21空间点-直线-平面之间的位置关系

1、桌面海平面今后，一般用A、B、C表示点，a、b、c表示线， 表示面 ,1平面平面理解：理解：平面是无限延伸的，无大小，无厚薄之分， 不可度量几何画法几何画法：通常用平行四边形来表示平面符号表示符号表示：通常用希腊字母 等来表示，如：平面 也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC, 判断下列各题的说法正确与否，在正判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打确的说法的题号后打 ，否则打，否则打 .1、一个平面长、一个平面长 4 米，宽米，宽 2 米；米； ( )2、平面有边界；、平面有边界； ( )3、一个平面的面积是、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )4、平面

2、是无限延展、平面是无限延展、没有厚度没有厚度的的 ； ( )5、一个平面可以把空间分成两部分、一个平面可以把空间分成两部分. ( )巩固巩固: :平面的表示两个相交平面的画法和表示两个相交平面的画法和表示平面和平面相交于一条直线a被遮住的部分画虚线aa平面平面=直线a平面的表示平面的表示,Pl A直线和平面都可以看成点点的集合“点P在直线上l ”,“点A在平面内” 用集合符号表示用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线点与直线、点与平面、直线与平面的关系与平面的关系“点P在直线l 外”,“点A在平面外”直线直线 l 在平面在平面内，或者说平面内，或者说平面经过直线经过直线 l直线直线 l 在平

3、面在平面外外. .,llAlP,2平面的基本性质公理公理1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 lBAlBlA,作用:1、判定线在面内 2、判定点是否在平面内思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子需要几根钉子? ?符号语符号语言表述：言表述：直线直线a在平面在平面内内记作：记作：a 直线直线a在平面在平面外外记作：记作：a 注注 ：空间中空间中线与面线与面的位置关系的位置关系强调强调: : 空间中空间中点与线点与线(面面)只有只有和和 关系关系 空间中空间中线与面线与面只有只有 与与 的关系的关系条件条件结论结论结论条件1条件2推导符号“”的使用：思

4、考思考2:2:固定一扇门需要几样东西？固定一扇门需要几样东西？回答:确定一个平面需要什么条件一个平面需要什么条件? ?公理公理2 2 经过不在同一条直线不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 确定唯一一个平面不共线CBACBA,作用作用:1:1、确定一个平面确定一个平面 2 2、证明点、线共面问题、证明点、线共面问题. .如何理解？如何理解？推论推论1.1.一条直线和直线外一点确定一个平面。一条直线和直线外一点确定一个平面。推论推论2.2.两条相交直线确定一个平面。两条相交直线确定一个平面。推论推论3.3.两条平行直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。公理公理2.2.不共线的三点确定

5、一个平面不共线的三点确定一个平面. .确定一平面还有哪些方法？确定一平面还有哪些方法？ ACB应用应用:过空间中一点可以做几个平面？过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？三点呢？过空间中两点呢？三点呢？思考思考3:如图所示，两个平面如图所示，两个平面 、 , ,若相交若相交于一点于一点, ,则会发生什么现象则会发生什么现象? ? Pl 公理公理3 3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 lPlP且两面共一点则两面共一线且点在线上两面共一点则两面共一线且点在线上作用作用: :用于证明用于证明点在线上或多点共线.例题例题 例1

6、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.A B a a l (1)a a b b P P l (2)解：1） A ，B ， =l，a =A，a =B2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P 2根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形BA,) 1 (ml,)2(l)3(QlQPlP,)4(3、一个平面把空间分成_部分，两个平面把空间最多分成_部分，三个平面把空间最多分成_部分4、正方体中，试画出过其中三条棱的中点正方体中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,RP,Q,R的的平面截得正方体的截面形状平面截得正方体的截面形状2.1.2空间中直线与直线空间中

7、直线与直线之间的位置关系之间的位置关系两条直线的位置关系思考思考1 1：同一平面内两条直线有几种位置关系？：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？空间中的两条直线呢？abC两条直线的位置关系两条直线的位置关系 不同在任何任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. .baab异面直线的图示理解：1、两条直线永不具备确定平面的条件，因此异面直线既不相交也不平行；注意把握异面直线的不共面性2、不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线空间中的直线与直线之间有三种位置关系：相交直线相交直线: :平行直线平行直线: :共面直线共面直线异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没

8、有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点 同一平面内，有且只有一同一平面内，有且只有一个公共点；个公共点； 同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点； 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?探究探究FAHGEDCBCDBAEFGH直线直线EF EF 和直线和直线HGHG直线直线AB AB 和直线和直线CDCD直线直线AB AB 和直线和直线HGHG答：答：3 3对对平行直线 如图, 在长方体ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB与DD平行吗 ?CBCADBAD观察观察答：平行答：平行平行直线平行直

9、线 公理公理4 4 平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行. .空间中的平行线具有传递性空间中的平行线具有传递性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面平行直线 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？AFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面问题问题平行直线平行直线 例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，

10、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.FGDAEBCH所以 BDEH /，且，且BDEH21同理 BDFG/，且，且BDFG21因为 FGEH /，且，且FGEH 所以所以 四边形四边形EFGH EFGH 是平行四边形是平行四边形证明：连接证明：连接BDBD，因为 EHEH是是 的中位线，的中位线，ABD 在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？探究探究答：四边形EFGH是菱形FGDAEBCH是菱形所以平行四边形所以且，因为EFGHEHEFBDAC BD21EH AC21EF等角定理等角定理 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行

11、， 那么这两个角相等或互补”空间中，结论是否仍然成立？思考1 如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-ABCDABCD-ABCD的底面是平行的底面是平行四边形，四边形，ADCADC与与ADC, ADCADC, ADC与与BADBAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考思考2:2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC=ADCADC+BAD=180ADC+BAD=1800 0 如图，在空间中如图，在空间中AB/ ABAB/ AB，AC/ ACAC/ AC，你能证明你能证明BACBAC与与BAC BAC 相等吗？相等吗？ 思考思考3

12、 3BCAB C A EE DD 等角定理等角定理 定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平行，那么这两个角相等或互补. . 等角定理等角定理推论推论：空间中如果两个角的两边：空间中如果两个角的两边分别对应平行且分别对应平行且方向相同方向相同，那么这两个角相等，那么这两个角相等. .ABCCABABCCABBA ABCAAC/,/异面直线所成的角异面直线所成的角a ab b思考思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？a a

13、b b平面内两条相交直线空间中两条异面直线abaO O 已知两条异面直线已知两条异面直线a a，b b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作作直线直线 ，把，把 与与 所成的锐角（或直角）所成的锐角（或直角）叫做叫做异面直线异面直线a a与与b b所成的角所成的角bb aa/,/abababO O异面直线所成的角异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为我们规定两条平行直线的夹角为0 0，那么，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？两条异面直线所成的角的取值范围是什么？90,0 如果两条异面直线所成角为如果两条异面直线所成角为90900 0，那么这两，那么这两条直线垂直条直线垂直.

14、.探究ab记直线记直线a a垂直于垂直于b b为：为：a a b b异面直线所成的角探究 （1）在长方体）在长方体 中，有没有两条棱中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？所在的直线是相互垂直的异面直线？DCBAABCD （2）如果两条平行直线中的）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如：如：,BBAD与BBDA与等等垂直垂直AABBCCDD,BBBCBBAB不一定，如上图的立方体中不一定，如上图的立方体

15、中直线直线AB与与BC相交，相交，异面直线所成的角 例例3 3 已知正方体已知正方体 DCBAABCDABA BCDCD（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？是异面直线？AB （2 2）直线）直线 和和 的夹角是多少？的夹角是多少？AB CC （3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线 垂直？垂直？AA 解解: :（1 1）由异面直线的定义可知，）由异面直线的定义可知，棱棱 所在所在的直线分别与直线的直线分别与直线 是异面直线是异面直线CB CDD DC C DCAD,AB （3 3）直线）直线AD DC CB BA DA CD BCAB,分别与直线分

16、别与直线 垂直垂直AA （2 2）由）由 可知，可知，CCBB/ABB为为异面直线异面直线 与与 的夹角，的夹角， ，所以所以 与与 的夹角为的夹角为 AB CC 45AB CC 45ABB 在如图所示的长方体中，在如图所示的长方体中，AB= AB= ，且，且AAAA1 1=1=1，求直线，求直线BABA1 1和和CDCD所成角的度数所成角的度数. .3ABC1D1C1AD30O1B练习练习1 1 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， , 求异面直线AB和CD所成的角.12AEBFEDFC3EF AFEDCB练习练习2 22.1.3空间中直线与平

17、面之间空间中直线与平面之间的位置关系的位置关系直线与平面直线与平面思考？ 1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？ 2）如图，线段AB所在直线与长方体ABCD-ABCD的六个面所在平面有几种位置关系？CBCADBAD直线与平面直线与平面直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内 有无数个公共点a记为：a直线与平面直线与平面(2)直线与平面相交直线与平面相交有且只有一个公共点有且只有一个公共点a记为：a=AA直线与平面直线与平面（3）直线与平面平行没有公共点a记为：a/直线与平面直线与平面直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外记为：aaa a/ aa=AA或或

18、直线与平面直线与平面 例例1. 1. 下列命题中正确的个数是下列命题中正确的个数是 ( )( )1 1）若直线）若直线 l 上有无数个点不在平面上有无数个点不在平面 内，则内，则 l/ 2) 2) 若直线若直线 l 与平面与平面 平行，则平行，则 l 与平面与平面 内的任意内的任意一条直线都平行一条直线都平行3 3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行么另一条也与这个平面平行4 4）若直线）若直线 l与平面与平面 平行，则平行，则 l与平面与平面 内的任意一内的任意一条直线都没有公共点条直线都没有公共点. .(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3B2.1.4平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系思考思考 （1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？ （2）如图，围成长方体ABCD-ABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？CBCADBAD两个平面的位置关系两个平面的位置关系两个平面的位置关系两个平面的位置关系有且只有有且只有两种两种 两个平面平行两个平面平行没有公共点没有公共点 两个平面相交两个平面相交有一条公共直线有一条公共直线分类的依据是什么？分类的依据是什么？ 公理公理3 3 如果两