20091111高三理科数学（42等差数列及前n项和4课时）

1、 4.2 4.2 等差数列及前等差数列及前n n项和项和知识梳理知识梳理t57301p21.1.等差数列的定义特征：等差数列的定义特征：从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数于同一个常数. .2.2.等差数列的递推公式：等差数列的递推公式： anan1 1d d( (n2)2)或或an1 1an1 12 2an( (n2).2).3.3.等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：n1(1)aand=+-4.4.等差数列的求和公式：等差数列的求和公式：11()(1)22nnn aan ndSna+-=+5.5.等差中项：等差中项：若若a，A A，b

2、b成等差数列，则成等差数列，则A A叫做叫做a与与b b的的等差中项，且等差中项，且 . . 2baA6.6.等差数列的基本性质：等差数列的基本性质：（1 1）an为等差数列为等差数列 anpnpnq q S Sn npnpn2 2qnqn 为等差数列为等差数列. .nSn（2 2）若）若m mn=pn=pq q，则，则mnpqaaaa（3 3） . .()nmaanm d-=-拓展延伸拓展延伸 1. 1.若数列若数列an、bn都是等差数列，则都是等差数列，则数列数列p pan，anan1 1，anbn， anbn也是等差数列也是等差数列. . 2. 2. S S3n3n3(S3(S2n2nS

3、 Sn n).). 3. 3.设等差数列设等差数列an、bn的前的前n n项和分项和分别为别为S Sn、T Tn，则，则 . .2121nnnnaSbT 4. 4.若若ak00，ak1 10 0，则，则S Sk为最大；若为最大；若ak00，ak1 10 0，则，则S Sk为最小为最小. .考点分析考点分析考点考点1 1 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明 例例1 1 设数列设数列an的前的前n n项和为项和为S Sn，已知，已知 a1 11 1，a2 26 6，a3 31111，且，且(5n(5n8)S8)Sn1 1(5n(5n2)S2)SnA AnB(B(nNN*) )，其中，其中A

4、A，B B为常数为常数. .（1 1）求）求A A与与B B的值；的值；（2 2）证明数列）证明数列an为等差数列为等差数列. .【解题要点【解题要点】利用项与和的关系消元利用项与和的关系消元迭代相减改变递推迭代相减改变递推关系关系依据定义得出结论依据定义得出结论.考点考点2 2 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 例例2 2 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a1 12020，前前n项和为项和为S Sn，且，且S S1010S S1515. .（1 1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2 2）求当）求当n取何值时，取何值时，S Sn取得最大值？取得最大值？并求出它的最大值

5、并求出它的最大值. . 例例3 3（1 1）设等差数列）设等差数列an的前的前n项和为项和为S Sn，已知前，已知前6 6项的和项的和3636，最后，最后6 6项的和为项的和为180180，S Sn324(324(n6)6)，求数列，求数列an的项的项数数n及及a9 9a1010的值的值. .（2 2）设等差数列）设等差数列an、bn的前的前n项和项和分别为分别为S Sn、T Tn，若，若 ，求，求 的值的值. .3123nnSnTn88ab例例4 4 设函数设函数 其中其中n为正偶数，为正偶数，an为等差数列为等差数列. . （1 1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2 2）设数

6、列）设数列an的前的前n项和为项和为S Sn，数列，数列bn满足满足 ，问是否存在非零常，问是否存在非零常数数c c，使数列，使数列bn也是等差数列？也是等差数列？23123( )nnf xa xa xa xa xL1(1)(1)2fn n( 1)2nf nnSbnc若若 ， . . 例例5 5（0909北京卷）设数列北京卷）设数列an的通项的通项公式为公式为anp pnq (q (nNN*，p p0). 0). 数列数列bm定义如下：对于正整数定义如下：对于正整数m，bm是使是使得不等式得不等式anm成立的所有成立的所有n中的最小值中的最小值. .（2 2）若）若p p2 2，q q1 1，

7、求数列，求数列bm的前的前2 2m项和公式；项和公式；（3 3）是否存在）是否存在p p和和q q，使得，使得bm3 3m2 2？若存在，求若存在，求p p和和q q的取值范围；若不存在，的取值范围；若不存在，说明理由说明理由. .11,23pq （1 1）若）若 ，求，求b3 3； 例例6 6（0909江苏卷）设数列江苏卷）设数列an是公差是公差不为零的等差数列，其前不为零的等差数列，其前n项和为项和为S Sn，已，已知知S S7 77 7，且，且 . .（1 1）求数列）求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和；项和； （2 2）求所有的正整数）求所有的正整数m，使得，使得为数列为数列

8、an中的项中的项. .22222345aaaa12mmma aa【解题要点【解题要点】灵活运用等差数列性质灵活运用等差数列性质利用方程思想利用方程思想求未知数求未知数. .考点考点3 3 等差数列背景下证不等式等差数列背景下证不等式 例例7 7 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a1 11 1，a2 26 6，求证：，求证： ( (m，nNN*).).51mnmnaa a 例例8 8 设等差数列设等差数列an的各项都为正数，的各项都为正数，其前其前n n项和为项和为S Sn，m，k，n是三个互不相是三个互不相等的正整数，且等的正整数，且k为为m，n的的等差中项，等差中项，求证：求证： .

9、 .mnkSSS 例例9 9 已知数列已知数列an的各项都为正数，的各项都为正数，其前其前n项和为项和为S Sn，且，且( (an3)(3)(an1)1)4S4Sn( (nNN*).).求证：求证： . .121113142nSSSn+-+L【解题要点【解题要点】利用代数式表示相关字母利用代数式表示相关字母利用基本不利用基本不等式处理根式等式处理根式利用裂项与放缩处理和利用裂项与放缩处理和式式. .考点考点4 4 与等差数列有关的递推数列问题与等差数列有关的递推数列问题 例例10 10 已知数列已知数列an满足：满足：a1 11 1，a2 23 3， ，求数列，求数列an的通的通项公式项公式. .2124nnnaaa 例例11 11 设数列设数列an的前的前n项和为项和为S Sn，已，已知知 ， ， 求证：求证： . .112a 2(1)nnSn an n11(5)2nnan 例例1212（0707湖南卷）设数列湖南卷）设数列an的前的前n项和为项和为S Sn，已知，已知a1 1a，an00，且，且 （1 1）证明：数列）