85隐函数存在定理与隐函数微分法

1、本节讨论本节讨论 : :1) 1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 . .例如例如, , 方程方程02 Cyx当当 C 0 时时, , 不能确定隐函数不能确定隐函数; ;2) 2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时, ,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 . .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式yxFFdxdy 0),(. 1 yxF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：只推导公式。只推导公式。

2、由条件，知由条件，知0)(, xyxF两边对两边对 x 求导，得求导，得0 dxdyyFxF而而,0),(00 yxFy解得解得yxFFdxdy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd则则注意：注意：此题在点此题在点 )0 , 1(附近不满足定理的条附近不满足定理的条件，不能确定隐函数件

3、，不能确定隐函数 )(xyy ，但能唯一确定，但能唯一确定隐函数隐函数 )(yxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 。求求已知已知0220,01sin xxxdxyddxdyyxey解解1 1：例例2 2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,1sin),( yxeyyxFx设设,yeFxx ,cosxyFy 00 xyxxFFdxdy则则0cos xxxyye由条件易知由条件易知0,0 yx时时1 022dd xxy02)(cos)1sin)()(cos( xxxxyyyyexyye用公式用公式解解2 2：0 xy30dd22 xxy0

4、)0(, 01sin yyxeyxyy cos两边对两边对 x 求导求导1 两边再对两边再对 x 求导求导yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , , 注意此时注意此时1,0 yy0 yxyyexxe y 0 yx0,0 xy代代入入，解解得得方程两边直接求导方程两边直接求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 。求求已知已知0220,01sin xxxdxyddxdyyxey例例2 2：解解3 3： 方程两边直接求微分方程两边直接求微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 。求求已知已知0220,01sin xxxdxyddxdyyxey例

5、例2 2：cos0 xydye dxxdyydxdydx,cosxyyex 01xdydx 解解得得：，,0,0 yx时时又又当当2203xd ydx 解解得得：22d ydx2()(cos)()( sin1)(cos)xxeyyxeyy yyx 0,0 ,1xyy 代代入入，0),(. 2 zyxFzxFFxz zyFFyz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理证明从略定理证明从略, , 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下: :0),(,( yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xF zxFFxz zyFFyz 同样可得同样可得,0),(),(所确定的隐

6、函数所确定的隐函数是方程是方程设设 yxFyxfz则则zF xz 0 0),(000 zFzyx的某邻域内的某邻域内在在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对 x求偏导数得求偏导数得 xz ， 把把x看看成成yz,的的函函数数对对 y求求偏偏导导数数得得 yx ， 把把y看看成成 zx,的的函函数数对对 z求求偏偏导导数数得得 zy . . 解解1方程两边同时求导，方程两边同时求导，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得 xz )1(1xzf )

7、,(2xzxyyzf 整理得整理得xz ,12121fxyffyzf 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得 0),(2yxyzxzf 整理得整理得,2121fyzffxzf yx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(xyzzyxfz )1(1 yxf把把y看看成成zx,的的函函数数对对 z求求偏偏导导数数得得 )1(11 zyf),(2zyxzxyf 整理得整理得zy .12121fxzffxyf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(xyzzyxfz 解解2方程的两边同时求微分，方程的两边同时求微分，x、y、z

8、看看成相互独立的变量成相互独立的变量)()(21xydzxzdyyzdxfdzdydxfdz ,1121212121dyfxyffxzfdxfxyffyzfdz ,121212121dzfyzffxyfdyfyzffxzfdx .121212121dxfxzffyzfdzfxzffxyfdy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(xyzzyxfz 解解3利用公式利用公式 ，x、y、z 看成相互独立的变看成相互独立的变量量令令),(),(xyzzyxfzzyxF 2121211fxyfFfxzfFfyzfFzyx解得解得zxFFxz ,12121fxyffyzf ,2

9、121fyzffxzf xyFFyx yzFFzy .12121fxzffxyf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(xyzzyxfz 0),(0),(. 1zyxGzyxF二、方程组的情形二、方程组的情形0),(),(),(),(000000 zyxzyxzGyGzFyFzyGFJ机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,),(),(1zyzyzxzxGGFFGGFFzxGFJdxdy ,),(),(1zyzyxyxyGGFFGGFFxyGFJdxdz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:直接代入公式；直接代入

10、公式；解解2:将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导得求导得x 0122dxdzdxdydxdzzdxdyyx解得解得 zyyxdxdzzyzxdxdy2222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解3 将所给方程的两边求微分得将所给方程的两边求微分得 022dzdydxzdzydyxdx解得解得 dxzyyxdzdxzyzxdy2222 zyyxdxdzzyzxdxdy2222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)0, 0(21222zyxzyzyx 0),(0),(. 2vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 4 4：设设),

11、(vuyxF，),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连的某一邻域内有对各个变量的连续一阶偏导数，且续一阶偏导数，且 0),(0000 vuyxF, , ),(0000vuyxG0 ， 并且偏导数所组成的雅可比行列式并且偏导数所组成的雅可比行列式 0),(),( PPvGuGvFuFvuGFJ机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则方方程程组组 0),( vuyxF，0),( vuyxG在在点点 ),(0000vuyxP 的的某某一一邻邻域域内内唯唯一一确确定定一一组组具具有有连连续续一一阶阶偏偏导导数数的的函函数数 ),(yxuu ，

12、),(yxvv ，它它们们满满足足条条件件 ),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并并有有 ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1: 直接代入公式；直接代入公式；解解2: 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvx

13、xuyuxvyxux机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得：解得：,22yxyvxuxu ,22yxxvyuxv 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解3 将所给方程的两边求微分得将所给方程的两边求微分得,00 vdxxdvudyyduvdyydvudxxdu,2222dyyxyuxvdxyxyvxudu 解得：解得：,2222dyyxyvxudxyxxvyudv 0 yvxu1 xvyu反函数存在定理：反函数存在定理：

14、 设设 函数组函数组 )1(),(),( vuyyvuxx 在点在点 ),(00vu 的某一邻域内有连续的一阶偏导的某一邻域内有连续的一阶偏导数，且数，且 0),(),(),(00 vuvuyxJ， 令令 ),(000vuxx ，),(000vuyy ，则在点，则在点 ),(00yx 的某一邻域内存在的某一邻域内存在唯一的有连续的一阶偏导数的函数组唯一的有连续的一阶偏导数的函数组 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 满足函数组（满足函数组（1 1），且），且 ),(000yxuu ，),(000yxvv ，这时（，这时（2 2）称为（）称为（1 1）的反函）的反函数数

15、，并且，并且 vxJyuvyJxu11 uxJyvuyJxv11)2(),(),( yxvvyxuu机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xuxv 例例6 6： 计算极坐标变换计算极坐标变换 sin,cosryrx 的反变换的导数的反变换的导数 . . ),(),( ryxJxr x 同样有同样有22yxyyr 22yxxy 所以所以由于由于vyJ 1uyJ 1 cos1rr sin1r cossinsincosrr r yJ1 cos 22yxx ryJ 122yxy rr 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1 1：也可直接也可直接用隐函数

16、用隐函数存在定理存在定理4 4的公式的公式例例6 6： 计算极坐标变换计算极坐标变换 sin,cosryrx 的反变换的导数的反变换的导数 . .,)sin(cos1xrxr 同样有同样有22yxyyr 22yxxy 解得解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2 2：等式两边同时关于等式两边同时关于 x 求导，得求导，得xrxr cossin0 xr cos 22yxx x sin1r 22yxy 例例6 6： 计算极坐标变换计算极坐标变换 sin,cosryrx 的反变换的导数的反变换的导数 . .cos( sin ),dxdrrd故故22yxyyr 22yxx

17、y 解得解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解3 3：等式两边同时求微分，得等式两边同时求微分，得sincosdydrrd cossindrdxdy2222xydxdyxyxysincosddxdyrr 2222yxdxdyxyxy xr 22,xxy x 22,yxy ., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设 例例7 7：解：解：,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得的导数的导数两边求两边求对对,0),(2xzexy ,02321

18、 dxdzdxdyexy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 于是可得于是可得, ,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故,. 0),(0),(),()(所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 zxhzyxgyxfuxu例例8 8：解解的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,得得求求导导方方程程组组各各方方程程两两边边对对,x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ., 0, 0dxduzhyg试求试求且且 )3(. 0)2(, 0)1(

19、,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、内容小结三、内容小结1. 1. 隐函数隐函数( ( 组组) ) 存在定理存在定理2. 2. 隐函数隐函数 ( ( 组组) ) 求导方法求导方法方法方法1. 1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则

20、直接计算 ; ;方法方法2. 2. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ; ;方法方法3. 3. 代公式代公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业习题习题7-5(P89) 4，5，8，9，12，13解解1令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 备用题备用题解解2方程两边直接对方程两边直接对 x 求导，得求导，得2222)(12221xyxyxyyxyyx .xyyxy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

21、束 整理得整理得解解3方程两边直接求微分，得方程两边直接求微分，得2222)(12221xyxydxxdyyxydyxdx .dxxyyxdy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 整理得整理得.xyyxdxdy 解解1：用公式用公式zxFFxz 所所以以,2 zxyeyezyFFyz .2 zxyexe机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zxyezezyxF 2),(令令,),(xyxyezyxF 则则,),(xyyxezyxF zzezyxF 2),(解解2：方程两边分别关于方程两边分别关于 x , y 求导求导xz 解得：解得：,2 zxye

22、yeyz 解得：解得：.2 zxyexe机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求求导导：关关于于 x02 xzexzyezxy求求导导：关关于于 y02 yzeyzxezxy解解3：方程两边求微分方程两边求微分)2(zxyezed dzedzxydezxy 2)(dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( 解解得得：xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()2()(zxyedzded dzedzxdyydxezxy 2)(0 解解1：令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42

23、 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对对04222 zzyx 两边关于两边关于 x 求导求导)1(0422 xzxzzx得得,2zxxz (1)式两边再次关于式两边再次关于 x 求导，得求导，得042)(2222222 xzxzzxz.)2()2(322zxz zxzxz 2)(1222解解得得：解解3：对对04222 zzyx两边求微分两边求微分得得04222 dzzdzydyxd

24、xdyzydxzxdz 22解得解得,2zxxz ,2zyyz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .)2()2(322zxz 221xz 得：得：同解同解解解1 方程的两边同时对方程的两边同时对 x 求导，求导，z 看成看成 x,y 的函数的函数0)22(221 xzxyyzFxF221FxyFyzFxxz 同理同理, ,方程的两边同时对方程的两边同时对 y 求导求导, , z 看成看成 x,y 的函数的函数0)22()2(21 yzxyxzFyF221FxyFxzFyyz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2方程的两边同时求微分，方程的

25、两边同时求微分，x、y、z 看成相互独看成相互独立的变量立的变量0)(2)22(21 xydzxzdyyzdxFydyxdxFdyFxyFxzFydxFxyFyzFxdz221221 ,221FxyFyzFxxz 221FxyFxzFyyz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0)2 ,(22 xyzyxF解解3利用公式利用公式 ，x、y、z 看成相互独立的变看成相互独立的变量量 xyFFxzFyFFyzFxFFzyx22)2(2222121则则,221FxyFyzFxFFxzzx 221FxyFxzFyFFyzzy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0)2 ,(22 xyzyxF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：记记 )(),(zyzxzyxF , ,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy ,)(xuuf 6 6、设设, )(ufz 方程方程 )(uu xytdtp )(是是 x , y 的函数的函数 ,)(, )(可微可微其中其中uuf )(),(utp