二次函数综合(定值)问题与解析

1、成都市中考压轴题（二次函数）精选【例一】如图，抛物线y=ax2+c（a0）经过C（2，0），D（0，1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数考点：二次函数综合题3718684专题：代数几何综合题分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）k=0时，求出AM、B

2、N的长，然后代入+计算即可得解；设点A（x1，x121），B（x2，x221），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x12，并求出x12+x22，x12x22，然后代入进行计算即可得解解答：（1）解：抛物线y=ax2+c（a0）经过C（2，0），D（0，1），解得，所以，抛物线的解析式为y=x21；（2）证明：设点A的坐标为（m，m21），则AO=m2+1，直线l过点E（0，2）且平行于x轴，点M的纵坐标为2，AM=m21（2）=m2+1，AO=AM；（3）解：k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，AM

3、=BN=0（2）=2，+=+=1；k取任何值时，设点A（x1，x121），B（x2，x221），则+=+=，联立，消掉y得，x24kx4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=4，所以，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=16k2+8，x12x22=16，+=1，无论k取何值，+的值都等于同一个常数1点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细【例二】. 如图，在平面直角坐标系xOy中

4、，OAB的顶点的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sinOAB=.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记QNM的面积为，QNR的面积，求的值.解：（1）如图，过点作于点在中，yxFP3BECDAP2P1O，又由勾股定理，得点在第一象限内，点的坐标为

5、点关于轴对称的点的坐标为2分设经过三点的抛物线的函数表达式为由经过三点的抛物线的函数表达式为2分（2）假设在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形点不是抛物线的顶点，过点作直线的平行线与抛物线交于点则直线的函数表达式为对于，令或而点，在四边形中，显然点是符合要求的点1分若设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为于是可设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为由，即而点，过点作轴于点，则在中，由勾股定理，得而在四边形中，但点是符合要求的点1分若设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为直线的函数表达式为由，即而点，过点作轴于点，则在中，由勾股定理，得而在四边

6、形中，但点是符合要求的点1分综上可知，在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形1分（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下yxQOGRMN当抛物线开口向上时，则此抛物线与轴的负半轴交于点可设抛物线的函数表达式为即如图，过点作轴于点，2分当抛物线开口向下时，则此抛物线与轴的正半轴交于点同理，可得1分综上可知，的值为【例三】、 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，

7、过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程考点：二次函数综合题。解答：解：（1）经过点（3，0），0=+m，解得m=，直线解析式为，C（0，）抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（3，0），另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x5），抛物线经过C（0，），=a3（5），解得a=，

8、抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG，又，CAOEFG，EG=CO=，即yE=，=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去），E（2，），SACEF=；（ii）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，同理可求得E（+1，），SACEF=（3）要使ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+C

9、P最小值为线段BC的长度）B（5，0），C（0，），直线BC解析式为y=x+，xP=1，yP=3，即P（1，3）令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3k，y=kx+3k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）根据两点间距离公式得到：M1M2=M1M2=4（1+k2）又M1P=；同理M2P=M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）M1PM2P=M1M2，=1为定值【例四】（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常

10、数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）i）首先求出直线

11、AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x5）与抛物线的交点，即为所求之M点；当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x3）与抛物线的交点，即为所求之M点ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段BF的长度解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，

12、1），B（4，1）两点，解得：b=2，c=1，抛物线的函数表达式为：y=x2+2x1（2）i）A（0，1），C（4，3），直线AC的解析式为：y=x1设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为（m，m1），则平移后抛物线的函数表达式为：y=（xm）2+m1解方程组：，解得，P（m，m1），Q（m2，m3）过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，则PE=m（m2）=2，QE=（m1）（m3）=2PQ=AP0若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）由A（0，1），B

13、（4，1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l1的解析式为：y=x+b1，B（4，1），1=4+b1，解得b1=5，直线l1的解析式为：y=x5解方程组，得：，M1（4，1），M2（2，7）当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，1）由A（0，1），F（2，1），P0（2，1）可知：AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为过点F作直线l2AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l2的解析式为：y=x+b2，F（2，1），1=2+b2，解得b1=3，直线l2的解析式为：y=x3解方程组，得：，M3（1+，2+），M4（1，2）综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，1），M2（2，7），M3（1+，2+），M4（1，2）ii）存在最大值理由如下：由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0