2_4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的关系

1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.4 时域离散信号时域离散信号的傅里叶变换的傅里叶变换与与模拟信号模拟信号的傅里叶变换的傅里叶变换之间的关系之间的关系 非周期模拟信号非周期模拟信号xa(t)的傅里叶变换对的傅里叶变换对()( )1( )()2jtaajtaaXjxt edtxtXjed 这里这里 t与与的域均在的域均在之间。之间。先作一概括：先作一概括：连续的连续的连续的连续的第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 ( )() ()aanxtxnTtnT 连续信号连续信号 和和采样信号采样信号 之间的关系：之间的关系： ( )

2、axt( )axt1()()aaskXjXjjkT (1.5.5)是是 频谱的延拓，周期为频谱的延拓，周期为s( )ax t连续的连续的为采样角频率为采样角频率T2S 连续信号连续信号 的的FT和和采样信号采样信号 的的FT之间的关系：之间的关系：( )axt ( )axt第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 时域离散信号时域离散信号x(n)，或称序列，或称序列x(n)设：设： x(n)=xa(nT) n取整数取整数 x(n)的傅里叶变换对为：的傅里叶变换对为：()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eed 连续的连续的以以2为周期为

3、周期离散的离散的第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析周期序列周期序列 的的 DFS 变换对变换对( )x n 210201( ) ( )( )1( )( )( )NjknNnkknNNjX kDFS x nx n ex nIDFSkXeXkN 2()(2()jkX eX kNkN 离散的，离散的，是序列是序列以以N为周期为周期离散的离散的以以N为周期为周期离散的，离散的，是一系列冲激是一系列冲激以以2为周期为周期周期序列周期序列 的的 FT( )x n 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析n模拟信号模拟信号 的频谱的频谱 采样信号

4、采样信号 的频谱的频谱 序列序列 的频谱的频谱 第一章曾提到：第一章曾提到： ()axnT( )x n( )ax t各不相同，但有联系各不相同，但有联系第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析( )()1()()()()( ( )()()() ()asakjtjtjtanjnTjTanaanj njnaTx nxnTXjjkXjTedtedtxnTtnT edtxnT eXxex n eXtxnTtTen 以时域形式的对比进行推导：以时域形式的对比进行推导： ( )() ()anaxtxnTtnT 对于采样信号对于采样信号2,sTT 第第2章章 时域离散信号和系统的

5、频域分析时域离散信号和系统的频域分析 以时域形式的对比进行推导：以时域形式的对比进行推导：()2 ( )(1)j njankFT x nx n eX eXjjkTTT 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 以以频域频域形式的对比进行推导：形式的对比进行推导：将将t=nT代入代入1( )()2jaatxXjedt 1()()2janTaxXjnedT 将将轴轴划分成划分成无限多个积分区间，每个积分区间为无限多个积分区间，每个积分区间为2T 1( )()2njjxX edne 对比对比第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 以以频域频域

6、形式的对比进行推导：形式的对比进行推导：221()()21()2jaakjnTTTTakkTTnxnTXjedXjed 为使积分上下限相对应，令为使积分上下限相对应，令2kT 则：积分上限为则：积分上限为22kkTTT 积分下限为积分下限为22kkTTT 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2()21112()()212()212()2jk nTTTaakTjnTjk nTakTjnTTakTTTddTTxnTXjjk edTXjjk eedTXjjk edT -j2 kn-j2 kn写成写成当k、n取整数时当k、n取整数时e e时，时，时，时，12()12ja

7、knedXjjkTTT 对比频域表达式：对比频域表达式：(2)(1j njXdex ne 比较，当比较，当x(n)=xa(nT)时时第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析经比较而得经比较而得：12()()jakX eXjjkTTT (2.4.3) 此即此即:序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换X(ej)与模拟信号与模拟信号xa(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Xa(j)之间的关系式。之间的关系式。1()()akXjXjjkasT (1.5.5)比较：比较：频率轴为频率轴为频率轴为频率轴为采样信号的采样信号的FT模拟信号模拟信号xa(t)的的FT第第2章章 时域离散信号和系

8、统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换和和模拟信号的傅里叶变换模拟信号的傅里叶变换之间的关系，之间的关系， 与与采样信号的傅里叶变换采样信号的傅里叶变换和和模拟信号的傅里叶变换模拟信号的傅里叶变换之间之间 的关系一样，的关系一样， 都是都是Xa(j)以周期以周期s=2/T进行周期延拓，频率轴上取进行周期延拓，频率轴上取 值的对应关系为值的对应关系为=T。 结论：结论：()12()ajkjjkTTTX eX )1()saakjjXkjXT (2.4.3) (1.5.5)重写重写：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 频率归一化频

9、率归一化转换关系：转换关系：=T、 s=2/T例如：例如： = 2时时 = / T = 2 / T = s f = / 2 =1 / T =F s第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 频率归一化频率归一化其定标值对应关系用图其定标值对应关系用图2fffss 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 模拟折叠频率模拟折叠频率Fs / 2对应的数字频率为对应的数字频率为 如需满足采样定理，则要求模拟最高频率如需满足采样定理，则要求模拟最高频率 fc不能超过不能超过Fs / 2 如不满足采样定理，则会在如不满足采样定理，则会在=附近，或者附

10、近，或者f=0.5Fs 附近引附近引 起频率混叠。起频率混叠。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例 2.4.1 设设xa(t)=Cos(2f0t)， f0=50 Hz，以采样频率，以采样频率fs=200 Hz 对对xa(t)进行采样，进行采样， 得到采样信号得到采样信号 和时域离散信号和时域离散信号x(n)， 求求xa(t)、 、x(n) 的傅里叶变换。的傅里叶变换。 ( )ax t0002200()( )( (2)2)12(2)jf tjfjtaajttXjFT xtedteCosf tdteffe (2.4.8) 解：解： 模拟信号模拟信号xa(t)的的

11、FT： ( )ax t按定义按定义式式(2.3.8)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析0 ( )() ()(2) ()aannxtxnTtnTCosf nTtnT 001()( )()(2)(2)saaaskksXjFT xtXjjkTffTkk 采样信号采样信号 的的FT： ( )axt00() (2)(2)aXjff 即已求得模拟信号的频谱：即已求得模拟信号的频谱：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 采样序列采样序列x(n)的的FT：将将 代入代入 ()aXj 2,STT 0( )()cos(2)ax nxnTf nT 00()(2)(2)ssakXjkTkff 对已求得采样信号的频谱：对已求得采样信号的频谱：00001()()22(2)(2)(22)(22)(2)(2)222jakksssskkTTTX eXjjkTkfkfTTTTTfkfffkffTkk 022502002sff 以以2为周期为周期第第2章章 时域离散信号和