2021年人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义4.1《数列的概念》(含解析)VIP

1、4.1 数列的概念知识梳理 1、数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 （3）数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性. （4）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法2、数列的分类(1)按照项数有限和无限分：(2)按单调性来分：3、数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系

2、可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式并不是所有的数列都有通项公式；同一个数列的通项公式在形式上未必唯一 （2）递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an4、常用结论汇总规律多一点（1）若数列an的前n项和为Sn，通项公式为a

3、n，则an（2）在数列an中，若an最大，则若an最小，则（3）型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；（4）形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；知识典例题型一 规律猜想例1数列的一个通项公式是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.故选：D已知数列，则是这个数列的（ ）A第10项B第11项C第12项D第21项【答案】B【分析】根据题中所给的通项公式，令，求得n=11，得到结果.【详解】令，解得n=11，故是这个数列的第11项.故选：B.题型二 递推公式例 2在数列中，（，），则（ ）AB1CD2

4、【答案】A【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.【详解】，可得数列是以3为周期的周期数列，.故选：A.已知为数列的前项和，若，且，则_.【答案】【分析】求得数列的周期，由此求得.【详解】由题意，数列是周期数列，且周期为4.故答案为：题型三累加法例 3在数列中，则的通项公式为（ ）ABCD【答案】A【分析】先将变形整理为，再分别用，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式.【详解】由已知得，所以将上述个式子相加，整理的又因为，所以故选A在数列中，且，则的通项公式为_【答案】【解析】在数列中，上式相加：题型四累乘法例 4 已

5、知正项数列an中，a11，(n2)a(n1)aanan10，nN*，则它的通项公式为()Aan BanCan Dann【答案】B【解析】由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)2(n1)0，0，因为an是正项数列，所以10，所以，则ana11.故选B.若数列满足，则_.【答案】【分析】由已知得 ，由此利用累乘法能求出an【详解】数列an满足， ，an ，又时也满足；故答案为题型五数列与函数例 5已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（ ）ABCD【答案】A【分析】由，当n2时，an1an0，当n2时，an1an0，从而可得到n2时，an最大.【详解】解：， 当n2时，an1an0，即a

6、n1an；当n2时，an1an0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an.所以a1a2a3，a3a4a5an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.已知数列的通项公式是，那么这个数列是A递增数列B递减数列C常数列D摆动数列【答案】A【详解】因为因为函数单调递增，所以数列是递增数列故选A巩固提升1、数列满足，则（ ）ABCD2【答案】B【分析】由递推关系，可求出的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出即可.【详解】由，可得，由，可得，由，可知数列是周期数列，周期为4，所以.故选：B.2、在数列中，则（ ）ABCD【答案】A【详解】试题分析：由题意得，所以3、在数列中，已知，则_.【答案】【分析】令，根据换元法求通项，即可得出结果.【详解】令，则，所以，所以，当时，上式也成立，所以.故答案为：.4、已知数列满足:,则_.【答案】0【分析】先由条件得，然后【详解】因为所以因为，且所以，即故答案为：05、数列，中，开始出现负值的项是第_项.【答案】16【分析】根据数列特点得到数列的通项公式，再解不等式，求出的值.【详解】因为数列，所以，当时，即，解得：且，所以数列开始出现负值的项是第.故答案为.6