2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第2章《2.3.3 点到直线的距离公式~2.3.4 两条平行直线间的距离》(含解析)

1、23.3点到直线的距离公式23.4两条平行直线间的距离学习目标1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d 思考1点P (x0，y0)到直线xa和直线yb的距离怎样计算？答案P(x0，y0)到xa的距离d|ax0|；P(x0，y0)到yb的距离d|by0|.思考2两直线都

2、与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？答案可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程1当点P(x0，y0)在直线l：AxByC0上时，点到直线的距离公式不适用了()2点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()3直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离()4两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()一、点到直线的距离例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离yx；3y4.解yx可化为4x3y10，则点P(2，3)到该直线的距离为.3y4可化为3y40，则点P(2，3)到该直线的距离为.(2)求垂直于直线x3y50且与点P(

3、1,0)的距离是的直线l的方程解设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知，d.所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.反思感悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可跟踪训练1(1)点P(1,2)到直线2xy100的距离为_答案2

4、(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则实数m的值为_答案6或解析由，得|3m5|m7|，m6或m.二、两平行线间的距离例2(1)求两条平行直线3x4y120与mx8y60之间的距离；(2)求到直线3x4y10的距离为3，且与此直线平行的直线的方程解(1)由两直线平行得，m6.直线6x8y60即为3x4y30.两平行直线间的距离d3.(2)设所求直线方程为3x4ym0，由两平行线间的距离公式得3，解得m16或m14.故所求的直线方程为3x4y160或3x4y140.延伸探究把本例(2)改为“直线l与直线3x4y10平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，

5、求直线l的方程”解由直线l平行于直线3x4y10，可设l的方程为3x4yc0，又点P到l的距离为3，所以3.解得c21或c9，所以，所求直线方程为3x4y210或3x4y90.反思感悟求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求(2)公式法：设直线l1：AxByC10，l2：AxByC20，则两条平行直线间的距离d.跟踪训练2(1)已知直线5x12y30与直线10xmy200平行，则它们之间的距离是()A1 B2 C. D4答案A解析由两条直线平行可得，解得m24.即5x12y100，由两条平行线间的距离公式得d

6、1.(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_答案x2y30解析当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)所以kAB2，所以两条平行直线的斜率为，所以直线l1的方程为y1(x1)，即x2y30.三、距离的综合应用例3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程解(1)如图，显然有0d|AB|.而|AB|3.故所求的d的变化范围为(0,3(

7、2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直而kAB，所以所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.反思感悟应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围跟踪训练3已知ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，1m4.当m为何值时，ABC的面积S最大？解|AC|，直线AC的方程为，即x3y20.因为点B(m，)到

8、直线AC的距离d，所以ABC的面积S|AC|d|m32|.因为1m4，所以12，所以0，00)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B.1C.1 D2答案B解析由点到直线的距离公式，得1，即|a1|.因为a0，所以a1，故选B.4已知直线3xmy30与6x4y10互相平行，则它们之间的距离是()A4 B. C. D.答案D解析3xmy30与6x4y10平行，m2，化6x4y10为3x2y0，d.5(多选)已知A(2，4)，B(1,5)两点到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值可能为()A3 B3C2 D1答案AB解析由题意得，解得a3或a3.6若点(2，k)到直线5x12y60

9、的距离是4，则k的值是_答案3或解析4，|1612k|52，k3或k.7已知点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为_答案(1,2)或(2，1)解析设点P的坐标为(a，53a)，由题意得，解得a1或2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，1)8经过点P(3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为_答案x3或7x24y750解析(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy3k40.原点到直线l的距离d3，解得k.直线l的方程为7x24y750.综上可知，直线l的方程为x3

10、或7x24y750.9求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(3,1)等距离的直线l的方程解方法一点A(1,1)与B(3,1)到y轴的距离不相等，直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为ykx2，即kxy20.由点A(1,1)与B(3,1)到直线l的距离相等，得，解得k0或k1.直线l的方程是y2或xy20.方法二当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等AB的中点是(1,1)，又直线l过点P(0,2)，直线l的方程是xy20；当直线lAB时，直线l与点A，B的距离相等直线AB的斜率为0，直线l的斜率为0，直线l的方程为y2.综上所述，满足条件的直线

11、l的方程是xy20或y2.10已知正方形的中心为直线xy10和2xy20的交点，正方形一边所在直线方程为x3y20，求其他三边所在直线的方程解因为由解得所以中心坐标为(1,0)所以中心到已知边的距离为.设正方形相邻两边方程为x3ym0和3xyn0.因为正方形中心到各边距离相等，所以和.所以m4或m2(舍去)，n6或n0.所以其他三边所在直线的方程为x3y40,3xy0,3xy60.11直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，那么l的方程为()A3xy130 B3xy130C3xy130 D3xy130答案C解析由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，kAB，kl3，由点斜式得，y4

12、3(x3)，即3xy130.12过两直线xy10和xy10的交点，并与原点的距离等于1的直线共有()A0条 B1条 C2条 D3条答案B解析联立得两直线交点坐标为(0,1)，由交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件13已知直线l与直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程是_答案2xy10解析方法一由题意可设l的方程为2xyc0，于是有，即|c3|c1|，解得c1，则直线l的方程为2xy10.方法二由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2xyc0，则c1.则直线l的方程为2xy10.14已知xy30，则的最小值为_答案解析设P(x，y)，A(2，1)，则点P在

13、直线xy30上，且|PA|.|PA|的最小值为点A(2，1)到直线xy30的距离d.15已知入射光线在直线l1：2xy3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为()A6 B3 C. D.答案C解析如图所示，结合图形可知，直线l1l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y2x3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y2x3.由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离d，即点P到直线l3的距离为.16已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)因为P为直线l上