勾股定理拓展与拔高

1、,.勾股定理拓展与拔尖一、 知识结构2b2c2定理： a直角三角形的性质 :勾股定理勾股应用 :主要用于计算定理直角三角形的判别方法:若三角形的三边满足a 2b2c 2 则它是一个直角三角形.二 . 知识点回顾1、 勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边（2 ）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、 如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如c）（2） 验证c2 与 a2b 2 是否具有相等关系（3） 若2= a2b2，

2、则是以 为直角的直角三角形；若c2 2b2cABCCa则ABC 不是直角三角形。3. 勾股数： 满足 a 2b 2 = c 2 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4 ，5 ； （ 2）5 ，12 ，13 ； （3 ）6，8，10 ；（ 4）8，15 ，17（5）7，24 ，25（6 ）9, 40, 41三典型题剖析： 针对训练、延伸训练,.考点一证明三角形是直角三角形11 、 在正方形ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且EC= 4 BC，求证：EFA=90.ADFBEC针对训练： 1 、已知：在 ABC 中，A 、B、C 的对边分别是a、 b 、 c，满足 a 2

3、+b 2+c 2 +338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状 .考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、 如图，等腰 ABC 中，底边 BC 20 ， D 为 AB 上一点， CD 16 ， BD 12 ，求ABC 的周长。针对训练： 1 、 .已知：如图，四边形ABCD ， AD BC， AB=4 ， BC=6 ， CD=5 ，AD=3.求：四边形ABCD 的面积 .,.考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将BCE 沿BE 折叠，使点E 恰好落在AD边上的点F 处，则CE 的长为针对训练： 1 、如图，在矩形AB

4、CD 中， BC=6 ， CD=3 ，将BCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 C1处， BC1 交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为（）A3BC 5D,.考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示， 其中四边形 ABCD 为长方形，上部是以 AB 为直径的半圆，其中 AD 2.3 m ，AB 2 m ，现有一辆装满货物的大卡车，高2.5 m ，宽 1.6 m ，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD ，长为 10 ，宽为 4 ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 (不与

5、 A、 D 重合 )并在 AD 上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由 .再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在 AD 上移动，直角边PH 始终通过点 B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q ，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由 .,.针对训练： 1观察下列图形，回答问题：问题（ 1）：若图中的 DEF 为直角三角形，正方形P 的面积为9，正方形 Q 的面积为 15 ，则正方形M 的面积为。问题（ 2）：如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半

6、圆的面积之间的关系是；（用图中字母表示）问题（ 3）：如图，如果直角三角形两直角边的长分别为3 和 4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄 A， B， C，D 正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线,.针对训练： 1 如图所示，铁路上有A 、 B 两点（看做直线上两点）相距40 千米， C、 D 为两村庄（看做两个点），AD AB ，B

7、C 垂直 AB ，垂足分别为A 、B，AD=24千米， BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D 两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A 点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm ，高为 3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至 C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm （结果保留）,.针对训练： 1 如图，是一块长、宽、高分别是4cm ， 2cm 和 1cm 的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物， 那么它需要爬行的最短路径的长是（）A 5cmB 5.4cmC 6.

8、1cmD 7cm考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：(1) （3 ， 4， 5 ） , （6 ， 8， 10 ） 3n,4n,5n (n 是正整数 )(2) （5，12 ，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41 ） (3) (8 ，15，17), (12 ，35，37) (4)m 2 n 2,2mn,m 2 n 2 (m 、 n 均是正整数， mn)简单列出一些：,.课堂小测试（ 8分钟）1. 一个直角三角形，有两边长分别为 6 和 8，下列说法中正确的是（）A.第三边一定为 10B.三角形的周长为 24C.三角形的面积为 24D.第三边有可能为 102已知一个

9、Rt的两边长分别为 3 和 4 ，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 253下列各组数中，以 a，b ，c为边的三角形不是 Rt 的是（）A、a=1.5 ， b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=53三角形的三边长为（ a+b ）2 =c 2 +2ab, 则这个三角形是 ()A. 等边三角形 ;B. 钝角三角形 ;C. 直角三角形 ;D. 锐角三角形 .4、一个三角形的三边的长分别是3，4 ，5 ，则这个三角形最长边上的高是 ()A4B 10C. 5D 123255已知 Rt ABC 中，C=90 ，若a+b=14

10、cm，c=10cm ，则 Rt ABC 的面积是（）A 、24cm 2B、36cm 2C、48cm 2D、60cm 26、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为 12cm ，则它的面积为 ()。,.A12 cm2B6 cm2C 8 cm2D 9 cm27等腰三角形底边上的高为 6，周长为 36 ，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、328Rt 一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则 Rt的周长为（）A、121B、120C、 90D、不能确定9已知，如图，一轮船以 16 海里 / 时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向

11、航行，离开港口2 小时后，则两船相距（）A、25 海里B、30 海里C、35 海里D、40 海里10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米 / 分，小红用15 分钟到家，小颖20 分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）。A、600米B、800米C、1000米D、不能确定,.勾股定理独立作业（20 分钟）1下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（）A13、16 、19B17 、21 、23C18 、24 、36D12 、35、372有长度为 9cm 、 12cm 、15cm 、36cm 、39cm的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形

12、的个数为（）A1 个B2 个C3 个D4 个3在ABC 中， AB=12cm ，BC=16cm， AC=20cm ，则 SABC 为（）A 96cm 2B 120 cm 2C 160 cm 2D 200 cm 24若线段 a、b 、 c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A124B135C347D512135若直角三角形的两直角边的长分别是10cm 、24cm ，则斜边上的高为（）240120A 6cmB 17cmC 13cmD 13 cm6有下面的判断：ABC 中， a2b2c2，则ABC 不是直角三角形。ABC 是直角三角形， C=90 ，则a2b2c2。,.若ABC 中， a2b2c

13、 2 ，则ABC 是直角三角形。若ABC 是直角三角形，则 （ a+b） ( a- b)= c2 。以上判断正确的有（）A4个B3个C2个D 1个7Rt ABC的两边长分别是3 和4 ，若一个正方形的边长是ABC的第三边，则这个正方形的面积是（）A25B7C 12D25或 78一个三角形的三边之比是34 5 ，则这个三角形三边上的高之比是（）A2015 12B345C543D10829在ABC中，如AB=2BC，且B=2A，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定10 如图是一个边长为60cm 的立方体 ABCD EFGH，一只甲虫在菱EF 上且距F 点10cm的P 处，它要爬到