计量经济学课件：第05讲 异方差性

1、2021-10-13金融与统计学院1第五章 异方差性异方差性的定义异方差性的后果异方差性的侦察异方差性的补救2021-10-13金融与统计学院2第一节 异方差性的定义Heteroskedasticity异方差性：样本线性回归模型违背了古典假设中的同方差性（随机误差项同方差），即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而是互不相同（随机误差项服从不同方差的正态分布）。异方差性：被解释变量观测值的分散程度随解释变量的变化而变化。3l 异方差可以表示为 22221n/UUEUVar 2iiVar例：消费支出与收入之间的关系 Y0XiXjX4l 异方差性产生的原因模型中缺失解释变量：导致随机误差

2、项中包含该解释变量的影响样本数据的观测误差（误差增加或减少）模型函数形式不正确（模型设定误差）变量之间的关系发生了变化（如线性变成非线性，等）一个或多个回归元的偏态分布l 截面数据较时间序列数据更易产生异方差性（不同收入组别家庭的消费）l 恩格尔（Engel，1982）：时间序列也可能出现异方差性ARCH检验。2021-10-13金融与统计学院5第二节 异方差性的后果参数估计量无偏、但非有效变量显著性t检验无意义I)UU(E/2明过程中利用了参数估计量有效性的证)kn( tcctjjjjjjjj126l 方程显著性F检验失效l 模型预测失效，因为：模型不具有良好的统计性质预测值的置信区间包含随

3、机误差项的共同方差)X)XX(X(tYY)X)XX(X(tY/0102200010220112021-10-13金融与统计学院7第三节 异方差性的检验异方差性是一个潜在的严重问题，研究者需要知道它在某一给定情况下是否出现。不存在侦察异方差性的严明法则，只有少数经验性方法。思路：检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性方法：图示检验法、等级相关系数法、戈里瑟检验、巴特列特检验、歌德菲尔特-夸特检验等2021-10-13金融与统计学院8（一）图示法残差（平方和）对被解释变量、解释变量、对观测秩序i描点(a)ekXi9（b）（c）（d）ekXiekXiekXi10（e）（f）ekXiekXi

4、2021-10-13金融与统计学院11（二）帕克检验iiiiiiviivXevXeXilnlnlnlnlnln222222基本思想：检验随机误差项的方差与解释变量之间的关系2021-10-13金融与统计学院12基本思想：对样本数据利用OLS估计得到残差，然后将残差的绝对值对解释变量进行回归，进而根据回归模型的显著性和拟合优度判断是否存在异方差。（三）Glejser test13ee0jX a0jX be0jX cl 常用的拟合模型常用的拟合模型 212112111010，其中，。以及其中，lXe,lXeljlj14l 方法评价误差项可能存在非零期望值、序列相关性或异方差性；非线性形式的方程难以

5、进行OLS估计；对于大样本，上述六个拟合模型中前四个一般能得到满意结果；对于小样本，该检验方法只能作为探索异方差信息的定性手段。2021-10-13金融与统计学院15基本思想：将样本分为两个容量相等子样本，分别进行回归，计算两个子样本残差均方差的比值（统计量），进而判断是否存在异方差。适用于随机误差项方差与某一解释变量存在正向关系的情形。前提条件：样本容量足够大（参数个数两倍以上）其它古典假设均满足（四）戈德菲尔德-夸特检验16l 步骤步骤观测值按观测值按任一任一解释变量从小到大排列解释变量从小到大排列去除居中的去除居中的c个观测值个观测值，则每个子样本的观测，则每个子样本的观测值个数为（值个

6、数为（n-c）/2提出假设提出假设H0：两个子样本残差的方差相等：两个子样本残差的方差相等对两个子样本进行回归，求得残差，构造如下对两个子样本进行回归，求得残差，构造如下统计量（下标统计量（下标1对应观测值小的子样本，下标对应观测值小的子样本，下标2对应观测值大的子样本）对应观测值大的子样本）省略观测值的目的，是突出或激化小方差组和大方差组之间的差异。17)kcn,kcn(FeekcnekcneF121212122122212218l 适用于随机误差项的方差与模型中某一解适用于随机误差项的方差与模型中某一解释变量有正相关的情形；释变量有正相关的情形；l 此检验需要对每一个解释变量进行此检验需要

7、对每一个解释变量进行l 检验的成功依赖于检验的成功依赖于c值的确定：值的确定：n戈德菲尔特和匡特的模特卡洛实验表明，当样戈德菲尔特和匡特的模特卡洛实验表明，当样本容量大小为本容量大小为60时，时，c约为约为16n但贾奇（但贾奇（Judge）等人却认为当）等人却认为当n=30时时c=4、当当n=60时时c=10为宜。为宜。l 检验的成功依赖于用以排序的解释变量的检验的成功依赖于用以排序的解释变量的正确识别正确识别2021-10-13金融与统计学院19（五）Breusch-Pagan-Godfrey基本思想：构造回归方程残差平方序列与解释变量之间的函数，得到回归平方和，进而判断是否存在异方差性。应

8、用前提：随机误差项服从正态分布步骤：用OLS估计样本回归方程，得到残差e计算残差平方序列nenii12220l 构造l 用OLS估计如下回归方程，求出回归平方和（可解释平方和）ESS 如果原回归方程的随机误差项满足同方差性，则如上回归方程中22epiiimimiiivZZZp22110021m21 如果原回归方程随机误差项满足同方差性，则当样本无限增大时，有)m(ESS22程存在异方差性。即样本回归方，接受备择假设可拒绝原假设，则，如果对于给定的显著性水平,HH)m(ESS*10222021-10-13金融与统计学院22（六）White test步骤估计样本回归方程，得到残差序列e构造残差平方

9、序列e2对原解释变量、解释变量的平方、解释变量交叉乘积的辅助回归方程（含常数项），得到未调整的决定系数R2若样本回归方程满足同方差性，则辅助回归方程解释变量的系数均为零，且)df(nR2223 其中，自由度df等于辅助回归方程中回归元的个数。程存在异方差性。，即样本回归方，接受备择假设拒绝原假设，则，如果对于给定的显著性水平1022HH)df(nR*l White test可能是纯粹异方差的检验（可能是纯粹异方差的检验（不含交叉项），可能是设定误差的检验不含交叉项），可能是设定误差的检验，或者两者兼有（含交叉项）。，或者两者兼有（含交叉项）。2021-10-13金融与统计学院24（七）ARCH

10、检验2021-10-13金融与统计学院25第四节 异方差性的补救基本思想：运用必要的估计方法，消除/减弱异方差性的影响，提高参数估计的精度。基本方法：加权最小二乘法、模型变换法2021-10-13金融与统计学院26最小二乘法的基本原则是使得残差平方和最小普通最小二乘法中，每个残差平方均有相同的权重，即在最优化过程中，每个残差平方提供的信息是同等重要的。加权最小二乘法中，对较小（大）的残差平方给予较大（小）的权重，以便更好地反映随机误差项的方差对残差平方和的影响程度，改善参数估计量的统计性质。加权最小二乘法2021-10-13金融与统计学院27加权最小二乘法：加权残差平方和如何取值？差的权重问题

11、在于，对于每个残inikikiiiiniiiW)XXXY(WeW1222110122021-10-13金融与统计学院28方法一：令每个残差对应的权重等于其方差的倒数，将回归模型变换为1111222221102iiiiiiiiikikiiiiiiiii)(Var)(VarXXXYw差为新模型随机误差项的方2021-10-13金融与统计学院29。量除异方差性的参数估计进行估计，即可得到消对上述新模型用新的回归模型形式为，即代替实际问题中，常用OLSeeXeXeXeeYeweiiikikiiiiiiiiiiii221102222112021-10-13金融与统计学院30 对新模型进行最小二乘估计的残

12、差平方和为：nikikiiiiniikikiiiiiii)XXXY(e)eXeXeXeeY(V12221102122211012021-10-13金融与统计学院31方法二：以某些解释变量的函数为权重。如经检验发现，线性回归模型的误差项有如下形式的异方差性： 则可以用 除模型各项，将原线性回归模型变换为：22jiiXfjiXfjiijikikjiijijiiXfXfXXfXXfXfY11012021-10-13金融与统计学院32 此时，新模型随机误差项的方差为 对新模型进行最小二乘估计的残差平方和为：211101nikikiijiXXYXfV 2222111jijiijiijijiiXfXfXfVarXfXfVar2021-10-13金融与统计学院33模型变换法分：对数变换：对解释变量和被解释变量分别取对数，再进行回归分析。使解释变量观测值之间的差距变小，进而减弱随机误差项的方差（默认随机误差项的方差和解释变量相关）双对数线性回归模型Box-Cox变换：对