2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1、ABCD六角螺母六角螺母:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.注：概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面经过这两条直线无法作出一个平面” .或或:“不可能不可能找到一个平面同时经过这两条直线找到一个平面同时经过这两条直线”:不相交也不平行两条直线叫做 异面直线.注意注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线是异面直线, 它们可能是相交它们可能是相交,也可能是平行也可能是平行.一、异面直线:异面直线的画法异面直线的画法:Abababa用平面衬托A1B1C1D1CBDA练习：如图：正方体的棱所在的直线中，练习：如图：正方体的棱所在的直线

2、中，与直线与直线A1B异面的有哪些？异面的有哪些？ 答案：答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1二、空间两直线的位置关系：二、空间两直线的位置关系：(1)从公共点的数目来看，可分为：从公共点的数目来看，可分为：有且只有一个公共点有且只有一个公共点两直线相交两直线相交1l2lA没有公共点没有公共点两直线平行两直线平行两直线为异面直线两直线为异面直线1l2l12llA记作：12/ll记作：(2)从平面的性质来讲，可分为：从平面的性质来讲，可分为：两直线相交两直线相交在同一平面内在同一平面内两直线平行两直线平行不在同一平面内不在同一平面内两直线为异面直线两直线为异面直线问题：问题：在同

3、一平面内，平行于同一条直在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？立吗？ 若若ab，bc, 则则accab 公理公理4:平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线互相平行互相平行.(空间平行直线的传递性空间平行直线的传递性)空间四边形：如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.例例1：已知：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，四边形，E，F，G，H分别是分别是AB，BC

4、，CD，DA的中的中点，连结点，连结EF，FG，GH，HE，求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.解题思想：解题思想： EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH = BD同理，同理，FG BD且且FG = BDEH FG且且EH =FG四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形证明：证明：连结连结BD2121把所要解的把所要解的立体几何立体几何问题转化为问题转化为平面几何平面几何的问题的问题解立体几何时最主要、最常用的一种方法解立体几何时最主要、最常用的一种方法.AB DEFGHC问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角

5、的两边分别平行，那么这两个角相等吗？角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？方向相同或相反，结果如何？方向相同或相反，结果如何？一组边的方向相同，而另一组边的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？方向相反，又如何？互补，等角定理等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图. 在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?

6、ABGFHEDCO三、异面直线所成角：三、异面直线所成角：平平移移法法O异面直线所成角的定义: 已知两条异面直线a,b ,经过空间任一点O作直线aa ,b b 则把a 与 b 所成锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb a思想方法思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题即化空间图形问题为平面图形问题思考思考 : 这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗 ? 即即O点位点位置不同时置不同时, 这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围( 0 , 90 oo如果两条异面直线如果两条异面直

7、线 a , b 所成的角为直所成的角为直角，我们就称这两角，我们就称这两条直线互相垂直条直线互相垂直 , 记为记为a ba 思考思考 : 这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗 ? 即即O点位置点位置不同时不同时, 这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?b aO1aab2 在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)45o例例2:(1)求直线求直线BA1和和CC1所成角的度数所成角的度数.ABC1D1C1B1AD 找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角. 例例2:(2)哪

8、些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA1垂直？垂直？ABC1D1C1B1AD 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = , AD = ,AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?3232解答：解答：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF = 45o(2) BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG = 60oABGFHEDC32322AFEDCB 如图，在四面体如图，在四面体ABCDABCD中，中，E E，F F分别是棱分别是棱ADA

9、D，BCBC上的点上的点, ,且且 , ,已知已知AB=CD=3AB=CD=3， , ,求异面直线求异面直线ABAB和和CDCD所成所成的角的角.12A EB FE DF C3EF M一作一作(找找)、二证、三求、二证、三求(1)通过直线平移，作出异面直线所成的通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为平面问题角，把空间问题转化为平面问题.(2)利用平面几何知识，求出异面直线所利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小成角的大小.异面直线所成角的求法：异面直线所成角的求法：在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱长为中，棱长为a，E、F分别是棱分别是棱AB，BC的中点，求：的中点，求

10、：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BC与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BD与与 EF所成角的大小所成角的大小.4560平平移移法法OG90AC AC EF, OG BDBD 与与EF所成的角所成的角即为即为AC与与OG所成的角所成的角, 即为即为AOG或其补角或其补角.不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系小结小结公理：公理： 在空间平行于同一条直线的两条

11、直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法异面直线的求法:一作一作(找找)二证三求二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：异面直线的画法异面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角、一条直线与两条异面直线中的一条相交，、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）那么它与另一条之间的位置关系是（）、平行、相交、平行、相交、异面、可能平行、可能相交、可能异面

12、、异面、可能平行、可能相交、可能异面、两条异面直线指的是（）、两条异面直线指的是（）、没有公共点的两条直线、没有公共点的两条直线、分别位于两个不同平面的两条直线、分别位于两个不同平面的两条直线、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线、不同在任何一个平面内的两条直线、不同在任何一个平面内的两条直线备选练习：备选练习：3、下列命题中，其中正确的是（、下列命题中，其中正确的是（ ）（）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线

13、相交，那么这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行4、三个平面两两相交，所得的三条交线（）、三个平面两两相交，所得的三条交线（）、交于一点、互相平行、交于一点、互相平行、有两条平行、或交于一点或互相平行、有两条平行、或交于一点或互相平行AcBDHEFG1.已知四边形是空间四边形，、分别是边、的中点，、分别是边、上的点，且.求证：四边形有一组对边平行但不相等2.如图，是所在平面外一点，、分别是和的重心

14、.求证：，3.下图长方体中下图长方体中平行平行相交相交异面异面 BD 和和FH是是 直线直线 EC 和和BH是是 直线直线BH 和和DC是是 直线直线BACDEFHG(2).与棱与棱 A B 所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条?4分别是分别是 ：CG、HD、GF、HE课后思考课后思考: : 这个长方体的棱中共有多少对异面直线这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?ABGFHEDC4.如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ 解解: (1)如图如图: BFCG，EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 BE与与CG所成的角，所成