非常好的张量及应用

1、张量分析及其应用第一章 张量代数第二章 张量分析第三章 张量应用1.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnn显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是kkorjjoriixaxaxaSiiixba是违约的，求和时要保留求和号n1iiiixban 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题332211iixaxaxaxa332211jjbbbb

2、332211mmeeeecccc双重求和31i31jjiijxxaS简写成jiijxxaS 展开式（9项）313321321131322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaS三重求和（27项）kkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijkjijixax 1.1.2 自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1, 3, , n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax333232131

3、3xaxaxaxjijieeA3132121111eeeeAAAi 为自由指标，j 为哑标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjijieeA3132121111eeeeAAAi 为自由指标，j 为哑标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjkikijBAC 1313121211111k1k11BABABABACi ，j为自由指标，k 为哑标表示9个方程：2313221221112k1k12BABABABAC3313321231113k1k13BABABABAC1323122211211k2k21BABABABAC333332

4、3231313k3k33BABABABAC例外：111ECR 222ECR 333ECR iiiiiECECR出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里 i 相当于一个自由指标，而 i 只是在数值上等于 i，并不与 i 求和。又如，方程333222111232221用指标法表示，可写成iiiiiiiiiiii 不参与求和，只在数值上等于 i1.2 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：ji, 0ji, 1j i100010001333231232221131211其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此

5、， 可确定一单位矩阵：j i若j ijiee321,eee是相互垂直的单位矢量，则3332211iieeeeeeee，但3332211i i而，故i iiiee注意：3i ii i是一个数值，即j i的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：kiAA kkkkiikAAA思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示例2：j ijkTTj ij ii ijkkiTTT例3：jnimBAnm 个数，项的和。jmimjninjnimnmBABABA813,4求特别地，j ijkkimimjjkki,1.3 置换符号, 0, 1, 1kj iei, j, k,

6、为1，2，3的偶排列i, j, k, 为1，2，3的奇排列i, j, k, 不是1，2，3的排列例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eee可见：i jkjkiki jj ikikjkj ieeeeeekj ie也称为三维空间的排列符号。321,eee若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量kkj ijieeee则常见的恒等式nkmklknjmjl jnimil inmlkj ieel jmimjl ikmlkj ieel ikj lkj i2ee! 36kj ikj iee( i )( ii )( iii )( iv )证明：3332312322211312

7、11nmlkj inkmklknjmjl jnimil iAAAAAAAAAeeAAAAAAAAAj ij iA令即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零二维置换符号33 j ieee其中, 02211 ee12112 ee从三维退化得到e)2, 1,(有下列恒等式ee,ee! 22 ee关键公式：nkmklknjmjl jnimil inmlkj iee10000mjl jmil i33m3l33 jmjl j3imil i3ml3 j ieeee二维关键公式：eee

8、e222eeee44222241.4 指标记法的运算mmiimmiicVbbUa1.4.1 代入设(1)(2)把（2） 代入（1）mmiicVb mn or elsennmmcVb nnmmiicVUa 3个方程，右边为9项之和1.4 指标记法的运算mmmmbVqaUp1.4.2 乘积设则nnmmbVaUqp不符合求和约定mmmmbVaUqp1.4 指标记法的运算0ijj innT1.4.3 因式分解考虑第一步用in表示jnjj iinnj i,有换指标的作用所以0jj ijj innT即0)(jj ij inT1.4 指标记法的运算j ij ikkj i2EET1.4.4 缩并使两个指标相等

9、并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系i ikki ii ikki i232EEEETi ii i)23(ET缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法0iixU0332211xUxUxU0zyxzUyUxU或1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法jjiiijijixx)(UxpbxUUtU1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉

10、指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法0 xzxyxxxbzTyTxT0yzyyyxybzTyTxT0zzzyzxzbzTyTxT1.5 张量的定义1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：321xxxO单位基矢量：,321eee新坐标系：单位基矢量：321xxxO,321eeej ijijijiji),cos(),cos(| |eeeeeeee1.5.1 坐标系的变换关系 旧新1e2e2e1e2e3e111221312213233233jijij i),cos(eeee图解（二维）：,jj 122 111 11eeee2, 1

11、jcosj 1j 1在解析式中记：1.5.1 坐标系的变换关系321331313322212312111321eeeeeeiiiiee从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对 i 求和，i为自由指标）1.5.2 标量（纯量 Scalar）),(),(321321xxxxxx在坐标变换时其值保持不变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？1.5.3 矢量（Vector）,321321aaaaaa设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即iiii,aeaeaaiiiiieeeaaaiiiiaaiiiiiiiieeeeeaaaaiiiiaa（对 i 求和）（对 i

12、 求和）满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量ia1.5.3 矢量（Vector）iiiiaaiiiiaakkiiiiaa哑标换成 k kkiiikkiaa比较上式两边，得kiiiki即该变换是正交的1.5.4 张量（Tensor）对于直角坐标系j ijjiijiTTj iT321xxxO，有九个量按照关系变换成321xxxO中的九个量ji T则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）iiiiaaj ijjiijiTT1.6 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是 iieaaaeeaiiia对于一个二阶张量T，它

13、可以将a变换成另一个矢量b，即 jij ieTeT称为二阶张量T的分量 令jij ieTeT可理解为矢量Tej在ei上的分量，即 ij ijeeTT因此，有下面三种等价的表达式： aTbjj ij ijiaTTab321333231232221131211321aaaTTTTTTTTTbbb333231232221131211TTTTTTTTT其中称为在基矢量组e1, e2, e3下二阶张量 T 的矩阵。注意：矢量 a、b 及张量T本身与坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组e1, e2, e3与坐标系相关。 1.7.1 张量的加法和减法 设T、S均为二阶张量，将它们的和、

14、差用下式表示： ST仍为二阶张量。若a为一矢量，则 aSaTaST )(其分量为： j ij ijijijij i)()(ST eSeeTeeSTeST其矩阵形式为： STST1.7.2 张量和标量的乘积 设T为二阶张量， 为一标量，它们的乘积记为 ，则 TTT仍为二阶张量。因为根据坐标变换，有 j ij ji ij iTT j ij ji ij ij ji ij ij ji ij iTTTT 可见， 为二阶张量。 T1.7.3 并矢积、并矢记法、基张量 矢量 a 和矢量 b 的并矢积 ab 定义为按下列规则变换任意矢量的变换： c)(bac(ab) 二阶张量 一阶 零阶 关于是二阶张量的证明

15、： 即证明 满足张量的定义： 是一个线性变换。 abab设有任意矢量 ，及标量 ，则由并矢积定义 dc,)()(dcbadc(ab)()(dcbadc(ab)()()()(dbacbadbcbad(ab)c(ab)可见： 满足张量的定义。 ab 关于基矢量组 的分量： ab,321eee)()()()(jijijij ibaeebaeeabeabjiji)(bab ae有些文献把 写成 abjij ij i)()(babaabab矩阵形式： 321321332313322212312111bbbaaabababababababababaab基矢量 的并矢积： 321,eee000000001001 00111ee00000001001000121ee 000001000001 01012ee000000100 10000131ee100000000 10010033ee于是，二阶张量 可以表示成 ：T)()()(333321121111eeeeeeTTTT