概率论与数理统计习题解答(第二版)李书刚编,科学出版社

1、概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 1 页页 (共共 78 页页)第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下（1）S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）S= (x, y)| x2+y202. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系

2、表示下列事件：（1）A 发生，B 和 C 不发生；（2）A 与 B 都发生，而 C 不发生；（3）A、B、C 都发生；（4）A、B、C 都不发生；（5）A、B、C 不都发生；（6）A、B、C 至少有一个发生；（7）A、B、C 不多于一个发生；（8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABCABCABCABCABCABCABBCACABBCC A3在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则（1）事件 AB 表示什么？（2）在什么条件下 ABC=C 成立

3、？（3）在什么条件下关系式是正确的？CB（4）在什么条件下成立？AB解 所求的事件表示如下（1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 2 页页 (共共 78 页页)（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的. CB（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立. AB4设 P(A)0.7，P(AB)0.3，试求()P AB解 由于 AB = A AB, P(A)=0.7 所以P(AB) = P(AAB)

4、= P(A)P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 10.4 = 0.6.()P AB5. 对事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求1418A、B、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于故 P(ABC) = 0,()0,ABCAB P AB 则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC) 111150 0044488 6. 设盒中有 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A两球颜色相同， B两球颜色不同. 解

5、由题意，基本事件总数为，有利于 A 的事件数为，有利于 B 的事件数为2a bA22abAA, 1111112abbaabA AA AA A则 2211222( )( )ababa ba bAAA AP AP BAA7. 若 10 件产品中有件正品，3 件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设 A=取得三件次品 则 .333333101016( )( )120720或者CAP AP ACA（2）设 B=取到三个次品, 则 .33327( )101000P A8. 某旅行社 100 名导游

6、中有 43 人会讲英语，35 人会讲日语，32 人会讲日语和英语，9 人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100P ABCP ABP ABC(2) ()()()P ABCP ABP ABC()01()P ABP AB 1( )( )()P AP BP AB 433532541100100100100 9. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中

7、任取 3 颗，求：概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 3 页页 (共共 78 页页)（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1) 设 A=取到的都是白子 则 . 3831214( )0.25555CP AC (2) 设 B=取到两颗白子, 一颗黑子 . 2184312( )0.509C CP BC (3) 设 C=取三颗子中至少的一颗黑子 . ( )1( )0.745 P CP A (4) 设 D=取到三颗子颜色相同 .

8、 3384312()0.273CCP DC10. （1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？（2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解 (1) 设 A = 至少有一个人生日在 7 月 1 日, 则 500500364( )1( )10.746365 P AP A (2)设所求的概率为 P(B) 412612611( )0.007312CCP B11. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p.解 由于两个 C，两个 E 共有种排法，而基本事件总数为，因此有2222A

9、A77A 2222770.000794A ApA12. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设4452CA=4 只手套都不配对，则有445410280( )210CP AC13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少？11ipi解 设 Ai = 第 i 个零件不合格，i=1,2,3, 则1()1iiP Api所以 ()11iiiP Api 123123123(2)()(

10、)()P xP A A AP A A AP A A A由于零件制造相互独立，有：，123123()() () ()P A A AP A P A P A123123()() () ()P A A AP A P A P A123123()() () ()P A A AP A P A P A概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 4 页页 (共共 78 页页)11112111311,(2)23423423424P x 所以 14. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目

11、标的概率 p. 解 设 A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi =第 i 次击中目标, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式12( )()()()( ) (|)( ) ()|)P BP ABP ABP ABP A P B AP A P BBA另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36由加法公式P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.70.84 =

12、0.58815. 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2，3，4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设 Ai =一批产品中有 i 件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取 10 件检查出一件次品,C=产品中次品不超两件, 由题意 01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303P B AC CP B ACC CP B ACC CP

13、 B ACC CP B AC由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 40( )() (|)0.196iiiP BP A P B A由 Bayes 公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()P AP B AP ABP BP A P B AP ABP BP AP B AP ABP B故 20( )(|)0.588iiP CP AB16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分别为概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考

14、） 第一章第一章 第第 5 页页 (共共 78 页页)0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）. 解 设 B=三件都是好的，A1=损坏 2%, A2=损坏 10%, A1=损坏 90%，则 A1, A2, A3是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,由全概率公式31333( )()(|)0.80.980.

15、150.900.050.100.8624iiiP BP A P B A由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为 313233()(|)0.80.98(|)0.8731( )0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268( )0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001( )0.8624iiiiiiP A P B AP ABP BP A P B AP ABP BP A P B AP ABP B由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，

16、每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含 0，1 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率 ；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率 . 解 设 Hi=箱中实际有的次品数, , A=通过验收0,1,2i则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：042314244222424(|)1,5(|),695(|)138P A HCP A HCCP A HC(1)由全概率公式20( )()(|)0.96iiiP A

17、P HP A H(2)由 Bayes 公式 得00()(|)0.8 1(|)0.83( )0.96iP HP A HP HAP A18. 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为 0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努利试验. 由题意，有 p=0.1, q=1p=0.9, 故概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第一章第一章 第第 6 页页 (共共 78 页页)(

18、1) 223155(2)(0.1) (0.9)0.0729PPC(2) 2555(3)(4)(5)PPPP332441550555(0.1) (0.9)(0.1) (0.9)(0.1) (0.9)0.00856CCC概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 7 页页 (共共 78 页页)第二章 随机变量及其分布1. 有 10 件产品，其中正品 8 件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数 X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：X012p 28/45 16/45 1/452. 进行某种试验，设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，

19、3414以 X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：113(),1,2,3,44kP XkkX 取偶数的概率：2113(2 )4411116331165116kkP XP Xk k=1k=1k=1为偶数3. 从 5 个数 1，2，3，4，5 中任取三个为数.求：123,x x xXmax ()的分布律及 P(X4)；123,x x xYmin ()的分布律及 P(Y3). 123,x x x解 基本事件总数为：，3510C X345概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章

20、第第 8 页页 (共共 78 页页) (1)X 的分布律为： P(X4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为P(X3) =04. C 应取何值，函数 f(k) =，k1，2，0 成为!kCk分布律？解 由题意, , 即1( )1kf x0110(1)1!0!kkkkkkCCCC ekkk解得：1(1)Ce5. 已知 X 的分布律X112P 162636p 0.1 0.3 0.6Y123p 0.6 0.3 0.1概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 9 页页 (共共 78 页页) 求：（1）X 的分布函数；（2）；（

21、3）. 12P X312PX解 (1) X 的分布函数为( )()kkxxF xP Xxp ;0,11/6,11( )1/2,121,2xxF xxx (2) 11(1)26P XP X (3) 31()02PXP 6. 设某运动员投篮投中的概率为 P0.6，求一次投篮时投中次数 X 的分布函数，并作出其图形. 解 X 的分布函数 00( )0.60111xF xxx7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：（1）三次射击中恰好命中两次的概率；（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？解 设 A=三次射击中恰好命中两次，B=目标被击毁，则(1) P(A)

22、 =223 2233(2)(1)3(1)PC pppp(2) P(B) =223 2333 3233333(2)(3)(1)(1)32PPC ppC pppp8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：（1）每分钟恰有 6 次呼唤的概率；F(x)0 x10.61概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 10 页页 (共共 78 页页)（2）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率. 解 (1) P(X=6) =或者6440.104!6!keekP(X=6) = = 0.21487 0.11067 = !kek44

23、6744!kkkkeekk0.1042.(2) P(X10) = 10440114411 0.00284!kkkkeekk 0.997169. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X1)P(X2)，求P(X4)解 由已知可得， 12,1!2!ee解得 =2， (=0 不合题意)= 0.09422,(4)4!P Xe因此10.商店订购 1000 瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为 0.003，求商店收到的玻璃瓶， （1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解 设 X=1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则 X 服从参数为 n=1000, p=0.0

24、03 的二项分布，即XB(1000, 0.003), 由于 n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即 X(3). 因此概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 11 页页 (共共 78 页页) (1) P(X=2) 2330.2242!e(2)323(2)1(2)11 0.80080.1992!kkP XP Xek (3)333(2)(2)0.5768!kkP XP Xek(4) 313(1)0.9502!kkP Xek11.设连续型随机变量 X 的分布函数为20,0( ),011,1xF xkxxx求：（

25、1）系数 k；（2）P(0.25X0.75)；（3）X 的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率. 解 (1) 由于当 0 x1 时，有 F(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=kx2 又 F(1) =1, 所以 k12=1因此 k=1. (2) P(0.25X0.75) = F(0.75)F(0.25) = 0.7520.252=0.5 (3) X 的密度函数为2 ,01( )( )0,xxf xF xOther (4) 由(2)知，P(0.25X80/100)=P(Z0.8)=120.812 (1)0.0272xx dx 如果供电量只有 8

26、0 万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z90/100)=P(Z0.9)=120.912 (1)0.0037xx dx14.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 13 页页 (共共 78 页页)6001,0( )6000,xexF xx0试求在仪器使用的最初 200 小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率. 解 设 X 表示该型号电子元件的寿命，则 X 服从指数分布，设 A=X200，则 P(A)=12006003011600 xedxe 设

27、 Y=三只电子元件在 200 小时内损坏的数量，则所求的概率为： 1003 03331(1)1(0)1( ) (1( )1 ()1P YP YC P AP Aee 15.设 X 为正态随机变量，且 XN(2，)，又 P(2X4) = 20.3，求 P(X0)解 由题意知 222422(24)00.3XPXP 即20.30.50.8故 20222(0)10.2XP XP 16.设随机变量 X 服从正态分布 N(10，4)，求 a，使P(|X10|0 时，222222112( )()|()|( )|22yyyYXXfyfyyfyyeee当 y0 时，0( )Yfy 因此有 222,0()0,0yY

28、eyfyy22.若随机变量 X 的密度函数为2X-4046p1/7 1/7 3/7 2/7X2049p1/7 4/7 2/7概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 16 页页 (共共 78 页页)23,01( )0,xxf x其他求 Y 的分布函数和密度函数. 1x解 y= 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y1, 1x1yh(y)=21y222411113( ) ( )|( )|3YXXfyfh yh yfyyyyy因此有 43,1( )0,YyyfyotherY 的分布函数为：433131,1( )10,yY

29、yy dyyyyFyother 23.设随机变量 X 的密度函数为22,0(1)( )0,0 xxf xx试求 YlnX 的密度函数. 解 由于严格单调，其反函数为, lnyx( ),( )yyh yeh ye且则2() ()|() |()2(1)2,()yyYXXyyyyfyfh yhyfeeeeyee 24.设随机变量 X 服从 N(,)分布，求 Y的分布密度. 2xe概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 17 页页 (共共 78 页页)解 由于严格单调，其反函数为y0, xye1( )ln ,( ),h yyh y且y则2

30、21(ln)21( ) ( )|( ) |(ln)1,02YXXyfyfh yhyfyyeyy当时( )0Yfy 0y 因此 221(ln)21,0( )20,0yYeyfyyy25.假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y在区间(0, 1)上服从均匀分布. 21xe解 由于在(0, +)上单调增函数，其反函数为：21xye 1( )ln(1), 01,2h yyy 并且，则当1( )2(1)h yy01y12(ln(1)2( ) ( )|( ) |11(ln(1)22(1)1212(1)YXXyfyfh yhyfyyey当 y0 或 y1 时，=0.( )Yfy因此 Y 在区间

31、(0, 1)上服从均匀分布.26.把一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3 次正面，2 次正面 1 次反面, 1 次正面 2 次反面, 3 次反面, 对应的 X,Y的取值及概率分别为 P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1) 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 18 页页 (共共 78 页页)P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)

32、= 3 113113228C31128于是， （X，Y）的联合分布表如下：XY0123103/83/8031/8001/827.在 10 件产品中有 2 件一级品，7 件二级品和 1 件次品，从 10 件产品中无放回抽取 3 件，用 X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求：（1）X 与 Y 的联合概率分布；（2）X、Y 的边缘概率分布；（3）X 与 Y 相互独立吗？解 根据题意，X 只能取 0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 其中,271310(,),ijkijC C CpP Xi YjC3,0,1,2,ijki0,1,2,3j ,可以计算出联合分

33、布表如下 0,1k YX0123ip00021/120 35/120 56/1201014/120 42/120056/12021/1207/120008/120jp1/120 21/120 63/120 35/120(2) X,Y 的边缘分布如上表(3) 由于 P(X=0,Y=0)=0, 而 P(X=0)P(Y=0)0, P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0), 因此 X,Y 不相互独立.概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 19 页页 (共共 78 页页)28.袋中有 9 张纸牌，其中两张“2” ，三张“3” ，四张“

34、4” ，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为 X 和 Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率 P(XY6)解 (1) X,Y 可取的值都为 2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：YX234ip22229/1/36AA 112239/1/12A AA 112249/1/9A AA 2/93112329/1/12A AA 2239/1/12AA 112349/1/6C CA 1/34112429/1/9A AA 112439/1/6A AA 2249/1/6AA 4/9jp2/91/34/9(2)P(X+Y6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y

35、=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29.设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为,( , )arctanarctan23xyF x yA BC求：（1）系数 A、B 及 C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量 X 与 Y 是否独立？解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -) =0, F(-,y) =0, F(-, -) =0, F(+, +)=1, 可以得到如下方程组：概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 20 页页 (

36、共共 78 页页) arctan022arctan023022122xA BCyA BCA BCA BC解得：21,22ABC(2) 2222( , )6( , )(4)(9)F x yf x yx yxy (3) X 与 Y 的边缘分布函数为： 211( )( ,)arctanarctan222222XxxFxF x 211( )(, )arctanarctan222322YyyFyFyX 与 Y 的边缘概率密度为： 22( )( )(4)XXfxFxx 23( )( )(9)YYfyFyy(4) 由(2),(3)可知：, 所以 X，Y 相互独立. ( , )( )( )XYf x yfx

37、fy30.设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为-(x+y)e,0,( , )0,xf x y 其他（1）求分布函数 F(x, y)；（2）求(X，Y)落在由 x0，y0，xy1 所围成的三角形区域 G 内的概率. 解 (1) 当 x0, y0 时， ()00( , )(1)(1)yxu vxyF x yedudvee 否则，F(x, y) = 0. (2) 由题意，所求的概率为概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 21 页页 (共共 78 页页) 11()100( , )( , )120.2642Gxx yP x yGf

38、x y dxdydxedye 31.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为-(3x+4y)Ae,0,0,( , )0,xyf x y其他求：（1）常数 A；（2）X，Y 的边缘概率密度；（3）(01, 02)PXY.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得 (34 )00( , )1/12xyf x y dxdyAedxdyA 解得 A=12.(2) X, Y 的边缘概率密度分别为：(34 )30123,0( )( , )0,xyxXedyexfxf x y dyother(34 )40124,0( )( , )0,xyyYedxeyfyf x y dxother(3) (01, 02)Pxy21

39、(34 )003812(1)(1)xyedxdyee 32.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为2,01, 02,( , )30,xyxxyf x y其他求 P(XY1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 围的区域 G 中, 则概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 22 页页 (共共 78 页页)122012310( , )( , )3456532672GxP x yGf x y dxdyxydxxdyxxxdx33.设二维随机变量(X, Y)在图 2.20 所示

40、的区域 G 上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度. 解 由于(X, Y)服从均匀分布，则 G 的面积 A 为： , 2112001( , )()6xxGAf x y dxdydxdyxxdx(X, Y)的联合概率密度为： .6, 01( , )0,xf x yother X,Y 的边缘概率密度为： 2266(),01( )( , )0,xxXdyxxxfxf x y dyother66(),01( )( , )0,yyYdyyyyfyf x y dxother34.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y 的概率密度是55,0(

41、 )0,0yyeyfyy求：（1）X 和 Y 和联合概率密度； （2）P(YX).解 由于 X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以( )1/0.25Xfx (1) 由于 X，Y 相互独立，因此 X, Y 的联合密度函数为：525,0, 00.2( , )( )( )0,yXYeyxf x yfx fyother(2) 由题意，所求的概率是由直线 x=0, x=0.2, y=0, y=x所围的区域，y=x0 0.2 xy概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 23 页页 (共共 78 页页)如右图所示， 因此 0.25000.2

42、5110()( , )255111xyGxP YXf x y dxdydxedyedxee 35.设（X，Y）的联合概率密度为1,01, 02( , )20,xyf x y 其他求 X 与 Y 中至少有一个小于 的概率.12解 所求的概率为0.50.5120.50.511()()22111,221( , )15128PXYP XYf x y dxdydxdy 36.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 113 Y 3 1P P 12153101434求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表XY-113jp-31/81/20 3/40 1/413/83/20 9/40

43、 3/4ip1/21/56/2037.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 24 页页 (共共 78 页页) X123 Y 1 16191182 abc（1）求常数 a，b，c 应满足的条件；（2）设随机变量 X 与 Y 相互独立，求常数 a，b，c.解 由联合分布律的性质，有： , 即 a + b + c =11116918abc12133 又，X, Y 相互独立，可得 1 11:6 9 18a b c 从而可以得到： 121,399abc38.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为22

44、232,0,1,1( , ),0, 01,10,xxyxx yF x yxyx 其他，求边缘分布函数与，并判断随机变量 X 与 Y 是( )xF x( )yFy否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数 2222lim,0( )( ,)110,0yXxxxFxF xxxx 下面计算 FY(y)概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 25 页页 (共共 78 页页) 2332220,0( )(, )lim,011lim1,11Yxxyx yFyFyyyxxyx 可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y 相互独立

45、. 39.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 132,1,1( , )0,yexyf x yx 其他，求边缘概率密度与，并判断随机变量 X 与 Y 是( )Xfx( )Yfy否相互独立. 解 先计算, 当 x1 时, ( )Xfx( )0Xfx 当 x1 时, 113331222( )1yyXfxedyexxx 再计算, 当 y1 时, ( )Yfy( )0Yfy 当 y1 时, 11132121( )1yyyYfyedxeexx 可见, , 所以随机变量 X, Y 相互独立( , )( )( )XYf x yfx fy40.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 ,( , )0,xy

46、x yf x y 其他，求边缘概率密度与，并判断随机变量 X 与 Y( )Xfx( )Yfy是否相互独立. 解 先计算, 当 x1 时, ( )Xfx( )0Xfx 当 1x0 时, 1212011( )02Xfxxydyxyyx 再计算, 当 y1 时, ( )Yfy( )0Yfy 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 26 页页 (共共 78 页页) 当 1y0 时, 120111( )022Yfyxydxxyxy 由于, 所以随机变量 X,Y11( , )( )( )22XYf x yxyfx fyxy不独立41.设二维随

47、机变量（X，Y）的联合分布函数为22,00( , )0,xyexyf x y 其他求随机变量 ZX2Y 的分布密度. 解 先求 Z 的分布函数 F(z) :2( )()(2)( , )D XYzF zP ZzP XYzf x y dxdy当 z0, y0, x2yz 求得2220( )2zzyxyF zdyedx 224122zyy zzeedye 当 z0 时，积分区域为：D=(x,y)|x0, y0, x2yz， 2200( )2zyxyF zdyedx 2401212yy zzeedye 由此, 随机变量 Z 的分布函数为 11,02( )1,02zzezF zez因此, 得 Z 的密度

48、函数为：1,02( )1,02zzezf zez42.设随机变量 X 和 Y 独立，X，Y 服从b，b(b0)上的均匀分布，求2()N 随机变量 ZXY 的分布密度. 解 解法一 由题意，0zxyzxyxyyx2y=zx2y=zzxyxy0zxyDyyDy概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 27 页页 (共共 78 页页)22()211( )()( )22z y abXYbF zfzy fy dyedyb 令则)/, ,zyatdydtyb b (22111( )222z b az b atz b az b aF zedtbb

49、 解法二22( )( )(),1()1( )2221122111212XYz bz bF zfx fzx dx-b z - x b,z -b x 0 时有非零值，仅当 zx0，即 zx( )Xfx()Yfzx时有非零值，所以当 z0 时，有 0zx, 因此1132()011( )23zz xxZFzeedx16332016zzzzxedxee44.设（X，Y）的联合分布律为 X 0123概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第二章第二章 第第 28 页页 (共共 78 页页) Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.0

50、20.110.130.12求：（1）ZXY 的分布律；（2）Umax（X，Y）的分布律；（3）Vmin（X，Y）的分布律. 解 (1) X+Y 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)

51、=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y 的分布如下 Z012345p00.06 0.19 0.35 0.28 0.12同理，U=max(X,Y)的分布如下 U0,1,2,3U0123p00.15 0.46 0.39同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V0,1,2V012p0.28 0.47 0.25概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第三章第三章 第第 29 页页 (共共 78 页页)第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量 X 的分布列为 X 1 0 1212 P E(X)，E(X1)，E(X2)解 1

52、11111136261243()1012E X 111111236261243(1)( ( 1) 1)( 0 1)(1)( 1 1)( 2 1)EX 或者1233(1)()(1)() 11EXEXEE X 22222235111111362612424()( 1)(0)( )(1)(2)EX 2. 一批零件中有 9 件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为 X, X 的取值为0, 1, 2, 3, Ak表示取出废品数为 k 的事件， 则有：1391121230(),0,1,2

53、,3,66()()0.3220kkkkkkCCP AkCCE Xk P A3. 已知离散型随机变量 X 的可能取值为1、0、1，E(X)0.1，E(X2)0.9，求 P(X=1)，P(X0)，P(X1).解 根据题意得： 2222()1 (1)0 (0) 1 (1)0.1()( 1)(1)0(0) 1(1)0.9E XP XP XP XE XP XP XP X 可以解得 P(X1)=0.4, P(X=1)=0.5, 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第三章第三章 第第 30 页页 (共共 78 页页)P(X=0) = 1 P(X1) P(X=1

54、) = 10.40.5=0.14. 设随机变量 X 的密度函数为2(1),( )xxf x 其他.求 E(X).解 由题意, , 101()( )2(1)3E Xxf x dxx xdx5. 设随机变量 X 的密度函数为,0( )xexf xx 求 E(2X)，E().2xe解 0(2)2( )2xEXxf x dxxe dx0002|2 0|2xxxxee dxe222300()( )11|33XxxxxE eef x dxee dxe 6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a，b上，求球的体积的数学期望. 解 由题意，球的直接 DU(a,b), 球的体积 V= 3432D 因此，3

55、41( )( )32baxE VVf x dxdxba4220|()()24()24xab abba7. 设随机变量 X，Y 的密度函数分别为概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第三章第三章 第第 31 页页 (共共 78 页页)22,0( )xXexfxx 44,0( )yYeyfyy 求 E(XY)，E(2X3Y2). 解 ()()( )E XYE XE Y2400( )( )24113244XYxyxfx dxyfy dyxedxyedy22222400(23)2 ()3 ()2( )3( )223435188XYxyEXYE XE Yxf

56、x dxy fy dyxedxy edy 8. 设随机函数 X 和 Y 相互独立，其密度函数为2 ,1( )Xxxfx 其他5,5( ) 5yYeyfyy （）求 E(XY).解 由于 XY 相互独立, 因此有 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第三章第三章 第第 32 页页 (共共 78 页页)12(5)05(5)(5)5(5)()() ( )( )( )225320553225(01)( 6)433XYyyyyE XYE X E Yxfx dxyfy dyx dxyedyyeedye 9. 设随机函数 X 的密度为21,( )1f xx x

57、1x1.求 E(X), D(X).解 1211()( )01xE Xxf x dxdxx221122221021112220001012()( )112112211112211()arcsin|1422xxE Xx f x dxdxdxxxxdxx dxdxxxx 221()()()2D XE XE X10.设随机函数 X 服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为2222,0( )xxexfxx 其中 0 是常数，求 E(X)，D(X).概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第三章第三章 第第 33 页页 (共共 78 页页)解 22222

58、22200()( )xxxE Xxf x dxedxxde 2222222222200/00222xxxuu xxeedxedxedu 22222222222222222232222002002220()( )2202220 xxxxxxuuuxE Xx f x dxedxx dex exedxxedxe due 22222()()()2(2)22D XE XE X11.抛掷 12 颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷 1 颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6因此

59、 D(X) = E(X2)(E(X) 2 = 35/12 掷 12 颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X1+X2+X12)=12E(X) = 42 D(X1+X2+X12) =D(X1)+D(X2)+D(X12)=12D(X)=3512.将 n 只球（1n 号）随机地放进 n 只盒子（1n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的个数，求 E(X), D(X).解 （1）直接求 X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量 Xk , 则有：1,0,kkXk第只球装入第k号盒子第只球没装入第k号盒子，Xk服 0-1 分布1nkkX

60、X概率论与数理统计概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考）习题参考答案（仅供参考） 第三章第三章 第第 34 页页 (共共 78 页页)因此：11(0)11,(1),kkP XpP Xpnn 11111(),()11()1kknnkkkkE XpD XnnnE XEXE Xnn （2）服从 0-1 分布，则有kjX X11(1)(1)(1)(1,1),()kjkjkjn nn nP X XP XXE X X1()nkkD XDX112222(,)1112( ()() ()11112(1)1111112111(1)nkkjkkjnkjkjkkjkjnD XCov XXE X XE XE Xnn