- d (X I) 1(X)卜 +2xn d-T(x )一 IfelX 令匸(