3 二项分布和泊松分布

1、1电力系统可靠性电力系统可靠性概率电力系统可靠性概率基础知识基础知识胡 博Email: 2 1 集合与事件 2 概率基本概念 3 事件的概率方法 4 正态分布(连续) 5 二项分布(离散) 6 泊松分布(离散) 7 指数分布(连续)3 如果某个试验只有成功和失败两种结果，且假设成功的概率是p，失败的概率是q，则对于n次试验的概率分布概率分布为：称其为二项分布，并满足以下条件 (1) 有限的试验次数，即n次; (2) 每次试验只出现两种结果之一; (3) 所有试验结果有相同概率（两种实验结果）; (4) 每次均为独立独立试验。1)(0nrrrnrnnqpCqp二项分布4二项分布1)(0nrrrn

2、rnnqpCqp5 设x表示实验成功成功的随机变量，对于n次试验，则其均值为： 1)(0nrrrnrnnqpCqp二项分布的均值 )!()!1()!1()!()!1(!)(11110npqpxnxnnpqppxnxnqpxCxEnxxnxnxxnxnxxnxxn6二项分布的方差2222222222200002222 )!()!2()!2() 1( )!()!2)(1()!2)(1() 1( )!( !) 1( ) 1( ) 1( ) 1( )()()()(npnppnnpqpxnxnpnnnpqppxnxxxnnnxxnpqpxnxnxxnpqpCxxnpqpCxxqpxCqpCxxqpCxx

3、ExExExVxnxnxxnxnxxnxnxxnxnxxnxnxnxxnxnxnxxnxnxnxxnxnxnxxnE(x)7二项分布的方差和标准差npqnpqpnpnpnpnppnxExExV )1 ( )()( )()()(2222228二项分布例：下表为4个假设的发电系统，进行确定性准则(20%备用容量)和概率性准则（用二项分布）的对比研究。 发电系统数据及失效概率指标 系统 总容量(MW) FOP 系统峰荷(MW) 系统失效概率 1 2410MW 0.01 200 0.000004 2 1220MW 0.01 200 0.000206 3 1220MW 0.03 200 0.004847

4、 4 2220MW 0.01 183 0.000063备注：备注：FOP(Forced outage probability)代表机组代表机组强迫停运强迫停运概率概率。?9二项分布发电系统数据及失效概率指标总容量(MW) FOP 系统峰荷(MW) 系统失效概率2410MW 0.01 200 0.000004000004. 005-8.69E0.0016390.0221250.1904670.785678101. 099. 001. 099. 001. 099. 001. 099. 099. 014204243213242222242312424024CCCCC10二项分布 4个系统的容量备用裕

5、度均为20%。因此，按照传统的百分数备用确定性准则，这4个系统发电容量的风险度相同，或者说它们的可靠性一致。 利用二项分布的概念，计算出这4个系统的失效概率风险如前所示。其中系统3的风险度是系统1的1000倍，可见“百分数备用”的确定性准则不能科学地评估系统的风险度。 11容量停运概率表 要设计一个小电厂以满足10兆瓦的恒定负荷，考虑四种方案，假设所有机组的FOP相同，等于0.02 ： (a) 110MW机组 (b) 210MW机组 (c) 35MW机组 (d) 43(1/3)MW 请给出四种方案的容量停运概率表容量停运概率表：12容量停运概率表(a) 110MW机组（负荷（负荷10MW）停运

6、机组停运容量可用容量失负荷量单独概率期望失负荷量001000.98-1100100.020.2合计-10.213容量停运概率表(b)210MW机组（负荷（负荷10MW）停运机组停运容量可用容量失负荷量单独概率期望失负荷量002000.9604-110100000040.004合计-10.00414容量停运概率表(c)35MW机组（负荷（负荷10MW）停运机组停运容量可用容量失负荷量单独概率期望失负荷量001500.941192-151000.057624-210550.0011760.005883150100.0000080.0008合计-10.0059615容量停

7、运概率表(d)43(1/3)MW机组（负荷（负荷10MW）停运机组停运容量可用容量失负荷量单独概率期望失负荷量0013(1/3)00.92236816-13(1/3)1000.07529536-26(2/3)6(2/3)3(1/3)0.002304960.00768323103(1/3)6(2/3)0.000031360.00020907413(1/3)0100.000000160.0000016合计-10.0078938716容量停运概率表 期望失负荷量这一可靠性指标表示不能供电的负荷量，但没有给出可能发生负荷损失的期望小时数。这一小时数小时数可以通过计算期望失负荷期望失负荷时间时间得到。

8、如果例中的电厂连续运行，即每年运行8760个小时，则期望失负荷时间可用失负荷概率加期望失负荷时间可用失负荷概率加权运行小时数权运行小时数算出：17容量停运概率表系统负荷损失概率期望停电时间（小时）(a) 110MW机组0.02175.2(b) 210MW机组0.00043.504(c) 35MW机组0.00118410.37814(d) 43(1/3)MW0.0023364820.4675618二项分布例：某发电系统有3台机组，强迫停运概率(FOP)均为0.1，单台机组装机容量为100MW，系统负荷为180MW(假设负荷恒定不变)。用二项分布计算系统失负荷概率和期望失电量。解：设机组的可用率和

9、不可用率分别为A和U，则有：A=0.9、U=0.1。从而有： (A+U)3=A3+3A2U+3AU2+U3 当系统有2台及其以上机组故障时，系统会失去负荷，因此，系统失负荷概率为：3AU2+U3 =0.027+0.001=0.028 系统期望失电量为：8087603AU2+1808760U3 =18921.6+1576.8=20498.4(MWh/年)19 1 集合与事件 2 概率基本概念 3 事件的概率方法 4 正态分布(连续) 5 二项分布(离散) 6 泊松分布(离散) 7 指数分布(连续)20泊松分布 假设在给定时间（或空间）内发生频率为常数，例如：220kV线路故障率为0.25次/(百

10、公里年)。 泊松分布用以描述：在一时间t内，某事件发生次数的概率。例如：一台机组10年内故障0次、1次的概率。21泊松分布 它与二项分布的主要区别在于：只考虑事件的发生而不考虑事件的不发生不考虑事件的不发生。 如：一个时期的着雷数、一段时间的电话数等； 如果用泊松分布模拟失效过程，则可选择故障率为“给定时间内发生频率为常数” 。单位时间的平均故障数22泊松分布 泊松分布的概率分布函数 x:故障发生的次数 该表达式计及了故障数，但未计及元件故障后需要修复或更换的时间。 如果平均修复时间平均修复时间很短而与平均无故障工作时间平均无故障工作时间相比可以略去不计的话，则在许多计算中，这个假设是合理的。

11、 !)()(xettPtxx23泊松分布 泊松分布的均值(故障发生次数)和方差为： !)()(xettPtxxtxettxetxxetxxExtxxtxxtx1110)!1()(!)(!)()(24泊松分布 泊松分布的均值(故障发生次数)和方差为： !)()(xettPtxxttttxExExVttxettxettxetxxetxxetxxetxxExtxxtxxtxxtxxtxxtx22222112221112022)()()()()()()!1()()!2()()()!1()() 11()!1()(!)(!)()(25泊松分布（应用）举例：举例：某系统中电缆线路的故障率是每100公里0.5

12、次/年，求40年内10公里长度电缆线路不发生故障不发生故障和发生发生一次故障的概率一次故障的概率。解：由已知数据，10公里电缆40年内发生故障次数的均值为 ： 由此可得故障概率密度分布函数：次0 . 24005. 0)(txE!0.22xePxx26泊松分布（应用） 因此不发生故障，即x=0的概率为 而发生一次故障，即x=1的概率为135. 020eP27. 0! 1221eP27泊松分布（应用） 例：计算如图所示两相同元件构成的旁待备用系统的可靠性（连续工作的概率）。设监测和切换装置均100%可靠，备用元件处于备用状态时不发生故障，且忽略A切换到B过程所需的时间。 思路：考虑元件A，当A正常

13、运行时，系统可连续正常运行；当A发生一次故障时，由于B的备用作用，系统仍可正常连续运行；当A发生两次及其以上故障时，尽管有B的备用作用，但系统仍不能正常连续运行。 旁待备用系统 A B 28泊松分布（应用） A正常工作时(A发生0次故障)、A发生1次故障时，系统连续工作的概率分别为： 系统连续工作的总概率为： 推广到n个相同备用元件的情形： )1 ()()()(10teteetPtPtRttt0()( )!xtnxt eR txttttteettPeettP! 1)()(,! 0)()(110029泊松分布(应用)例：元件故障率为，计算无穷短时段t内，元件故障的概率。思路：因时段t无穷短，因此

14、，该时段内发生超过一次的故障的概率也无穷小，即超过一次故障的概率可忽略不计。换句话说，元件故障的概率即为元件出现一次故障的概率。解：由泊松分布知，元件出现一次故障的概率为：结论：当时间区间t很短时，可用t表示t内元件故障的概率；对可修复系统可用t表示t内元件修复的概率（ 为修复率）。tTaylorttttteettPtt).)(! 2)(1 (! 1)()(211级数即可为无穷小量，用30泊松分布和二项分布的关系 举例：某一次实验，成功的概率是0.1.试分别用(a)二项分布；(b)泊松分布计算。10次试验中恰有两次成功的概率。1937. 09 . 01 . 0! 8 ! 2!109 . 01 . 0)2( )(8282210 CPa0 . 11 . 0*10 )(npb1839. 0! 20 . 1)2(0 . 12eP 31泊松分布和二项分布的关系 举例：某一次实验，成功的概率是0.005，试分别用(a)二项分布；(b)泊松分布计算。20次试验中恰有两次成功的概率。 0043. 0995. 0005. 0! 8 ! 2!20995. 0005. 0)2( )(8282