第三章 连续时间信号与系统的频域分析 (1)

1、第三章 连续时间信号与系统的频域分析学习要点：学习要点：n掌握傅里叶变换分析技术和傅里叶级数分析技术的基本概念掌握傅里叶变换分析技术和傅里叶级数分析技术的基本概念和计算，尤其要注意应用性质来计算一些常用信号的频谱和计算，尤其要注意应用性质来计算一些常用信号的频谱n熟悉时域特性与频域特性的对应关系熟悉时域特性与频域特性的对应关系n弄清信号频谱的意义以及连续谱与离散谱的区别和联系弄清信号频谱的意义以及连续谱与离散谱的区别和联系n卷积定理是系统频域分析的重要工具，要认真掌握卷积定理是系统频域分析的重要工具，要认真掌握1.采样定理是离散信号处理的理论基础，应领会其含义并会应采样定理是离散信号处理的理论

2、基础，应领会其含义并会应用用 3-1 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析傅里傅里叶变换叶变换 n1.非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 任何满足狄里克雷狄里克雷(Dirichlet)(Dirichlet)条件条件的非周期连续信号都可表示为无限多个幅度无无限多个幅度无穷小、频率连续变化的复正弦信号的叠加穷小、频率连续变化的复正弦信号的叠加，即： 12j tj tf tFjedFjf t edt（傅里叶逆变换）（傅里叶变换）非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换n傅里叶变换是正交积分变正交积分变换n其存在的充分条件充分条件是信号 为绝对可积函数，即n借助冲激函数、阶跃函数等奇

3、异函数的概念，可使许多非绝对可积的信号，如周期信号、因果斜坡函数等，存在傅里叶变换。 tf dttf2.傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义连续谱连续谱n实信号实信号的频谱密度函数： 一般为复数复数，其幅度谱幅度谱 为偶函数偶函数，相位谱相位谱 为奇函数奇函数，因此，该实信号可以表示成： jejFjFjF 0cos12121dtjFdejFdejFtftjtj2.傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义连续谱连续谱n傅里叶变换的物理意义是，非周期连续信非周期连续信号号可表示为无限多个幅度无穷小的、频率无限多个幅度无穷小的、频率连续变化的、有相位函数的余弦信号的叠连续变化的、有相位函数的余弦

4、信号的叠加加。n正因为每个频率分量的幅度无限小，因此称为信号的频谱密度函数频谱密度函数，简称为信号的谱。 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质1.典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换（1）单位冲激信号 1t 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质1.典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换（2）单位直流信号 21 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质1.典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信

5、号的傅里叶变换（3）因果指数衰减信号 tuetft arctan1jFj1dtedteejF220tj0tjt因果指数衰减信号及其幅度谱和相位谱 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质1.典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换（4）矩形窗信号 2GtSa 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（1）线性性：傅里叶变换是线性运算线性运算，满足叠加定理。 nijFtfii, 2, 1, niiiniiijFatfa11 3-2 典型非周

6、期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（2）共轭对称性：任何实信号实信号 的频谱一定是共轭对称共轭对称的。*FjFj tf 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（3）奇偶对称性：n 任何实信号实信号 的频谱实部偶对称实部偶对称，虚部虚部奇对称奇对称，幅度偶对称幅度偶对称，相位奇对称相位奇对称 tf F jRjXRRXXFjF j ， 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性

7、质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（3）奇偶对称性：n实偶信号实偶信号的频谱一定是的频谱一定是实偶函数实偶函数，实奇信实奇信号号的频谱一定是的频谱一定是虚奇函数虚奇函数。 00:cossin2cos:2sinj tf tFjf t edtf tt dtjf tt dtf tt dtRf tFjjf tt dtjX对于实偶信号对于实奇信号 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（3）奇偶对称性：n实信号实信号的的偶分量偶分量的的FTFT是该信号是该信号FTFT的的实部实部，该信号的该信号的奇分量奇分量的

8、的FTFT是是是是虚数单位虚数单位j j乘以乘以该该信号信号FTFT的的虚部虚部n因果信号因果信号的偶分量和奇分量都不可能等于的偶分量和奇分量都不可能等于零，因此零，因此因果信号的因果信号的FTFT一定既有实部，也一定既有实部，也有虚部有虚部。即：它不可能是纯实的，也不可。即：它不可能是纯实的，也不可能是纯虚的。能是纯虚的。 ,eoftRftjX例题3-1双边指数衰减信号的 频谱 n由于双边指数衰减信号 是因果指数衰减信号 的偶分量偶分量，因此利用上述的对称性质，有： tetfte21 tuet2221Re2jet例题3-2符号函数的 频谱 n由于符号函数 是因果指数衰减信号 的奇分量当分量当

9、 时的极限时的极限，因此利用上述的对称性质，有： tuet 2200122sgn2limImlimjtjjj tututsgntf tuetuelimtsgntt00例题3-3符号函数的 频谱 n由于 ，即阶跃信号的偶分量是直流信号1/2,奇分量是符号函数的一半，有： 1u tj tutf tsgn121tu 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（4）时延定理（频域复指数加权）：时域延迟 对应于频域指数加权 ，即频域附加线性相位滞后：n时延定理叙说，信号的延迟不改变信号的幅度谱，信号的延迟不改变信号的

10、幅度谱，仅在相位谱中引入线性相位滞后项仅在相位谱中引入线性相位滞后项 00j tf tteFj0t0tje例题3-4利用时延定理：n上述两式是梳齿滤波器梳齿滤波器的实现原理，它们有周期等于 的周期频谱，并且在其基周期内分别有带阻特性和带通特性带阻特性和带通特性。00tjett0000000011cos221sin2j tj ttttteettttttj02t 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（5）频移定理（时域复指数加权，复调制定理复调制定理）：频谱搬移 对应于时域用复正弦 加权，即：n频延定理叙

11、说，复正弦 调制后的信号的频谱是原信号频谱向右搬移 。n复调制定理的物理实现是双路直接调制，它用于复调制定理的物理实现是双路直接调制，它用于单边带通信单边带通信。 00jtef tFj00j tetj0e0例题3-5求正弦信号的频谱：利用频移定理有：n正余弦周期信号在正负信号频率上各有一根谱线 。002jte 000000cossinttj 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（6）调制定理：n用余弦 调制后的信号频谱是原频谱减半后向左和向右频率搬移t0cos0 0000001cos21sin2t f

12、 tFjFjt f tFjFjj 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（6）调制定理：n右图给出了余弦调制时的频谱搬移。其中， 是被调低频信号的频谱， 是相应的已调高频信号的频谱。调制定理是双边带通信的基础。 G F例题3-6求因果正弦信号的频谱：利用调制定理有： 0000000000cos21112sin21112t u tjt u tj 例题3-7n求矩形调幅信号的频谱（数字通信中的幅度键控ASK信号）：利用调制定理和矩形窗函数的频谱有： 000cos222t GtSaSa 例题3-8n求因果指数

13、衰减正弦信号的频谱：利用调制定理有： 00022000220111cos2sinttet u tjjjjet u tj 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（7）尺度定理：n时域压缩/扩展a倍相应频域扩展/压缩a倍，即：n测不准原理测不准原理叙说，每个信号的时宽带宽积为常时宽带宽积为常数数（虽然，此常数与所论信号有关），因此当它的时宽压缩a倍时，频宽就一定要扩展a倍，尺度定理就是测不准原理的具体体现。n特别的，当a=-1时：1f atFjaajFtf 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期

14、信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质n尺度定理：例题3-9n已知 ，求 和 的FT。n利用时延定理和尺度定理有： 00000000111tjatjatjag tf atG jFjaatg tG jeatf attg tFjeaaaf tatfattFjeaa令：有： jFtf0tatfattf0 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（8）时域微分性质：n例例3-103-10 求 的FT ftj Fj nnftjF j tn nnjt nnntj 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非

15、周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（9）卷积定理：时域卷积相应于频域相乘时域卷积相应于频域相乘，即n推论：对于有冲激响应 的LTI系统而言，激励 产生的零状态响应零状态响应为 ，在频域中有 n系统频率响应函数 是系统冲激响应的FT n该推论是系统频域分析以及滤波器理论的基础，也是用FT计算卷积的依据。 1212ftftFjFj th tf tfthty jFjHjYjH例题3-11n求底边长2高的三角窗信号 的FT。n与矩形窗的谱具有负的旁瓣不同，三角窗的谱只有正的旁瓣。 2222BtGtGtBtSa因为：由卷积定理： 22Btr tr tr

16、t 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（10）时域积分定理： 11000FjftFjf tFFjftj 当信号无直流分量，即时：例题3-12n求梯形窗信号 的FT。 2, 11,2,33222112( )( )( )32 sin222233sin32222a bjjftu tu tu tu tGtGtGtu tau tbeeSajSaf tSaSaSa 2112f tr tr tr tr t 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶

17、变换性质傅里叶变换性质（11）频域微分定理： nnndjtf tFjddtf tjFjddt f tjFjdddjjnddj推论：其中，表示把算子运行 次，每次先对 求导，然后再乘以例题3-13n求因果幂信号 的FT。 112!11nnnnnnjndt u tjjdjr tj 特别的，对于斜坡信号 tutn例题3-14n求因果 加权的指数衰减信号 的FT。 12231!12nntnttdnt eu tjdjjteu tjt eu tj nt tuettn 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（12）频

18、域卷积定理：频域卷积相应于时域相乘，即 n例3-15，求被矩形窗截断后的信号 的FTn信号截断后，频谱被矩形窗的频谱函数模糊了信号截断后，频谱被矩形窗的频谱函数模糊了。 121212ft ftFjFj f t Gt 12222uf t G tF jSaF ju Sadu 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质n例如，ASK信号可视为截断了的余弦信号，由图3-11可见两根冲激谱被频域两根冲激谱被频域SaSa函数模函数模糊糊后的结果。 3-2 典型非周期信号的傅里叶变换和傅里典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶变换的性质叶变换的性质2. 傅里叶变换性质傅里叶变换性质（13）对偶性：n对偶性叙说，把时频域倒过来，原有关系仍然