高等数学D111对弧长和曲线积分课件

1、2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一型曲线积分 第十一章 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分AB一、对弧长

2、的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 (其中 为 n 个小弧段的最大长度)2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定

3、义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲

4、线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积

5、分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分, ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkk

6、kt)()(22 )(, )(kkf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rr

7、f推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分例例1. 计算,dLsx其中L是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动 目录 上页 下页 返回 结束 202

8、1-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分例例2. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,RxyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL机动 目录 上页 下页 返回 结束 sd2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd4140

9、22d)()(cos)(4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox机动 目录 上页 下页 返回 结束 sd2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分例例4. 有一半圆弧cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4机动 目录 上页 下页 返回 结束 sd2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分课堂练习课

10、堂练习. 计算,dsxyIL其中L为. 1 yx提示提示: L 分为四段进行计算：化为定积分 , 得1:1 yxL机动 目录 上页 下页 返回 结束 1:2 xyL1:3 yxL1:4 xyLsxyILd4321LLLL10d2)1 (xxx01d2)1 (xxx01d2)1(xxx10d2) 1(xxx. 0yox11112021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分例例5. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222k

11、akatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线机动 目录 上页 下页 返回 结束 BAzyx2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分ozyx例例6. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分思考思考: 例6中 改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222

12、ZYXaZYX, 则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆的形心在原点, 故0XaX22, 如何机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分d d s例例7. 计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozyx2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分课堂

13、练习课堂练习. L为球面2222Rzyx三个坐标面的交线 , 求其形心。在第一卦限与提示提示: 如图所示 , 交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性 , 形心坐标为321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),(

14、)2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-1

15、1高等数学D111对弧长和曲线积分思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021-10-11高等数学D111对弧长和曲线积分syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k第二节 目录 上页 下页 返回 结束 xyo3. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seICyxd222)2