第5章刚体、刚体运动

1、第5章 刚体的定轴转动1第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第5章 刚体的定轴转动2 质点质点 刚体刚体回顾与对比回顾与对比质量质量m转动惯量转动惯量zJ速度速度v角速度角速度加速度加速度a角加速度角加速度力矩力矩力力FM牛顿运牛顿运动定律动定律amdtvmdF)(转动定律转动定律()zzzd JMJdt动能动能221mvEK动能动能221zKJE动能定理动能定理KbaEsdFA动能定理动能定理KbaEdMA第5章 刚体的定轴转动3动量定理动量定理PdtFtt0动量动量vmP动量守恒动量守恒0, 0PF角动量角动量角动量定理角动量定理质量质量m转动质量转动质量zJzJL zttzLdt

2、M0角动量角动量守恒守恒0, 0LM 质点质点 刚体刚体回顾与对比回顾与对比第5章 刚体的定轴转动41. 1. 刚体刚体特殊的质点系，特殊的质点系， 理想化模型理想化模型形状和体积不变化形状和体积不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变2.2.刚体运动的分类刚体运动的分类刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。平动时所有质元的运动完全相同，可用刚体的质心的平动时所有质元的运动完全相同，可用刚体的质心的运动代替整个刚体的运动。质心服从运动代替整个刚体的运动。质心服从。平动的特点平动的特点AB

3、rrAB ABrr BAvvBAaaABABA B ABABA B 第5章 刚体的定轴转动5平面平行运动平面平行运动 = 质心运动质心运动 +质心系中定轴转动质心系中定轴转动刚体上所有质元都限定在刚体上所有质元都限定在平面里运动。平面里运动。刚体上的只有一点始终保持不动。刚体上的只有一点始终保持不动。绕过质心垂直于平面的定轴绕过质心垂直于平面的定轴刚体上所有质元都绕同一条固定直线做圆周刚体上所有质元都绕同一条固定直线做圆周运动；且各质元的角速度相同。运动；且各质元的角速度相同。第5章 刚体的定轴转动6二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动1. 各点运动的特点各点运动的特点 在自己的转动平面内作在

4、自己的转动平面内作圆周运动圆周运动任一质点圆周运动的线量和角量的关系任一质点圆周运动的线量和角量的关系转动平面转动平面zr2ntrararrna tar减速减速加速加速z1m2m12xx1O2Oddt22dddtdt第5章 刚体的定轴转动7 ( (质点系角动量定理微分形式的简化质点系角动量定理微分形式的简化) ) 质点系角动量定理微分形式：质点系角动量定理微分形式：LMtdd5.2 1. 力力 对对 点的力矩点的力矩FOFAxyroxyzMr FM x M y M z 对于过对于过O点点Z 轴，力矩可分解为两个分量轴，力矩可分解为两个分量()zzMMrFFOOMzzFFF第5章 刚体的定轴转动

5、8()OzzMMMrFFziMrF对于转轴对于转轴z，sinziMrFF hzrFAxyrOzzFFFiOirnFFh()()()()iizzzizrrFFFrFrrFzF平行于平行于z z轴轴不产生对不产生对z z轴的力矩轴的力矩F在转动平面内在转动平面内产生对产生对z z轴的力矩轴的力矩力对轴的力矩等于力对轴的力矩等于力对轴上任一点的力矩，在轴上的投影力对轴上任一点的力矩，在轴上的投影第5章 刚体的定轴转动9xyzLr Pr mL x L y L z v=质点对定点质点对定点o的角动量的角动量对对z轴的轴的角动量角动量iziiiLrm因为各质元角动量方向相同，因为各质元角动量方向相同，所以

6、合矢量的大小就是分矢量所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加2. 任一质量元的定轴角动量大小为任一质量元的定轴角动量大小为iiLLii iirmimOLO rPSiir因为因为2()i iiLmr2i iiJmr定义定义刚体对定轴刚体对定轴的转动惯量的转动惯量LJ刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量第5章 刚体的定轴转动10LJ3. 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律dLdMJdtdtMJ定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动的牛顿第二定律定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动的牛顿第二定律应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。应用转动定律解题步骤与牛顿第

7、二定律时完全相同。Fma2i iiJmr刚体对定轴的转动惯量刚体对定轴的转动惯量刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量第5章 刚体的定轴转动11第5章 刚体的定轴转动125.3 一、定义一、定义二、二、J与哪些量有关与哪些量有关三、计算三、计算 平行轴定理平行轴定理第5章 刚体的定轴转动13对于固定转轴的对于固定转轴的转动惯量转动惯量22()i imiJm rJr dm1m2m3m1r2r3rz321i iiJmr例例 如图所示质点系如图所示质点系2221 12 23 3mrm rm r J 的物理意义：的物理意义：转动中物体惯性的量度。转动中物体惯性的量度。一、定义一、定义第5章 刚体的定轴转

8、动14(2) 质量一定，与质量分布有关。质量一定，与质量分布有关。二、二、J 与那些量有关与那些量有关(1)(1)与刚体总质量有关与刚体总质量有关，J分布一定，质量越大，分布一定，质量越大，转动惯量大。转动惯量大。(3) J 和转轴有关和转轴有关平行轴定理平行轴定理三、计算三、计算 1) 同轴可叠加同轴可叠加 2) 平行轴定理平行轴定理 (parallel axis theorem)3) 正交轴定理正交轴定理 2ocJJmdmcdo在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小.iiJJ zxyJJJ第5章 刚体的定轴转动15证证 C 为刚体的质心，为刚体的质

9、心，A为任意一点。以质心为任意一点。以质心C为为坐标原点，取坐标原点，取,iiimrhriirrh对通过对通过A 点的转动惯量为点的转动惯量为2i iiJmr0i iiCmrrm() ()iiiim rhrh22(2)iiiim rh rh222i ii iiiiimrhmrmh( )iiiim rr 0i iimr2CJJmh此定理可用于任何形状的刚体，但必须是平行轴。此定理可用于任何形状的刚体，但必须是平行轴。hirirC质质心心轴轴A任意轴任意轴im第5章 刚体的定轴转动16J 和转轴有关和转轴有关 :同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的 oo平行

10、轴平行轴2112Jml2221111243Jmlmlml214Jmroooo212Jmroo223JmR225JmR第5章 刚体的定轴转动17解：（解：（1 1）对过质心的轴）对过质心的轴Oxxdx2 2221lldxxdmrJ23121121mll （2 2）对过端点的轴）对过端点的轴2212312mllmJJ利用平行轴定理：利用平行轴定理：2mdJJC) 1 ()2( 例例1 1 求质量均匀分布的细棒对（求质量均匀分布的细棒对（1 1）对通过质心垂直于）对通过质心垂直于细棒；（细棒；（2 2）通过端点的轴转动惯量。设棒长为）通过端点的轴转动惯量。设棒长为 ，质量为，质量为 。 ml第5章

11、刚体的定轴转动18解：（解：（1 1）对对称轴）对对称轴dRdmldJ4421cos321212420 441418cos32mRRdRJ 例例2 2 求质量均匀分布的半圆形薄板对（求质量均匀分布的半圆形薄板对（1 1）它的对称）它的对称轴；（轴；（2 2）它的直边；（）它的直边；（3 3）通过质心平行于直边的轴的转动）通过质心平行于直边的轴的转动惯量。设圆弧直径为惯量。设圆弧直径为 ，质量为，质量为 。 mRmCR)3()2() 1 (Oxy取半圆上取半圆上 窄条窄条为为 。dyyydmdRRlddm22cos2 )sin(cos2sinRlRydy第5章 刚体的定轴转动19（2 2）对直边

12、）对直边（同轴相加）（同轴相加）mCR)3()2() 1 (OxyDJ设设 为整圆为整圆对直径的转动惯量？对直径的转动惯量？DJJ211因因 和和 DJJ212故有故有 22118JJmR（3 3）对通过）对通过C且平行于直边（且平行于直边（2 2）232mdJJ应用平行轴定理：应用平行轴定理： ，先求质心位置：，先求质心位置：2232211649JJmdmR34322130RmRxdyymydRC22yRx第5章 刚体的定轴转动20例例1 如图，一质量为如图，一质量为 m 半径为半径为 R 的实心球，求绕过球的实心球，求绕过球心的转轴的转动惯量。心的转轴的转动惯量。解解：343mRdmdV2

13、dVrdy2dmr dy 212dJdm r取有一定厚度的圆盘，圆盘对取有一定厚度的圆盘，圆盘对O 轴的转动惯量轴的转动惯量ryROdy41J2rdy222rRy变量代换变量代换2221()2RRJRydy42241(2)2RRRR yydy225JmR得得25GrR回旋半径回旋半径第5章 刚体的定轴转动21 例例3 3 求质量均匀分布的球体对通过球心轴的转动惯求质量均匀分布的球体对通过球心轴的转动惯量。设球半径为量。设球半径为 ，质量为，质量为 。 mRhrdrhrdrdm2 )2(解：取底面半径为解：取底面半径为 ，高为高为 薄圆筒为薄圆筒为 。（内切）。（内切） drrrdmhdrrrR

14、drhrdmrdJ322324 2 2503252158 2 mRRdrhrdmrJR222rRhrrRhO第5章 刚体的定轴转动22例例1 一大型回转类一大型回转类“观览圆盘观览圆盘”如图所示。圆盘的半径如图所示。圆盘的半径R=25 m，供人乘坐的吊箱高度，供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为均速转动，转速为0.1 rad/min。300601022T0cos()ABxxRt0sin()AByyLRtL222)(RLyxAA解解求求 吊箱底部吊箱底部A点的轨迹及点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。点的速度和加速度的大小。吊箱平动吊箱平动/rad s

15、第5章 刚体的定轴转动23)cos(dd02tRtaAxAxv2222322252.7 10 m/s300AAxAyaaaR)sin(dd02tRtaAyAyv2225300AAxAyRvvv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyv0.26 m/s第5章 刚体的定轴转动24刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用第5章 刚体的定轴转动253 ) 滑轮转动的角加速度滑轮转动的角加速度 。例例2 已知定滑轮已知定滑轮解解:受力图受力图RM、轻绳（不伸长）无相对滑动。、轻绳（不伸长）无相对滑动。求求：1）物体加速度）物体加速度a；2）绳子的张力）绳子的张力T；1T1m g

16、2Ta 213T RT RJ 2222m gTm a1m2m21mm设设2T2m ga 1111Tm gm a1TaR212JMR第5章 刚体的定轴转动26解解：2dKdtJ 又00320tdKdtJ0031KtJ 2MKJ 02/(9 )KJ0(/3) 例例3 一飞轮的转动惯量一飞轮的转动惯量 ，在，在 时，角速度为时，角速度为 ，此，此后飞轮经历制动过程，阻力矩后飞轮经历制动过程，阻力矩 的大小与角速度的大小与角速度 的平方成的平方成正比，比例系数正比，比例系数 ，当，当 时，飞轮的角加速度时，飞轮的角加速度 ？从开始制动到从开始制动到 所经过的时间所经过的时间 ？J0t M0K 0/3t

17、0/302JtK第5章 刚体的定轴转动27例例5 已知：细棒如图。已知：细棒如图。 oMl求：任意位置时，轴给细棒的作用力。求：任意位置时，轴给细棒的作用力。解解：设任意位置时，细棒角速度为：设任意位置时，细棒角速度为 。设轴给细棒的作用力为设轴给细棒的作用力为 Fn 和和Ft。作细棒受力图。作细棒受力图。nFtFMgco cos1ncnFMgMa sin2tctFMgMa22cnla2ctla 21sin423lMgMl(3)(3)联立联立得解得解第5章 刚体的定轴转动28 例例4 已知：如图一质量为已知：如图一质量为 ，长为，长为 的匀质细杆，可的匀质细杆，可绕过端点绕过端点 与杆垂直的水

18、平轴转动。与杆垂直的水平轴转动。 杆水平放置，然杆水平放置，然后释放。求：杆转到和竖直方向成后释放。求：杆转到和竖直方向成 时，时，mlO0t ，030？解：研究对象解：研究对象杆。杆。0OGmgM重重力力矩矩受受力力，21cos23ldmgmldt030mgOcos2lMmg；MJ213dmldt转动：转动：O O点支持力矩点支持力矩cosg23dld23ddlddt003cos2gddl 23sin2gl0033360sin602ggll取取，代代入入，0390gl，。第5章 刚体的定轴转动29动能定理动能定理 221122KiiiEmJ1）用转动惯量表达刚体定轴转动的动能）用转动惯量表达

19、刚体定轴转动的动能KAAE内外质点系动能定理质点系动能定理kE 222i iimr2212i iimrkiE212iiimiirJ、2i iJmr对同一转轴对同一转轴5.4 第5章 刚体的定轴转动302） 用角量表示的用角量表示的力做功的形式力做功的形式AFsMddd3） 刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理形式动能定理形式 0A 内rimddSF21zOdA dSrd0coscos(90)sin dA F dScosFdSsinFrdMd内力矩内力矩不做功不做功力矩的功和动能关系力矩的功和动能关系A 21J d 作用于刚体合（外）力矩的功等效于刚体动能的增量作用于刚体合（外）力矩的功等效于刚

20、体动能的增量刚体动能定理。刚体动能定理。MdJ d dJddt22211122JJ第5章 刚体的定轴转动31212cEmghJ机械能守恒的条件仍为机械能守恒的条件仍为0AA外力非保力，E 恒恒量量4）机械能守恒）机械能守恒例例1 在阿特武德机中装在光滑水平轴承的在阿特武德机中装在光滑水平轴承的滑轮半径为滑轮半径为 ，一边挂一，一边挂一 个物个物体体 ，另一边挂，另一边挂 。当当 由静止释放后，在由静止释放后，在 内下降了内下降了 试用转动定理与能量关系两种试用转动定理与能量关系两种方法确定滑轮的转动惯量。方法确定滑轮的转动惯量。25 10Rm 10.46mkg20.5mkg2m0.5s0.75

21、hm1m2mhJiiipiiCimhEm ghmgmghm第5章 刚体的定轴转动3212,R又又212hatat而而2,ht21()mm gh212222()JhmmRt222211 122111()0222mm ghJmm2212211()22JmmR解解 用能量守恒：以初始时位置的势能为零用能量守恒：以初始时位置的势能为零2221212()()(2 /)(2 /)Rmm gmmh tJh t1m2mhhJ第5章 刚体的定轴转动33解解 分析棒受力：分析棒受力： ， 点的支撑点的支撑力力 （变力，大小方向均变），轴（变力，大小方向均变），轴与棒摩擦力略。与棒摩擦力略。mgON例例2 已知质量

22、为已知质量为 长为长为 细棒，绕过细棒，绕过 点的水平光滑轴在竖点的水平光滑轴在竖直面内转动，直面内转动， 点距点距 点点 ，棒由静止位置开始释放，求：，棒由静止位置开始释放，求：（1）棒在水平位置刚释放时的角加速度。）棒在水平位置刚释放时的角加速度。（2）杆转到竖直位置时的角速度和角加速度。）杆转到竖直位置时的角速度和角加速度。（3）棒在竖直位置时，棒的两端和中点的速度和加速度。）棒在竖直位置时，棒的两端和中点的速度和加速度。mlO3lOA/ 3lACCmgOB0PE 对对 点轴产生力矩的只有点轴产生力矩的只有 ， 对棒转动不做功（对棒转动不做功（ 对棒有作对棒有作用是变力用是变力,但但 ）

23、。）。0NMOmgNN1MJ（）求 ，2/6CJJm OCOCl由平行轴定理由平行轴定理第5章 刚体的定轴转动34221/612Jmlml166lMmgmgl219mlMJ32gl62lmg（）机机械械能能守守恒恒，212J22118ml3gl过竖直位置瞬间，作用于刚体的力矩为零。此时过竖直位置瞬间，作用于刚体的力矩为零。此时03ACBACBaaa（ ）求垂直位置的，/12COCgl4/3bObgl/3AOAgl此时加速度为向心加速度。此时加速度为向心加速度。00ta，2/2CaOCg22 /32Balg2/3Aalg/ 3lACCmgOB0PE 第5章 刚体的定轴转动35质点的角动量质点的角

24、动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量定理质点的角动量定理刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律质点质点刚体刚体刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理OLrmvdLMdt0 ML，常zzLJzzdLMdt外0 zzML，常量5.5 第5章 刚体的定轴转动36一、刚体绕定轴转动的角动量一、刚体绕定轴转动的角动量zii iiLmr2()i imrzJ刚体上任一质点刚体上任一质点 ，它对，它对 轴的角动量为轴的角动量为 ，方向沿方向沿 轴，整个刚体对轴，整个刚体对 轴的角动量轴的角动量()ii iiimr rimzzLzz

25、imiriz()dLdd JMJdtdtdt00()()tztztztJJM dt0tztM dt称为在时间称为在时间 内的冲量矩，它表示了力矩内的冲量矩，它表示了力矩在一段时间间隔内的累积效应。在一段时间间隔内的累积效应。0tt角动量定理不仅适用于刚体，而且角动量定理不仅适用于刚体，而且适用于绕定轴转动的可变形物体。适用于绕定轴转动的可变形物体。微分形式微分形式积分形式积分形式第5章 刚体的定轴转动372. 角动量守恒定律角动量守恒定律0const.vectorML00iiiiJJ由多个刚体组由多个刚体组成的刚体体系成的刚体体系当物体所受的合当物体所受的合外力矩为零时，外力矩为零时，这个结论

26、是普遍适用的，也可以不是刚体而是其他质点系。这个结论是普遍适用的，也可以不是刚体而是其他质点系。分以下几种情况：分以下几种情况：（1）对刚体，）对刚体， 不变不变 刚体作匀角速转动，又叫刚体作匀角速转动，又叫惯性转动惯性转动。这一结果与质点。这一结果与质点的惯性运动相对应。的惯性运动相对应。zJ，恒恒定定（2）在一孤立系统中，如果系统某一部分的角动量因内在）在一孤立系统中，如果系统某一部分的角动量因内在相互作用而有所改变时，系统的其余部分必须出现一等量相互作用而有所改变时，系统的其余部分必须出现一等量（但反向）角动量改变，使（但反向）角动量改变，使总角动量保持守恒总角动量保持守恒。（3） 同时

27、改变，但乘积保持不变。同时改变，但乘积保持不变。zJ、11ziizJJ第5章 刚体的定轴转动38万万向向支支架架基基 座座回转体回转体（转动惯量转动惯量 I）AABBOO陀螺仪定向原理陀螺仪定向原理应用应用不受外力矩作用高速不受外力矩作用高速旋转的陀螺，由于旋转的陀螺，由于角角动量守恒动量守恒，因而其转，因而其转动轴的方向不变。动轴的方向不变。自由陀螺的定向特性自由陀螺的定向特性在航天、航空等领域在航天、航空等领域中具有重要的意义。中具有重要的意义。第5章 刚体的定轴转动39第5章 刚体的定轴转动40刚体力学小结刚体力学小结描写刚体转动的物理量描写刚体转动的物理量1. 角量：角量： 线量：线量

28、： rra微积分关系微积分关系2. 角量与线量的关系角量与线量的关系 rar2nar3. 方向：方向： 右手螺旋法右手螺旋法与与的关系：的关系：r4. 匀角加速转动公式匀角加速转动公式 2012tt0t22002 () 第5章 刚体的定轴转动41二、动力学二、动力学1. 基本概念：基本概念： 力矩：力矩： MrF 转动惯量：转动惯量： 2i iJmr2Jr dm 转动角动量：转动角动量： Lrm定轴转动：定轴转动： LJ（定点、定轴）（定点、定轴） （定点）（定点） 2. 基本定理：基本定理： 转动定律：转动定律： MJ同轴同轴有正负有正负与牛顿力学类似与牛顿力学类似第5章 刚体的定轴转动42

29、 转动动能定理：转动动能定理： 212201122MdJJ 角动量定理：角动量定理： 2100ttMdtJJ力矩的持续力矩的持续作用规律作用规律 功能原理：功能原理： 0AAEE外非 守恒定律：守恒定律： 0M外时，时， 守恒守恒 L0AA外非 时，时， 守恒守恒 E第5章 刚体的定轴转动43例例1 人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点O上，如图所示。已知轨道的近地点上，如图所示。已知轨道的近地点P 距地面距地面145km。远地。远地点点A距地面距地面151km，地球半径，地球半径R=6400km。试求卫星在近地。试求卫星在近地点点P的动能与

30、其在远地点的动能与其在远地点A的动能的比值。的动能的比值。解解 设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 ，人造卫星对，人造卫星对 点的角动点的角动量守恒。量守恒。mOP PA AmrmrPAAPrr而卫星在而卫星在P、A两点两点的动能之比为：的动能之比为：22PAKPKAEEPAPrArPAOKPKAEE22APrr2222()(6400 161)1.01()(6400 145)APRhRh第5章 刚体的定轴转动44 守恒定律守恒定律 （判断守恒条件）（判断守恒条件）例例ABAB()AABBABJJJJ如此衔接，如此衔接，角动量守恒角动量守恒吗？吗？角动量守恒定理角动量守恒定理第5章 刚体的

31、定轴转动45第5章 刚体的定轴转动46第5章 刚体的定轴转动47第5章 刚体的定轴转动48例例2 质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)。解解：过程过程1 质点与细棒相碰撞。质点与细棒相碰撞。 碰撞过程碰撞过程中系统对中系统对O 点的合力矩为点的合力矩为0M oM lm0设碰撞完全非弹性。设碰撞完全非弹性。求求：棒摆的最大角度。：棒摆的最大角度。所以，系统对所以，系统对O点的角动量守恒，即点的角动量守恒，即12LL 220113mlMlml 2221 111 cos1 cos22 32MlmlMglmgl细棒势能细棒势能过程过程2 质点、细棒上摆，系统中包括地球，质点、细

32、棒上摆，系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设初态为势能零点设初态为势能零点质点势能质点势能第5章 刚体的定轴转动49例例3 有一细棒长为有一细棒长为 质量为质量为 均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为 的水的水平桌面上，它可绕通过其端点平桌面上，它可绕通过其端点 ，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有一水平运动的小滑块，质量为一水平运动的小滑块，质量为 ，以水平速度，以水平速度 从左侧垂直与棒的另一端从左侧垂直与棒的另一端 作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰

33、撞后开始作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始转动到停止转动过程中所经历的时间。转动到停止转动过程中所经历的时间。lMOm解：合外力矩：解：合外力矩：0M合合外外力力设角动量向上的方向为正，碰撞瞬间：设角动量向上的方向为正，碰撞瞬间：m lmulJ 222111222mJmuo0L 机械能守恒机械能守恒63mMm在棒上取质量元在棒上取质量元 ，离轴，离轴 的距离为的距离为 dmOx0lfMgdm x12Mgl 0lgx dx又由角动量定理又由角动量定理0tfMdt fM t0J2/3JMl4(3 )m ltg Mm 第5章 刚体的定轴转动50 如图所示，质量为如图所示

34、，质量为m的物体挂在匀质圆盘（的物体挂在匀质圆盘（M，R）边）边缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使物体以物体以0匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘开始作反向转动？开始作反向转动？例例5解法一：解法一： 转动定理转动定理mRMmgTM转动：转动：212TRMR m 平动：平动：TTmgmaaR22mgaMm 恒定加速度恒定加速度0at0022Mmtamg第5章 刚体的定轴转动51mRMmgTT解法二：解法二： 角动量定理角动量定理21MdtLL(0)mgR t200102M

35、RmR022Mmtmg第5章 刚体的定轴转动52二、基本特征二、基本特征回转仪回转仪 绕对称轴高速旋转绕对称轴高速旋转 陀螺陀螺 1)对称轴对称轴 高速高速 2)定点定点 外力对定点求力矩外力对定点求力矩 对称轴绕定点旋转对称轴绕定点旋转L三、解释三、解释 1）必须具有对称轴必须具有对称轴 2）高速旋转高速旋转 重力对定点重力对定点O 的力矩的力矩0cMrmg0ML0LMtdd每每瞬时瞬时外力矩只改变角动量的外力矩只改变角动量的方向方向不改变角动量的大小不改变角动量的大小ocrmg一、进动现象一、进动现象已经自转的物体在外力矩的作用下，自已经自转的物体在外力矩的作用下，自转轴绕另一轴转动的现象称为进动。转轴绕另一轴转动的现象称为进动。5.6 刚体的定点运动刚体的定点运动 进动进动第5章 刚体的