动量定理及动量守恒定理.doc

1、第三章：动量定理及动量守恒定理运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。即使在今天已知运动求力的问题仍然不断提到人们面前怎样安排火间推力才能将它送上巧妙设计的轨道？这便是动力学问题。自牛顿发表他的原理以来，牛顿三定律成为动力学的基础。所以我们下面研究牛顿三定律。3.1 牛顿第一定律和惯性叁考系一、牛顿第一定律一个物体，如果不受到任何力的作用，它将保持静止转台或匀速直线运动状态，把这个定律称为牛顿第一定律。物体保持这种运动状态的特性称为惯性。所以牛顿第一定律又称为惯性定律。在第一定律尚未建立以前，许多人误认为力是维持速度的原因。误认为物体不受力。物体一定静止不动。力并不是维持速度的原

2、因，而是改变速度的原因。任何物体是不可能完全不受处力的作用的。当物体受到两个获两个以上的处力作用时，如果处力的矢量和为零时，物体将与不受处力一样。保持静止或匀速直线运动状态。如果这些力的作用不等于零，物体将在合力的作用下改变速度。这条定律说明了两个问题：（一） 它正确地说明了，力和运动的关系。物体的运动并不需要力去维持，只有当物体的运动状态发生变化即产生加速度时，才能需要力的作用。力是一物体对另一物体的作用，它使受力物体改变运动状态。（二） 牛顿第一定律， 实际上提出了惯性的概念。物体之所以能保持静止或匀速直线运动是在不受力的条件下由物体本身的特性来决定的，物体所固有的保持原来运动状态。不变的

3、特性叫做惯性，物体不受力对所作的匀速直线运动也叫做惯性运动。二、惯性叁考系牛顿第一定律能成立的叁考系叫做惯性叁考系或惯性系。判断一叁考系是否惯性系？只能根据观察和实验，实验证明。地球不是精确的惯性系，若以地球为叁考系存在着与牛顿第一定律不相符合的现象。如果选择一个叁考系，以太阻的中心为原点，以指向任一横星的直线为坐标轴，那么观察和实验证明，牛顿第一定律相对于该叁考系十分精确地成立。因此这个叁考系是一个十分精确的惯性系。但当我们在一段较短的时间内研究力学问题时，常常可以把地球看成近似程度相当好的惯性系。在绝大多数场合下都是把地球当作惯性系处理的。故：相对于惯性系作等速直线运动的叁考系亦为惯性系。

4、3.2惯性质量、动量和动量守恒定律一、惯性质量与引力质量在牛顿运动定律中所说明的质量为惯性质量。反映着质点保持其原来运动状态不变的顽强程度，不涉及引力。 （ F = ma）万有引力定律中出现的引力质量，则反映质点吸引其它物体的能力，并不涉及惯性。它的分别反映质点的不同属性，那么惯性质量和引力质量之间没有关系呢？如图（ 3-2.1 ）所示设某质点离地心距离为R, 受到地球的引力f1 = G M 地 m引。R2m1引 表示该质点的引力质量，另处一个引力质量为m2引 的质点。在同一位置受引力。M 地 m2f 2 = G。R2则根据牛顿第二定律。uvv。m2m1引f = ma = m惯 gQ f =f

5、1 ,GMm1引= m1引 gR2Q f =f2 ,GMm 2引= m2引 gQ g1 = g2R2 ?GMm1惯m2惯= L L图 3-2.1R2 gm 引=m引12这一关系对多个质点仍然成立。即GMm1惯m2惯= L LR 2 g=m 引m引12故，可以适当选择G 值，使任何质点惯性质量与引力质量相等。m惯 = m引G = 6.67 ? 10- 11 m2 / s2 kg 。在经曲力学中质量为一恒量。当质点速度可以光速相比时。经曲力学应让位于相对论力学，这时质量随速度增加而增加，即m0；m =u 21-2c式中 m0 表示静止质量，u 速度， c 为光速度。一、动量、动量守恒定律在生产实践

6、和日常生活中，人们经常遇到碰撞问题，动量概念就是人们在研究碰撞问题的过程中建立起来的。一个质点的质量与其速度的乘积定义为该质点的动量。动量是矢量与速度的方向相同，分别用 m, u 和 p 表示质点速度，质量和动量，则uvv（ 32 4）P = mu在 S1 中，动量单位是kgm / s（千克 /米 /秒）。量组为 LMT - 1 。在经曲力学中，质点的质量m 是常数，所以可把牛顿第二定律，uvvvvuvdud (mu)=dPF = ma = m=dt（ 3-2.5）dtdt上式说明质点动量对时间的变化率等于质点所受到的合力。牛顿第二定律就是以这种形式提出来的。在经曲物理学中，质点是常量，实际上

7、质点的质量并非常量。由相对论提出，质点的质点 m，将随速度而变，m0（ 3-2.6）m =u21-c2M 0 时质点的v= 0 时的质量称为质点的静止质量，c 为真空中的光速，u c 时u 0u22=0，m = m0。cu 与 c 可以比时 m 不能再当作常量了。uvvvvv dmvdmd u d ( mu)du(3-2.7)F = ma = mdt= u+ m;Q1 0dtdtdtdtuvuvuvuvd p ?F =d pFdt冲量。dt将该式积分，时，动量P1，时间 t2 时动量 P2 。p2uvt2蝌p1d p =t1uvp1 = ?t1t2 uvFdt ? p2Fdt（ 3-2.8 ）

8、。力对时间的积分叫做力在这段时间内的冲量。F说明 : 在时刻 t1,到时间 t2 这段时间内质点动量变化等于作用在质点上的合力在这段时间内的冲量。这个结论叫做质点的动量定理。冲量的概念。经常在碰撞问题中用到，在碰撞过程中，物体相互作用的时间极短， 但力却很大。 而且力在这段短暂的ot1t2t时间变化十分剧烈，力随时间变化如图（3-2.2 ）所示。v图 3-2.2uv这种类型的力通常叫做冲力。如果用方程F = m d u 或dtuvuvd P 来研究冲力对质点运动的影响。然而在各种具体的碰撞过程中，冲力随时间变化F =dt曲线是很难确定的。三、质点系动量定理质点系中各质点动量的总和称为质点系的总

9、动量。设质点系有n 个质点，它们的动量uv粉分别为p1, p2 , p3 , p4 L Lpn ，总动量 p 时，uvuvuvuvuvuvnuvuvvp = p1 + p2 + p3 + p4 + L + pn = ? pi，Q pi = mi uii = 1uvvvvvnvp = m1u1 + m2 u 2 + m3 u3 + L + mn un= ? mi uii= 1nuvv? mi= M总质量。P = M u i ；i= 1uvvvnvnuv双方微分， d p = M dui= M ai =邋(M ai ) =F idtdti = 1i= 1n uvuvuvnuvd p邋F i =dt

10、? d pF i dt ；i= 1i= 1p2vt2n uvt2n uvQ t1 时 p1 ，t2时 p2 ，蝌p1d u =t1邋Fdt ? p2p1 = ?t1Fdt ；（ 3-2.11）i= 1i= 1这一结论称为质点系的动量定律。四、动量守恒定律nuuv由质点系动量定理可以得到一个重要的结论，若质点系所受处力的和? Fi = 0 时质点i = 1uv系的总动量p 保持不变。uvuvuvuvuvnuvp = p1 + p2 + p3 + L + pn = i = 1?pi =常数；这就是动量守恒定律。uvn uuvnvp = 邋 pi =mi u i = 恒矢量。i= 1i= 1例如：两

11、质点的质量为m1, m2 碰撞前后的速度为u01,u02, u1, u2 质点系受到的合处力是n uuv? Fi = 0 时动量守恒i= 1m1u01 + m2u02 = m1u1 + m2u2 ；nuuv如果质点系所受的处力的总和?Fi 的某方向投影为o 则质点的总动量在该方向上的i = 1投影保持不变。这个结论叫做某一方向的动量守恒定律。nuuv若 ? Fi = 0 时，m1u01x + m2u02 x = m1u1 x + m2u2 x ；i= 1n uuv动量守恒定律成立的条件是: 质点系所受处力的总和 ? Fi = 0 。i= 1在解决实际问题时，如果质点系内部的相互作用力之比它们的

12、所受的处力大，就可略去处力的作用而动量守恒定律来处理。动量守恒定律是关于自然界的基本定律。例 1. 如图（ 3-3.3）所示，大炮和炮弹的质量分别为M 和 m，炮弹在出处相对于大炮的速度为 u1 。u1 与地面的夹角为a ，求大炮反冲的速度，（大炮与地面之间无摩擦） 。yu1解： Q ? Fx = 0 ；x方向的动量守恒。avQ 反决速度为 u2 ，炮弹相对地面的速度为 u 。u2v vvu = u1 + u 2 ；所以质点系的总动量为xuvvvv图 3-3.3p = mu1 + mu2 = m(u1 + u2 ) + M u2u2 和 u1 反向；Px = mu1 cosa - mu2 -

13、M u2 = 0mu1 cosa = (m + M )u2 ；u2 = mu1 cosa ；m + M3.3 牛顿运动定律牛顿第一定律反定性地指出力和质点运动的关系，牛顿第二定律。将进一步给处为，质点加速度以及惯性的量度，惯性质量之间的定量关系。一、牛顿第二定律1.力和受力质点加速度的关系。研究力和加速度的定量关系，首先要能够定量地描述力和加速度，加速度的定量描述在运动学中一解决，即然力的效果在于产生加速度，因此有理由利用力产生的加速度来量度力。如图（ 3-3.4 ）所示，现在用任意的几个力F1a1F 2a 2?F 3 a 3F1 ,F2 ,F3L 使标准物体产生任意相同或不同F 4a 4的加

14、速度a1 , a2, a3 L L 既然加速度是力产生F 5a 5的；因为随力的大家速度也大，力小加速度也小，图 3-3.4a ? F ；二、加速度与质量的关系实验证明：用相同的力作用于不同的物体，所产生的加速度也不同，这表明加速度不仅与力有关， 而且物体的质量也关系，物体的加速度与物体质量之间的反比关系。因此如图（ 3-3.5）所示，当力一定时，物体的惯性越大，则所产生的 m1 加速度越小，惯性越少，则加速度越v uv1 。大， a F ， a Fmuvuvvuvvm2va 缔 FF 缔 maF = kma ；m式中 k 为比列常数， k 为数值决定m1于力，质量，加速度的单位，如果选用适当

15、的单位，可使k=1于是上式可a 1 ； ma1a2a3uvv图 3-3.5写为F = ma ；uvv这表明，作用在物体上各力的合力F 等于物体质量m 与加速度 a 的乘积，这是称为质点动力学的基本方程。三、牛顿第三定律甲物体对乙物体作用力，乙物体也心对甲物体作用力，力的作用时互相的。我们把其中的任意一个力叫做作用力，别一个力叫做反作用力。两个物体间的作用力uvuv和反作用力的大小相等，方向相反。作用在一条直线上。F12 = - F21；作用力和反作用力的重要特点：（ 1）作用力和反作用力总是同时产生的，同时消失。（ 2）作用力何方作用力是可以任意选择的，没有主次之分。（ 3）作用力和反作用力作

16、用在两个不同的物体上。各产生的效果永远不会抵消。（ 4）作用力和反作用力是同哟性质的力，即弹力的反作用力一定弹力，摩擦力的反作用力一定是摩擦力，万有引力的反作用力一定是万有引力等。（ 5）物体的相互作用可以通过“场”相互作用或两个物体直接触一发生作用力。（ 6 由于物体间力的作用时相互的， 因而物体运动定律可以一个物体的手里分析过渡到另一物体的受力分析。一对平衡力是，作用于同一物体上，一对作用力和反作用历史作用于两个物体上，左翼我们不要把一对作用力与反作用力和一对平衡力混淆起来。3.4 主动力和被动力一、 主动力、重力、弹性力、静电力和洛伦兹力等，尤其“独立自主”的方向和大小，不受质点所受其他

17、力的影响，处于“主动”地位称主动力。1. 重力和重量当质点一线悬挂并相对于地球静止时， 质点所受重力的方向沿悬挂线且铅直向下， 其大小在树值上等于质点时悬线的拉力。实际上重力是悬线对质点拉里的平衡力，我们通常将地球视作惯性系。这时重力也就是地球作用于质点的万有引力。我们知道，地球并不是精确的惯性系，所以重力和引力将会有微小的差别。用 W 和 m 分别表示质点所受重力和本身的质量。根据牛顿第二定律有：uuvuvW = mg 和 W = mg我们看到，重力和重量有关，但不能将重量和质量混力一谈。所以重量和质量不同。质量反映物体被当作质点相对于惯性系运动时的惯性。重要是物体所受重力的大小。这是两者最

18、基本的区别。物体总具有质量，但若失去重力作用。另一方向：在经曲力学，质量为常数，但重力和重量与重力加速度密切关系的。设某质点质量为m，距地球表面高度为h, 根据上式和万有引力定律，得W = mg = GM 地 m 2 ?gMG(1+ h )- 2 。( R地 + h)RR根据二项式定律(1+ h )- 2= 1-2h + 3h2+ L LRRRR = 6.4? 106 m6400km。因 h R地 可略去h 的高次项。得g =MG (1-2h) 。RRRg 因高度而减小，重量也必须随高度而变化。还有，由于地球各部分地质构造不同，也造成各处重力加速度的不同。2. 弹簧弹性力y水平放置的弹簧一端固

19、定， 另一端与质点相连， 它既不伸卡也缩短的状态， 叫自然伸展状态。 以弹簧自由伸展时质点位置为坐标原点，沿弹簧轴线建立o-x 轴 x 表示质点坐x标式对于质点位移，用f x 表示作用于质点的弹性力在x 轴x图 3-4.1上的投影。如图（3-4.1）所示，在x 不太大的条件下，有fx = - kx弹性力fx 的大小与物体相对坐标质点的位移成正比，负号表示方向与位移相反，比例系数 k 叫做弹簧的经度系数。fx 与 x 间的线性关系。二、被动力或约速反作用力物体间的挤压力， 线内张力和摩擦力常常没有自己独立自主的方向和大小，到的主动力及运动状态而定，从而处于“被动地位” 。要看质点收例如：体操运动

20、员在吊环上作各种动作，吊线内的张力将随时相应的变化，升降机中物体受到的支承力，将因重力和升降机的运动状态决定，在力学问题中，被动力常常作为未知力出现。1. 线内引力在张紧线索上某位置作于线垂直的段想截面。将线分成两侧，这两侧的相互拉力即改处的线的张力，张力是线索因拉伸变形而产生的，但这时，拉伸变形与线的原长相比很小。处理问题时，常不计线伸长。2. 支承面的支撑力两物体接触并压紧，双方场因挤压而变形，变性后的物体产生企图恢复来形状的弹性力，作用在物体上，这就是桌面对物体的支承力。3. 摩擦力摩擦力也在我们周围普遍存在着，当一个物体在另一个物体表面上滑动或有滑动的趋势时，在两个物体的接触面上就会产

21、生阻碍物体间相对滑动的力，这种力叫做摩擦力。当物体有滑动的趋势但尚未滑动时，作用在物体上的摩擦力，称为静摩擦力。F,f 0F1f 0maxf 02f 0 m2 时， a1x 为正 a2 x 为负。若 m1m2 时， a1x 为负 a2 x 为正。若 m1=m2 时， a1x = a2 x =0 ；例 2. 如图 3-5.2 （ 1）、（ 2）、（ 3） 所示斜面质量为 m1 ，滑块质量为 m2 ，之间， m1 与平面间均无摩擦， 用水平力 F 推斜面， 问斜面倾角a 应多大， m1 和 m2 相对静止。uvuvvT1fm1 auvuuvuuvuuvv解： m1 ， F 1 + N + W 1

22、+ N 1 = m1 auuvuuvvm2 ， W 2 + N 2 = m2 auuvuuvN 1=- N2各力的 x,y 轴的分解式，Tx ； F - N1 sin a = m1aTxN 2 sin a = m2 am2g - N 2 cosa = 0(5)tga =N1 sin a =m2 a =a(6)N 2 cosam2 gg +，( m1 + m2 )a = F -N1 sin a + N 2 sin a ；QN1= N2 ，F(m1 + m2 )a = F ?a ； m1 + m2 T a =F? tgagtga ； gtg a =m1 + m2?a tg - 1 =F；(m1 +

23、 m2 )gm2m1a（ 1）Nm1FaN1W = m1 g（ 2）xoN1m2ym2 g图 3-5.2（ 3）F(m1 + m2 ) g二、变力作用下的直线运动例 1. 已知一质点从静止自高空下落，设重力加速度始终保持一常量，质点所受空气阻力与其速率成正比，求质点速度并与自由下落相比，如图（3-5.3）所示。解：建立以开始下落处为坐标原点且铅直向下的坐标系o-y，又选择开始下落时为计uuvuvuvvv时起点，质点受重力， W= mg 和阻力f = - r u， u 为质点的速度 r 为常数。质点运动学ovyvymaxt图 3-5.3vuuvuvuuvvuuvuv方程为 m d u= W +

24、f = W + (- r u )，Q W = mg 。dtvuvvvuvr vd ud um= mg - r u ?dtg -u 。dtmoy 轴的投影为uuvuvr uuvvmrd u yd udt ?rd (g -u y )= dt ；dt= g -u y ?rvrmmg - mu( g -muy )r?d (g -m u y )-r dt ，不定积分得rm( g -m u y )u y d ( g - r u y )trrrrr t蝌0mmr=0-m dt ?ln( gmu y ) = -m t ?( g mu y ) = ce(g - m u y)rtQ t = 0 时， u y =

25、0 ， c = ln g ； mg- r u y = cem ， Q c = mgr tr t? r u y mg - mgem ? mg(1em ) 。uy = mgr t(1- em ) ；r三、质点的曲线运动将牛顿第二定理用于质点曲线运动，分成切线和法向，方向的运动方程为：uv2uvuuvnnv?F in = m u= mw 2 r ， ? F it = ma t = m d ut ；i= 1ri= 1dt例 1.北京系竹院公有一旋风游戏机大意如图(3-5.4) 所示。设大圆盘转轴 oo与铅直方向成 a = 18o ，匀速转动，角速度为w0 = 0.84rad / s 。离该轴 R =

26、2.0m 处又有与 oo平行的 PP 转动的坐骑与PP 轴距离为 r = 1.6m 。为简单起见，设转骑静止与大圆盘。设骑座光滑，侧向力全来扶手。又设两游客质量分别为m = 60kg 。求游客处于最高点 B 和较低处 A 时受座的力。ow0PvN AvbN B vvFBnb AbBAa图 3-5.4PAAPBBFA3ooBAB16.3RPWWo图 3-5.4解： 因小转奇静止于大圆盘。故游客作圆周运动。Puuvuvuuvvuuvuvuuvv对 A 、 N A + PA + W = ma A ;对 B 、 N B + PB + W = maB ;v vuuv v取单位矢量 n, b A 和 nB

27、 ,b ；A : P v + W sin a =mw2( R -r )An0B: NAbv - W cosa = 0B : P v + W sin a = mw2( R + r )Bn0NBbv - W cosa = 0 T PAnv = mw02(R-r ) -W sin a =m w02 ( R - r ) - g sin a NBbv = W cosa = mgcosa ；22 TPBnv = mw0 ( R + r ) - W sin a = mw0 ( R + r ) -g sin a NBbv = W cosa = mgcosa ；a = 18o,w0 = 0.84tad / s,

28、 R = 2.0m, r = 1.6m, m = 60kg ，代如上式：P v = -164.7 N ，N v= 559N ；AnAbP v = -29.3 NN v= 559N ；BnBbvAB 游客力各为式中角号表示力与n 方向相反坐标作用于uvP v 2+ N v 2淮58.3vF A =10 N ; 与 b 约成 16.3o ；AnAbuvP v 2+ N v 2淮 56vF B =10N ; 与 b 约成 3o ；BnBb例 2.将一个滑块沿倾角 a =30o 的斜面上滑，初速u0 = 2m / s 。滑块与斜面的摩擦系数m= 0.3。如图（ 3-5.5）yuxN所示。求：滑块在斜面

29、上滑行的离距S；滑块回到斜面底部时的速度距离u = ?f解： 要求滑块在页面上滑行的距离S 首先求向上滑mguvuuvuvv行的加速度，amg +N + f = ma ；x 方向的投影- mg sin a -f =ma图 3-5.5Q f = mN = mg cosa ；ma = - mg sin a -mmg cosa = - g(sin a + mcosa )ma = - ( gsin a + mcosa ) = -9.8(0.5 + 0.3? 0.866) m / s2- 7.45 m / s2；根据匀速直线运动的公式u 2 -u02= 2aS。得滑行距离 S。（未速为 0）u 2 -

30、u02 = 2aS ? 2aS- u02 ?S - u02=- (2)2= 0.27m；2a- 2? 7.45要求回到斜面底部时的速度u ，先求下滑行时的加yfx速度，如图（3-5.6）所示。Nuv uuvuvvQ mg + N +f = mau将该式沿运动方向投影有Q mg sin a -f = ma ，Q f = mN = mm cosaamgma = mg sin a - mmg cosa = mg (sin a - mcosa )a = g(sin a - mcosa ) = 9.8(0.5 - 0.9? 0.866)= 2.35m / s2 ；图 3-5.6Q u2 - u02 =

31、2aS,( u0 = 0) 轡 u 2 = 2aS ? u2aS =2创2.35 0.2 = 1.1m / s 例 3. 如图（ 3-5.7）所示，各木块的质量分别为 m1 = 4kg, m2 =6kg, m3 = 5kg ，质量为 m1的木块与桌面的滑动摩擦系数为m1 = 0.2 ，质量为m2 的木块与桌面的滑动摩擦系数为m2 = 0.4 线及滑轮的质量均略去不计。求：系统的加速度及线子的张力。m1m2解：首先画出木块的隔离图，然后根据牛顿m1N 1第二定律对各木块分别列出方程。T 1fuvuvv uvuvv木块 1. m3 g + T2 = m3a T1 + f = m1 am1gT -f

32、 = mam3uvuvuvv木块 2. T2 + T1 + f = m2 aN 2N 3T2 - T1 - f = m2am1m1T 2T 1uv uvv木筷 3. m g + T2 = m am2gm3g33m3g - T2 = m3a图 3-5.7Q f1 = m1N1 = m1m1g，Q f2 = m2 N 2 = m2m2 gT1-m1 m1g = m1 g ? T1m1 (m1 g + a )?- T - m mg = ma?T? 21222?m3 ( g - a )?m3 g T2 = m3 a ? T2上式求加速度 a . 张力 T1 ,T2 ，a = m3 - m1m1 - m2 m2 g = 1