人教A版必修1高中数学《二分法求方程的近似解》说课稿

1、二分法求方程的近似解说课发言稿 幻灯片1：各位老师，大家上午好！我是来 一中的 ，我今天说课的题目是二分法求方程的近似解。内容出自人教a版必修1第3.1.2节。幻灯片2： 下面我将从教材分析、学情分析、过程分析、以及评价分析这四个方面进行阐述。幻灯片3： 首先是教材分析。零点问题，即方程根的问题，是不等关系的基础。用二分法求方程的近似解是新课程中新增的内容。按照对新事物的认知规律，教材分四个步骤进行：零点是什么；零点有没有；零点有几个；零点怎么求。本节课要讨论的就是最后一个步骤，零点怎么求的问题。本节内容渗透了函数与方程、数形结合、算法和逼近等数学思想。幻灯片4：通过对教材的地位和作用进行分析

2、，我将本节课的重点定为：理解用二分法逼近方程根的过程；难点定为：理解精确度的作用，归纳二分法的一般步骤。幻灯片5：其次是学情分析。本节课的教学对象是高一普通班的学生。从认知基础看，学生已经学习了函数零点定理，初步了解函数与方程的转化思想；但对于高次方程和超越方程根的寻求有困难；另外，模式化求近似解是一个全新问题。幻灯片6：接下来是过程分析。总的来说，我将本节课分为四个部分：引入课题，构建模型，分析归纳，应用巩固。我的设计思路是，首先由数学史引问题，游戏引方法；然后按照游戏中的思想从表格图象两方面入手构建模型；接着归纳二分法的定义及步骤；最后通过练习巩固二分法的使用。下面我将按这个流程进行具体阐

3、述。幻灯片7：第一部分，引入课题。向学生介绍中外历史上方程求解的一些史料，发现，对于高次方程及其它的一些非常规方程，没有具体的求根公式。怎么办呢？因此有必要寻求它们的近似解。幻灯片8：设计意图是，通过介绍方程求解的发展史，让学生了解有些非常规方程是很难求根的，从而引出问题：怎么求这类方程的近似解？幻灯片9：接着，组织学生做一个游戏：“猜猜我的年龄”。这是某明星近期出席活动的照片，观察这张照片，大家一起来猜猜她到底有多少岁呢？通过观察，我们可初步断定她的年龄是介于20岁到60岁之间，那如何既快又准地猜出她的年龄呢？允许误差小于5岁。让学生以小组为单位讨论，然后向全班展示小组的猜测方案。通过对这些

4、方案进行讨论和比较，我们确定出了如下的一个最优方案：首先猜测40岁，发现低了，于是她的年龄范围就缩短为40岁到60岁之间；再猜50岁，发现还是低了，于是年龄范围再次缩短，变为50岁到60岁之间；最后猜测55岁。那她的实际年龄到底是多少呢？通过百度，我们发现一个不可置信的事实：这位明星已经有58岁了，真是人不可貌相！但这与我们猜测的结果相差不到5岁，总算猜中了！在这个游戏中，通过不断地将年龄范围一分为二，从而使得所猜年龄逐步逼近实际年龄，这就是二分法的思想。那到底这个游戏与求函数零点有什么联系？事实上，我们可以将实际年龄对应到零点，年龄高低的判断对应到零点存在定理，而允许误差则对应到精确度。从而

5、将游戏与本节课内容联系起来。幻灯片10：设计意图是通过游戏激发学生的思维，并将其与数学问题对应，从而引出解决问题的方法：二分法。幻灯片11：在这一部分中，通过数学史引出本节课研究的主要问题，又通过游戏引出解决问题的方法。接下来，进入到第二部分，构建模型。设置这样一道例题，求函数f(x)零点的近似值，精确度为0.1. 那精确度是指什么呢？如果区间(a , b)满足精确度，那么零点属于(a , b)且区间长度小于这道题的解决思路是，首先用表格分析零点的近似值，再用几何画板作图诠释逼近思想。这部分总的设计意图是将游戏中采用的方法严谨化，从表格、图象两方面入手解决问题。幻灯片12：由于学生已经有了游戏

6、中的二分法思想作基础，又由上一节课的探究，学生们已经知道函数的零点大致在区间(2 , 3)内。下面让学生两人一组，一人拿计算器，一人记录过程，共同完成这个表格。之后让学生展示计算结果并解释过程，最后教师对学生的回答进行总结：幻灯片13：零点所在的初始区间为(2 , 3)，区间长度为1，显然没有达到精确度，怎么办呢？我们需要缩小区间，于是取区间(2,3)的中点2.5，那这时零点区间变为哪一段了呢？ 因为f(2.5)0，所以用2.5来替换区间的左端点2，由于2.5与3的函数值异号，所以零点就落在了区间(2.5,3)内。那这时有没有达到精确度呢？我们发现此时区间长度为0.5，仍没有达到精确度，因此还

7、要进一步缩小区间，于是继续取区间中点。那这个过程持续到什么时候结束呢？直到区间长度小于0.1，达到精确度，我们才停止运算。最终得到当精确度为0.1时，零点所在区间为2.5,2.5625。那近似值到底取哪个点呢？事实上，对于这个区间中的任意点x，它与零点之间的距离都小于精确度0.1.因此都可作为近似值。但我们习惯上取端点值。另外，如果在某个区间中点处的函数值刚好就是0，那此时，这个中点值就是函数的零点。幻灯片14：这部分的设计意图是，学生小组通过完成表格的活动，体会二分法的运用过程；另外，教师通过展示，让学生清晰零点区间如何缩小，以及精确度作为判断终止条件的作用。从而让学生掌握重点，攻破难点。幻

8、灯片15：接下来，用几何画板作图来向学生演示零点区间如何逐步地逼近零点。零点所在的初始区间为（2 , 3），如何缩小这个区间让它满足给定的精确度呢？我们取区间中点. 由于与3的函数值异号，所以零点区间缩短为( , 3)，再取区间中点，由于、的函数值异号，所以零点区间再次缩短，变为( , )。依此类推，不断缩小零点区间，直到它的长度达到精确度为止。设计意图是用几何画板作图，让学生对二分法的过程形成比较直观的印象，从而更好的理解二分法。幻灯片16：下面进入到第三部分，分析归纳。在第二部分中，我们用游戏中的二分法思想解决了一个具体的函数零点问题，建立了解决问题的数学模型，那么对于一般函数，如果存在零

9、点，是不是也可以用这种方法去求呢？比如a、b、c、d四个函数图象。学生经过思考讨论发现，图象b好像不能用二分法思想解决。为什么呢？因为二分法的依据是零点存在定理，而这个定理的条件是零点所在的某个区间端点处的函数值异号，并且函数在该区间连续。所以b选项不能用二分法求零点。而d选项虽然整个函数不连续，但它在零点附近是连续的，所以可以用二分法。由此可得出二分法只能用来解决在零点附近连续且“穿轴”的零点问题。从而得到二分法的定义。设计意图是引导学生将上述例子推广到一般的函数，并注意推广的条件。从而归纳出二分法的定义，体会从特殊到一般的思想。幻灯片18、19：接下来，让学生分小组讨论如何由前面例题的解法

10、，从文字、符号、框图三个角度概况二分法解决一般函数零点问题的步骤。但实际的活动效果是大部分小组都用文字语言概况了步骤，只有少数小组用符号和框图语言。于是教师引导学生从这两个角度去进一步完善二分法的步骤。幻灯片19：设计意图是通过一步步完善学生的归纳，最后总结出二分法求函数零点的步骤，使学生加深了对二分法过程的理解，有助于突破难点。幻灯片20： 其实这节课的核心思想是逼近，采用的方法是二分法。可是除了这种方法外，还有没有其它的逼近方式呢？比如说四分法，每次将零点区间一分为四；还有牛顿切线法，通过不断的作切线来逼近零点。这让有兴趣有能力的学生在逼近的不同方式上去做更多的思考。幻灯片20： 接下来进

11、入第四部分，应用巩固。我设计了一道练习题，让学生通过练习熟练地掌握二分法。并布置了必做题、选做题、课外实践，通过分层作业既使学生掌握了基础知识，又使学有余力的学生有所提高。以下是我的板书设计，简洁明了，重点突出，有利于提高教学效果。幻灯片22：最后是我对本节课做的自我评价分析。我这节课设计的亮点主要有三个：第一个亮点是创新引入。通过数学史引问题，游戏引方法，极大地调动了学生的兴趣，引起他们对本节课主要问题和主要思维方式的关注；第二个亮点是图表结合。用表格和图象直观形象地向学生诠释逼近过程，突破重难点，并充分的利用了信息技术；第三个亮点是主体突现。本节课多个环节设计了学生活动，学生的主体地位得到

12、凸显。幻灯片23：我的说课完毕，谢谢大家！二分法求方程的近似解说课教案 一、教材分析l 教材的地位和作用零点问题，即方程根的问题，是不等关系的基础。用二分法求方程的近似解是新课程中新增的内容。为了帮助学生认识函数与方程的关系，按照对新事物的认知规律，教材分四个步骤进行：零点是什么？零点有没有？零点有几个？零点怎么求？ 本节课讨论的是零点怎么求。本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法和逼近等数学思想。l 重点 理解用二分法逼近方程根的过程。l 难点 理解精确度的作用，归纳二分法的一般步骤。二、学情分析l 教学对象高一普通班的学生。l 教学对象的认知基础 1、学

13、生已经学习了函数零点定理，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想；2、学生比较熟悉二次方程的根，但对于高次方程和超越方程根的寻求有困难；3、模式化求近似解对学生来说是一个全新的问题。三、过程分析 教学流程设计如下： 引入课题 数学史引问题，游戏引方法 构建模型 按照游戏中的思想从表格图象两方面入手构建模型 分析归纳 归纳二分法的定义及步骤 应用巩固 通过练习巩固二分法的使用l 引入课题 1、数学史引问题 中外历史上的方程求解： 国内： 公元50100年 九章算术 解一次、二次、正系数三次方程的算法形式 7世纪 王孝通 三次方程正根的数值解法 13世纪 秦九韶 用算筹布列解任

14、意数字方程 国外： 9世纪 花拉子米 一次、二次方程的一般解法 1541年 塔尔塔利亚 三次方程的一般解法 1545年 卡尔达诺 四次方程的一般解法 1778年 拉格朗日 提出五次方程根式解不存在的猜想 1824年 阿贝尔 证明五次以上一般方程没有根式解所以，对于高次方程及其它的一些非常规方程，有必要寻求其近似解。【设计意图】通过介绍方程求解的发展史，让学生了解有些非常规方程是很难求根的，从而引出问题：怎么求这类方程的近似解？2、游戏引方法【教师活动】给出某明星近期出席活动的照片，通过观察这张照片，可初步断定她的年龄是介于20岁到60岁之间，如何既快又准地猜出她的年龄？猜测允许的误差是小于5岁

15、。【学生活动】以小组为单位讨论，然后向全班展示猜测方案。通过讨论和比较这些方案，我们确定出如下的最优方案：猜：40岁 低了 年龄范围缩短为40岁60岁猜：50岁 低了 年龄范围缩短到50岁60岁猜：55岁。她的实际年龄是58岁，相差不到5岁，所以猜中了！通过不断的将年龄范围一分为二，使所猜年龄逐步逼近实际年龄，这就是二分法思想。游戏与求函数零点有什么联系？可将实际年龄对应到零点，年龄高低的判断对应到零点存在定理，允许误差对应到精确度。【设计意图】通过游戏激发学生的思维，并将其与数学问题对应，从而引出解决问题的方法：二分法。l 构建模型 例：求函数 零点的近似值，精确度为0.1. 解释精确度：若

16、区间满足精确度，那么零点且【学生活动】两人一组，一人拿计算器，一人记录过程，共同完成下面表格。接着让学生展示计算结果并解释过程。(ab)f(a)的近似值f(b)的近似值f(m)的近似值|a-b|是否达到精确度23 【教师活动】对学生回答进行总结：零点所在的初始区间为(2 , 3)，此时区间长度为1，没有达到精确度，所以取区间(2 , 3)的中点2.5。 因为f(2.5)0，所以用2.5替换区间左端点2，由于f(2.5)、f(3)异号，所以零点区间缩短为(2.5 , 3)。此时区间长度为0.5，仍没有达到精确度，所以继续取区间中点。依此类推，重复上面步骤，直到区间长度小于0.1，达到精确度，才停

17、止运算。最终得到当精确度为0.1时，零点所在区间为2.5,2.5625。这个区间中的任意值都可作为函数f(x)零点的近似值，但我们一般取区间端点。【设计意图】学生小组通过采用游戏中的二分法思想完成表格的活动，更深一步体会了二分法的运用过程；教师通过展示，让学生清晰零点区间如何缩小从而逐步逼近零点的过程，以及精确度作为判断终止条件的作用。从而让学生掌握重点，攻破难点。【教师活动】用几何画板作图来向学生演示零点区间逐步逼近零点的过程。【设计意图】用几何画板作图，让学生对二分法的过程形成比较直观的印象，从而更好的理解二分法。l 分析归纳对于一般函数，是否也可以用上述方法去寻求它的零点呢？给出四个函数

18、图象： 【学生活动】通过观察，发现图象不能用二分法思想解决。 所以二分法思想只能用来解决在零点附近连续且“穿轴”的零点问题。 二分法的定义：对于在区间a , b上连续且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 【设计意图】引导学生将上述例子推广到一般的函数，并注意推广的条件，归纳出二分法的定义，体会从特殊到一般的思想。【学生活动】分小组讨论，从文字、符号、框图三个角度，概括二分法解决一般函数零点问题的步骤。【设计意图】通过一步步完善学生的归纳，最后总结出二分法求函数零点的步骤，使学生加深了对二分法过程的理解，有助于突破难点。 这节课的核心思想是逼近思想，采用的方法是二分法。除了这种方法外，是否还有其它的逼近方式？比如四分法、牛顿切线法。【设计意图】让有兴趣有能力的学生在不同的逼近方式上去做更多的思考。l 应用巩固练习：求方程的近似解。（精确度为0.1）作业：必做题 课本第92页练习第3、5题选做题 课本第93页习题b组第3题课外实践 课本第93页信息技术应用【设计意