信号与系统教案第6章

1、第第第6-6-6-1 1 1页页页第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析 6.1 6.1 z z变换变换 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 6.4 6.4 z z域分析域分析第第第6-6-6-2 2 2页页页6.1 6.1 z z变换变换一、从拉氏变换到一、从拉氏变换到z z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到: ( )( )( )() ()STkftf ttf kTtkT 取样信号取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 ( )()ekTsSbkFsf kT 令令 ，上

2、式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用 表表示；示； ，得得sTze ()( )f kTf k( )F z第第第6-6-6-3 3 3页页页( )( )kkF zf k z 序列序列f(k)f(k)的双的双边边z z变换变换0( )( )kkF zf k z 序列序列f(k)f(k)的单的单边边z z变换变换若若f(k)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换变换。 F(z) = Zf(k) f(k)= Z-1F(z) f(k)F(z)6.1 6.1 z

3、 z变换变换第第第6-6-6-4 4 4页页页二、收敛域二、收敛域 z变换定义为一变换定义为一无穷幂级数之和无穷幂级数之和，显然只有当该幂级，显然只有当该幂级数收敛，即数收敛，即( )kkf k z 时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分必要条件充分必要条件。 收敛域的定义收敛域的定义： 对于序列对于序列f(k)，满足，满足 ( )kkf k z 的所有的所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换F(z)的收敛域的收敛域。 6.1 6.1 z z变换变换第第第6-6-6-5 5 5页页页例例

4、1： 有限长序列的有限长序列的z变换变换(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解：解：(1) 10( )( )( )1kkkkF zk zk z 可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变换相等。与变换相等。与z 无关，无关， 所以其收敛域为所以其收敛域为整个整个z 平面平面。 (2)收敛域为收敛域为 0 z 06.1 6.1 z z变换变换2( )fk由于序列是有限长的，则由于序列是有限长的，则F(z)是有限项级数和，所以是有限项级数和，所以F(z)除了在除了在 0和和处外都收敛，有时在处外都收敛，有时在0和和处也收敛。处也收敛。结论一：有限

5、长序列的收敛域是结论一：有限长序列的收敛域是 ，要讨论，要讨论 0和和两点。两点。0z 第第第6-6-6-7 7 7页页页例例2： 因果序列因果序列 解：解：0( )( )kkkkkkF zak za z z a 时，其时，其z变换存在。变换存在。 ( )( )kzakF zza RezjImz|a|o6.1 6.1 z z变换变换0,0( )( ),0kkkf kakak 111101()lim()lim1NNkNNkazazaz 结论二：因果序列的收敛域是某个圆的圆外。结论二：因果序列的收敛域是某个圆的圆外。第第第6-6-6-8 8 8页页页例例3： 反因果序列反因果序列 解：解： ,0(

6、 )(1)0,0kkbkf kbkk 11111111()( )()()lim1NkmNkmb zb zF zbzb zb z b-1z 1，即，即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在， (1)kzbkzb 收敛域为收敛域为|z|z| |b|b|RezjImzo6.1 6.1 z z变换变换结论三：反因果序列的收敛域是某个圆的圆内。结论三：反因果序列的收敛域是某个圆的圆内。第第第6-6-6-9 9 9页页页例例4： 双边序列双边序列解：解： ,0( )( )(1),0kkkkbkf kakbkak ( )zzF zzbza 收敛域为收敛域为 a z b （显然要（显然要求求 a 0 (k

7、)1zz， z 1， z 11111( )( )f kF zz2222( )( )fkF zz1212( )( )( )( )af kbfkaF zbF z2 +第第第6-6-6-121212页页页6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！单边、双边差别大！ 对于双边对于双边Z Z变换，移位后的序列没有丢失原序列的变换，移位后的序列没有丢失原序列的信息；而对于单边信息；而对于单边Z Z变换，移位后的序列较原序列长度变换，移位后的序列较原序列长度有所增减。有所增减。双边双边z变换的移位：变换的移位： 且对整数且对整数m0，则，则 ( )

8、( )f kF zz()( )mf kmzF zz 第第第6-6-6-131313页页页单边单边z变换的移位：变换的移位： 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质( )( )f kF zz 且对整数且对整数m0，则，则 1(1)( )( 1)f kz F zf 21(2)( )( 2)( 1)f kz F zffz10()( )()mmkkf kmzF zf km z 第第第6-6-6-141414页页页特例：特例：若若 为因果序列，则为因果序列，则10()( )( )mmm kkf kmz F zf k z (1)( )(0)f kzF zfz22(2)( )(0)(1)f kz F z

9、fzfz6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质( )f k()( )mf kmzF z 第第第6-6-6-151515页页页例例1：求周期为求周期为N的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列 0()mkmN 的的z变换。变换。 0()mkmN 解：解：， z 1例例2： 求求 的单边的单边z变换变换F(z)。 解：解：( )( )f kkk (1)(1) (1)(1) ( )( )( )f kkkkkf kk( )(0)( )1zzF zzfF zz 2( )(1)zF zz 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质0mNmz 111NNNzzz 第第第6-6-6-161616页页页三、

10、序列乘三、序列乘a ak k(z(z域尺度变换域尺度变换) ) 例例1：例例2：jj0.50.5eezzzz 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质( )( ),f kF zz若若：且有常数且有常数a0 a0 ，则：，则：( )( ),kza f kFazaa若若a a换为换为a a1 1, ,则：则：( )(),kaf kF azzaa cos() ( )kk( )kzakza 第第第6-6-6-171717页页页四、卷积定理四、卷积定理 对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。 例：例：

11、 求求 的的z变换。变换。 解：解：1211(1)zz zzzzz 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质1111( )( ),f kF zz2222( )( ),fkF zz1212( )*( )( )( )f kfkF zF z( )( )f kkk ( )( )( )* (1)f kkkkk第第第6-6-6-181818页页页五、序列乘五、序列乘k k（z z域微分）域微分） 若若 则则 , z 0， 则则1( )( )mmzf kFzdkm , z 0，则，则 ( )( )zf kFdk 例例：求序列求序列 的的z变换。变换。 1( )1kk 解：解：6.2 6.2 z z变换的性

12、质变换的性质( )( ),f kF zz( )1zkz 2111( )()1(1)1zzkzdzdk 1ln()ln()1zzzzz 第第第6-6-6-202020页页页七、七、k k域反转域反转( (仅适用双边仅适用双边z z变换变换） 例：例： 求求a k ( k 1)的的z变换变换。 解：解：111(1)kz zakzaza 111(1)kakza ，|z| |a| ，|z| 1/ |a| 乘乘a得得 1(1)kaakza ，|z| 1/ |a| 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质( )( ),f kF zz111()(),fkF zz 第第第6-6-6-212121页页页八、部

13、分和八、部分和 ( )( )1kizf iF zz , max( ,1) z max(|a|,1)6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质( )( ),f kF zz0kiia 0( )kkiiiiaai 1zzzza第第第6-6-6-222222页页页九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理初值定理： 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 则序列的初值则序列的初值()lim( )Mzf Mz F z 对因果序列对因果序列f(k)(0)lim( )zfF z 6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质( )( ),f kF zz

14、第第第6-6-6-232323页页页终值定理终值定理： 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k) F(z) ， z 且且01 则序列的终值则序列的终值 111()lim( )lim( )lim(1)( )kzzzff kF zzF zz 含单位圆含单位圆6.2 6.2 z z变换的性质变换的性质例：例：已知因果序列的象函数已知因果序列的象函数 ，求序列，求序列的初值和终值。的初值和终值。 22( )0.25zF zz 第第第6-6-6-242424页页页6.3 6.3 逆逆z z变换变换求逆求逆z变换的方法有：变换的方法有：幂级数展开法幂级

15、数展开法; 部分分式展开法部分分式展开法; 反演积分（留数法）。反演积分（留数法）。 一般而言，双边序列一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和反和反因果序列因果序列f2(k)两部分，即两部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k) (k 1) + f(k) (k)相应地，其相应地，其z变换也分为两部分变换也分为两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 ，f(k)为为因果序列因果序列。用长除法将。用长除法将F(z)展展 开为开为z-1的幂级数的幂级数： z2/ /(z2-z-2)=1

16、+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=0 （2） z 1，f(k)为为反因果序列反因果序列。用长除法将。用长除法将F(z) （按升幂排列）展开为（按升幂排列）展开为z的幂级数的幂级数: 6.3 6.3 逆逆z z变换变换2223451135/224816zzzzzzz L L53 11( ),0168 42f kL Lk=2 第第第6-6-6-272727页页页（3） 1 z 2，f(k)为为双边序列双边序列。将。将F(z)展开为部分分展开为部分分式，有式，有 即将它们分别展开为即将它们分别展开为z-1及及z的幂级数，有的幂级数，有难以写成闭合形式。难以写

17、成闭合形式。 6.3 6.3 逆逆z z变换变换121233( )( )( )12zzF zF zF zzz12311111( )3333F zzzzL L322111( )1263F zzzzL L111 11 11( ),1263 33 33f kLLLLk=0 第第第6-6-6-282828页页页二、部分分式展开法二、部分分式展开法 11101110.( )( )( ).mmmmnnnb zbzb zbB zF zA zzaza za 6.3 6.3 逆逆z z变换变换mn时先从时先从F(z)中分出常数项，再将余下的真分式中分出常数项，再将余下的真分式展开为展开为 部分分式。其方法与第五

18、章中部分分式。其方法与第五章中F(s)展开方法相同。展开方法相同。( )F zz根据极点的类型，根据极点的类型， 的展开有几种情况：的展开有几种情况：( )F zz1）单极点；）单极点；2）共轭单极点；）共轭单极点；3）重极点）重极点第第第6-6-6-292929页页页（1 1）F(z)F(z)均为单极点，且不为均为单极点，且不为0 0011( ).nnKKKF zzzzzzz 01( )niiiK zF zKzz 根据给定的收敛域，将上式划分为根据给定的收敛域，将上式划分为F F1 1(z)(z)( z z ) )和和F F2 2(z)(z)( z z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2

19、，因果序列因果序列 12( ) ( 1)(2) ( )33kkf kk (2) z 1，反因果序列反因果序列 12( )( 1)(2) (1)33kkf kk (3)1 z 2，双边序列双边序列 12( )( 1)( )(2)(1)33kkf kkk 6.3 6.3 逆逆z z变换变换第第第6-6-6-313131页页页例例2：已知象函数已知象函数 3291(4)22( )1()(1)(2)(3)2z zzzF zzzzz ,1 z 1，后两，后两项满足项满足 z , f(k)=2 K1kcos( k+ ) (k)若若 z 1)，()rzza 若若 z ,对应原序列为对应原序列为 1(1).(

20、2)( )(1)!k rk kkrakr 6.3 6.3 逆逆z z变换变换 1111( )1 !iriz aidF zKzaidzz 第第第6-6-6-343434页页页 当当r=3时，为时，为 可这样推导记忆：可这样推导记忆： Zak (k)=zza 两边对两边对a求导得求导得 Zkak-1 (k)= 2()zza 再对再对a求导得求导得 Zk(k-1)ak-2 (k)=32()zza 故故 Z0.5k(k-1)ak-2 (k)=3()zza 6.3 6.3 逆逆z z变换变换21(1)( )2kk kak 当当r=2时，为时，为 kak-1 (k)第第第6-6-6-353535页页页例例

21、3：已知象函数已知象函数323( )(1)zzF zz ， z 1, 求其原函数。求其原函数。解：解：2131112332( )(1)(1)(1)1KKKF zzzzzzzz 3111( )(1)2zF zKzz 3121d( )(1)3dzF zKzzz 2313121 d( )(1)12 dzF zKzzz 3223( )(1)(1)1zzzF zzzz f(k)=k(k-1)+3k+1 (k)6.3 6.3 逆逆z z变换变换第第第6-6-6-363636页页页6.4 6.4 z z域分析域分析 l 差分方程的变换解差分方程的变换解l 系统的系统的z域框图域框图l 利用利用z变换求卷积和

22、变换求卷积和l s域与域与z域的关系域的关系l 离散系统的频率响应离散系统的频率响应第第第6-6-6-373737页页页6.4 6.4 z z域分析域分析 一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解 00()()nmn imjijay kibf kj 设设f(k)在在k=0时接入，系统初始状态为时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。 取单边取单边z变换得变换得 1000( )()( )nimikjn imjikjaz Y zy ki zbz F z 10000 ( )()() ( )nnimikjn in imjiikjazY zay ki zbzF z 10000 ( )(

23、)() ( )nnimikjn in imjiikjazY zay ki zbzF z 第第第6-6-6-383838页页页( )( )( )( )( )( )( )( )zizsM zB zY zF zYzYzA zA z( )( )( )( )( )zsYzB zH zF zA z 系统函数系统函数h(k)H(z) 例例1：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。 解解: 方程取单边方程取单边z变换变换

24、 6.4 6.4 z z域分析域分析 第第第6-6-6-393939页页页Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 1222121222( )(12) ( 1)2 ( 2)1242( )1212221Y zzyyzzzzzF zzzzzzzzzz ( )2(2)( 1) ( )kkziykk 113( )2( 1) ( )22kkzsykk 6.4 6.4 z z域分析域分析 242( )(2)(1)21zizzzzYzzzzz213( )22121zszzzYzzzz第第第6-6-6-404040页页页例例2： 某系统，

25、已知当输入某系统，已知当输入f(k)=( 1/2)k (k)时，其零时，其零状态响应状态响应 3 1191( ) ( )4()() ( )2 2322kkkzsykk 求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。和描述系统的差分方程。 解解:22( )232( )1111( )6623zsYzzzzzH zF zzzzz h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k (k) 11( )(1)(2)( )2 (1)66y ky ky kf kf k 6.4 6.4 z z域分析域分析 再求再求g(k)?第第第6-6-6-414141页页页二、系统的二、系统的z z域框图域

26、框图 f (k)Df (k -1)F(z)z1)(1zFz另外两个基本单元：数乘器和加法器，另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和域和z域框图域框图相同。相同。6.4 6.4 z z域分析域分析 第第第6-6-6-424242页页页例例3： 某系统的某系统的k域框图如图，已知输入域框图如图，已知输入f(k)= (k)。(1) 求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应和零状态响应yzs(k)。(2) 若若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应，求零输入响应yzi(k)。DDf (k)y(k)1332解解:(1)画画z域框图域框图z-1z-1F(z)Yzs(z)设

27、中间变量设中间变量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)121( )( )132X zF zzz Yzs(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z)6.4 6.4 z z域分析域分析 第第第6-6-6-434343页页页11213( )( )132zszYzF zzz 121221332( )1323212zzzzzH zzzzzzz h(k) = 2 (2)k (k)当当f(k)= (k)时，时，F(z)= z/(z-1)222223(3)232( )321(1) (2)(1)12zszzzzzzzzYzzzz

28、zzzzzyzs(k) = 2k + 32 (2)k (k)(2)由由H(z)可知，差分方程的特征根为可知，差分方程的特征根为 1=1， 2=26.4 6.4 z z域分析域分析 第第第6-6-6-444444页页页yzi(k) = Cx1 + Cx2 (2)k由由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有，有Cx1 + Cx2 (2)-1= 0Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5Cx1 =1, Cx2 = - 2yzi(k) = 1 2 (2)k三、利用三、利用z z变换求卷积和变换求卷积和 例：例：求求2k (k)*2-k (k)解：解：2( ),| 0.50.5kzkzz 1122(),

29、| 20.52kzkzzz 原式象函数为原式象函数为44233(0.5)(2)0.52zzzzzzz 44(0.5)( )(2)(1)33kkkk (k-2)* ak (k)6.4 6.4 z z域分析域分析 第第第6-6-6-454545页页页四、四、s s域与域与z z域的关系域的关系 1lnszT 式中式中T为取样周期为取样周期6.4 6.4 z z域分析域分析 从从S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射: :sTze sj()jTTj Tjzeeee ,TeT 第第第6-6-6-464646页页页 s平面的左半平面（平面的左半平面（ z平面的单位圆（平面的单位圆（ z = 0)-

30、z平面的单位圆（平面的单位圆（ z = 1) s平面的平面的j 轴（轴（ =0)-z平面中的单位圆上（平面中的单位圆上（ z = =1) s平面上实轴（平面上实轴（ =0)-z平面的正实轴（平面的正实轴（ =0)s平面上的原点（平面上的原点（ =0， =0）-z平面上平面上z=1的点的点（ =1， =0） 6.4 6.4 z z域分析域分析 由上式可看出：由上式可看出：第第第6-6-6-474747页页页10) 1 ( jezjs10)2( zjs 10)3( z 10)4( Rz常常数数 10)5( rz常常数数 10, 0)6( z 1RrRezImzj10, 0)7( 6.4 6.4 z

31、 z域分析域分析 第第第6-6-6-484848页页页五、离散系统的频率响应五、离散系统的频率响应 由于由于z = esT ， s= +j ，若离散系统，若离散系统H(z)收敛域含收敛域含单单位园位园，则，则若连续系统的若连续系统的H(s)收敛域收敛域含虚轴含虚轴，则连续系统频率响应，则连续系统频率响应j(j)( )sHH s je( )TzH z 离散系统频率响应定义为离散系统频率响应定义为存在。存在。令令 T = ，称为数字角频率。，称为数字角频率。jej)()(ezzHHjjj ( )(e )(e ) eHH 幅频响应幅频响应,偶函数；偶函数；只有只有H(z)收敛域收敛域含单位园才存在含

32、单位园才存在频率响应频率响应6.4 6.4 z z域分析域分析 相频响应相频响应,奇函数奇函数第第第6-6-6-494949页页页设设LTI离散系统的单位序列响应为离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为系统函数为H(z)，其收敛域含单位园，则系统的，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应零状态响应 当当 时时6.4 6.4 z z域分析域分析 ( )( )* ( )( ) ()zsiykf kh kh i f ki ( )j kf ke jje( )(e )kiih i j ()( )( )ek izsiykh i jje(e )kH 第第第6-6-6-505050页页页6.4 6.4 z z域分析域分析 jj( )e(e )kzsykH u 在正弦指数序列的激励下，系统的稳态响应仍然在正弦指数序列的激励下，系统的稳态响应仍然是一个正弦指数序列；是一个正弦指数序列；u 稳态响应的频率与输入信号的频率相同，但幅度稳态响应的频率与输入信号的频率相同，但幅度和相位由不同频率点上的确定。和相位由不同频率点上的确定。j( )j(e ) ekH 例：例：