2021年人教版高中数学选择性必修第三册5.2.3《简单复合函数的导数》（导学案） (含答案)

1、5.2.3简单复合函数的导数 导学案 1. 了解复合函数的概念2理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数重点：复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf (u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf (u)和ug(x)的复合函数，记作_yf (g(x) 思考：函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的2复合函数的求导法则复合函数yf (g(x)的导数和函数yf (u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_ _yu

2、ux; y对u的导数与u对x的导数的; 乘积 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin(x)的复合过程是ysin u，ux ()(2)f (x)ln(3x1)则f (x) ()(3)f (x)x2cos2x，则f (x)2xcos2x2x2sin2x ()2函数y的导数是()ABC D3下列对函数的求导正确的是()Ay(12x)3，则y3(12x)2Bylog2(2x1)，则yCycos，则ysinDy22x1，则y22xln 2一、新知探究探究1. 如何求y=(1+x)3导数呢？若求y=(1+x)6的导数呢？还有其它求导方法吗？探究2. 如何求y=ln(2x1)导数呢？探究

3、3： 求函数y=sin2x的导数三、典例解析例6.求下列函数的导数（1）y=（3x+5）3; （2）y=e0.05x+1;(3) y=ln(2x1)1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)y.例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm),关于时间t(单位:s)的函数满足关系式y=18sin(23t2) .求函数在时的导数，并解释它的实际意义。跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)ycos；

4、 (2)yx2tan x.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.1函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21 By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)n Dy(t1)n，tx212函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x3已知f (x)ln(3x1)，则

5、f (1)_.4已知f (x)xex，则f (x)在x2处的切线斜率是_5求下列函数的导数：(1)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)yx.6.曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是?1求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁2和与差的运算法则可以推广f (x1)f (x2)f (xn)f (x1)f (x2)f (xn)参考答案：知识梳理1提示(2)中f (x). (3)中，f (x)2xcos 2x2x2sin 2x.答案(1)(2)(3)2Cy，y2(3x1).3DA中，y6(12x)2，A错误；B中，

6、y，B错误；C中，ysin，C错误；D中y22x1ln 2(2x1)22xln 2.故D正确学习过程一、新知探究探究1.解析：方法一：y=(1+x)3=x3+3x2+3x+1y=(x3)+(3x2)+(3x)+(1)=3x2+6x+3探究2. 分析：函数y=ln(2x1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点若设u=2x1x12,则y=lnu，从而y=ln2x1可以看成是由y=lnu和u=2x1x12,经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数。如果把y与u的关系记作y=fu，u和x的关系记作u=gx

7、，那么这个“复合”过程可表示为若设y=fu=fgx=ln2x1探究3： 分析：令u=2x,得y=sinu以yx表示y对x的导数，yu表示y对u的导数，一方面，yx =(sin2x)=(2sinxcosx)=2(sinx)cosx+sinx(cosx) =2cosxcosx+sinx(sinx) =2(cos2xsin2x) = 2cos2x另一方面yu =(sinu)= cosu，ux =(2x)=2可以发现yx= 2cos2x =cosu2=yu ux二、 典例解析例6.解：（1）函数y=（3x+5）3可以看作函数y=u3和y=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则，有yx=yu ux=(

8、u3) (3x+5)=3u3 3=9（3x+5）3（2）函数y=e0.05x+1可以看作函数y=eu和u=0.05x+1的复合函数，根据复合函数求导法则，有yx=yu ux=(eu) (0.05x+1)=0.05eu=0.05e0.05x+1（3）函数y=ln2x1可以看成是由y=lnu和u=2x1的复合函数，根据复合函数求导法则，有yx=yu ux=(lnu) (2x1)=21u=22x1跟踪训练1 解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u4

9、6(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x).(4)(ln 3x)(3x).y.例7 解：函数y=18sin(23t2) 可以看作函数y=18sinu和u=23t2的复合函数，根据复合函数的求导法则，有yt=yu ut=(18sinu) (23t2)=18cosu23= 12cos(23t2) 当t=3时，yt=12cos(32)=0它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s跟踪训练2 思路探究先将给出的解析式化简整理，再求导解(1)ycoscossincos2sin x(1cos x)(sin xcos x)，y(sin xcos x)(cos xsin x)(2)因为yx2，所以y(x2)2x2x.达标检测1答案A2By(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3f (x)(3x1)，f (1).4 f (x)xex，f (x)exxex(1x)ex，f (2).根据导数的几何意义知f (x)在x2处的切线斜率为kf (2).5解(1)令u3x2，则y10u.所以yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10.2)令uexx