51.构造二次方程.解决解析几何试题

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明构造二次方程.解决解析几何试题解决解析几何试题的一个技法 解析几何的基本思想是利用代数的方法研究几何问题,因此,方程理论是解析几何的基本工具,其中,构造二次方程解题是一种重要的思想方法.母题结构:()己知x1x2,且ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,则x1+x2=-,x1x2=;()己知(x1,y1),(x2,y2)(x1x20)满足ay2+bxy+cx2=0,则+=-,=.母题解析:()与()的本质是韦达定理,正确性显然;在解析几何中应用的关键是如何构造二次方程. 1.利

2、用点在曲线上,构造一元二次方程 子题类型:(2011年全国大纲卷高考试题)设两圆c1、c2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|c1c2|=( ) (a)4 (b)4 (c)8 (d)8解析:设圆c1:(x-a)2+(y-a)2=a2,c2:(x-b)2+(y-b)2=b2(ab),由c1、c2都过点(4,1)(4-a)2+(1-a)2=a2,且(4-b)2+(1-b)2=b2a,b是方程(4-t)2+(1-t)2=t2,即t2-10t+17=0的两个根a+b=10,ab=17|c1c2|=8.故选(c).点评:由同一点在相同条件下的两条曲线上,或由“地位相同”的不同两点在一条

3、曲线上,均可构造一元二次方程. 2.利用“同位”直线,构造一元二次方程 子题类型:(2014年广东高考试题)已知椭圆c:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.()求椭圆c的标准方程; ()若动点p(x0,y0)为椭圆外一点,且点p到椭圆c的两条切线相互垂直,求点p的轨迹方程.解析:()令c=,c=,e=a=3,c=b=2椭圆c:+=1;()设两切线为l1,l2;当l1x轴或l1x轴时,由l1l2l2x轴或l2x轴x0=3,y0=2;当l1不垂直于x轴且不平行于x轴时,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1:y-y0=k1(x-x0),代入椭圆c的方程得:(9k12+4)x2+18

4、(y0-k1x0)k1x+9(y0-k1x0)2-36=0;由直线l1与椭圆c相切=0(x02-9)k12-2x0y0k1+y02-4=0k1是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根,同理可得k2也是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根k1k2=;又由l1l2k1k2=-1=-1x02+y02=13,且当x0=3,y0=2时,也满足x02+y02=13.综上,点p的轨迹方程是x2+y2=13.点评:对“同等地位”的两条直线,首先围绕其中一条直线“单方面”展开分析与运算,直至得到关于某量的一元二次方程,同理可得另一条直线对应量也是该一元二次方程的根,通过根与

5、系数的关系,使问题获得干净利落的解决. 3.利用直线与曲线方程,构造二元二次齐次方程 子题类型:(2000年北京安徽春招试题)如图,设点a和b为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点.已知oaob,omab,求点m的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab:x=ty+b(b0)1=,代入y2=4px得:y2=4pxb()2+4pt-4p=0=-;由oaob=-1-=-1b=4p直线ab:x=ty+4p过定点n(4p,0),由omab点m的轨迹是以on为直径的圆(去掉坐标原点),方程是x(x-4p)+y2=0(x0).点评:对于直线l与圆锥曲线

6、相交于a、b两点,且oa与pb的斜率之和或积已知的问题,可设直线l:y=kx+m或x=ty+m(m0)1=或1=,然后利用二次项不变,一次项乘或,常数项乘()2或()2的法则,构造关于x,y的二次齐次方程,进而转化为关于的二次方程利用韦达定理解决相关问题. 4.子题系列:1.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y满足:+=1,+=1,则x+y= .2.(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知,r,直线+=1与+=1的交点在直线y=-x上,则sin+cos+sin+cos= .3.(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)f(1,0)为一定点,p(0,b)是y轴上的一动点,

7、点m(a,0)满足=0.若点n满足2+=0,求:()点n的轨迹曲线c的方程; ()曲线c的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹.4.(2006年全国高考试题)己知抛物线x2=4y的焦点为f,a、b是抛物线上的动点,且=(0).过a、b两点分别作抛物线的切线,设其交点为m.()证明:为定值;()设abm的面积为s,写出s=f()的表达式,并求s的最大值.5.(1993年上海高考试题)抛物线y=-与过点m(0,-1)的直线l相交于a、b两点,o为坐标原点.若直线oa与ob的斜率之和为1,求直线l的方程.6.(1991年全国高考试题)己知椭圆的中心在坐标原点o,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交

8、于p和q,且opoq,|pq|=,求椭圆的方程. 5.子题详解:1.解:由已知得210,310是方程+=1,即t2-(x+y-53-63)t+=0的两个根210+310=x+y-53-63x+y=210+310+53+63.2.解:设两直线的交点为(x0,-x0),则sin,cos为方程+=1,即t2+(sin+cos)t+sincos-x0(cos-sin)=0的两个根sin+cos=-(sin+cos),即sin+cos+sin+cos=0.3.解:()设n(x,y),由=0,2+=0a-b2=0,x+a=0,y=2by2=4x;()设交点t(x0,y0),切线:y-y0=k(x-x0),

9、 代入y2=4x得:ky2-4y+4y0-4kx0=0=0x0k2-y0k+1=0;由k1k2=-1x0=-1交点轨迹是直线x=-1.4.解:()设点a(2a,a2),b(2b,b2),m(x0,y0),则ma:ax=y+a2,mb:bx=t+b2a2-x0a+y0=0,b2-x0b+y0=0ab=y0;又由f,a,b三点共线得:ab=-1y0=-1=0;()略.5.解:设a(x1,y1),b(x2,y2),直线l:y=kx-11=kx-y,代入x2=-2y得:x2=-2y(kx-y)2()2-2k-1=0+=k;由直线oa与ob的斜率之和为1+=1k=1直线l:y=x-1.6.解:设椭圆的方程:ax2+by2=1(a0,b0,ab),p(x1,y1),q(x2,y2),则|pq|=(x1+x2)2-4x1x2=;opoq=-1,