第1章 逻辑代数基础

1、数字逻辑尚 俊湖北第二师范学院计算机学课堂纪律: 课程要求：重难点 作业 专业基础课 逻辑分析能力 预习 学习 自习 图书馆 考试：期末(60%)+课堂考勤(20%)+ 作业(20%)概述概述第第 1 章逻辑代数基础章逻辑代数基础 逻辑函数及其逻辑函数及其表示方法表示方法逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的逻辑函数的代数化简法代数化简法逻辑函数的逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简法本章小结本章小结思考计算机为什么采用二进制(123.456)(123.456)1010(1011)(1011)2 2(37.41)(37.41)8 8(2A.7F)(2A

2、.7F)1616(150)(150)1010(115)(115)1010= =(0.6875)(0.6875)1010= =(0.8125)(0.8125)1010= =(123.456)(123.456)8 8= =(123.456)(123.456)1616= =(10110101.1101101)(10110101.1101101)2 2= =7/11=0.63636363647/11=0.63636363642 2-4-4=0.0625 2=0.0625 2-5-5=0.03125 2=0.03125 2-6-6=0.015625 2=0.015625 2-7-7=0.0078125=

3、0.00781252 2-8-8=0.00390625 2=0.00390625 2-9-9=0.001953125 2=0.001953125 2-10-10=0.0009765625=0.00097656257/11=27/11=2-1-1+2+2-3-3+2+2-7-7+2+2-9-9+2+2-10-10 近似近似=(0.1010001011)=(0.1010001011)2 2主要要求：主要要求： 理解逻辑值理解逻辑值 1 和和 0 的含义的含义。1.1 概概 述述理解逻辑体制的含义理解逻辑体制的含义。 用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数用于描述客观事物逻辑关系的数学工具

4、，又称布尔代数 ( (Boole Algebra) )或开关代数。或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。逻辑指事物因果关系的规律。 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用通常用 1和和 0 表示。表示。 与普通代数比较与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处相似处 相异处相异处运算规律有很多不同。运算规律有很多不同。 一、一、逻辑代数逻辑代

5、数逻辑代数中的逻辑代数中的 1 和和 0 不表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。仅表示两种相反的状态。 注意注意例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 晶体管导通为晶体管导通为 1 电位高为电位高为 1 断开为断开为 0 截止为截止为 0 低为低为 0二、逻辑体制二、逻辑体制 正逻辑体制正逻辑体制 负逻辑体制负逻辑体制 规定高电平为逻辑规定高电平为逻辑 1、低电平为逻辑、低电平为逻辑 0 规定低电平为逻辑规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑、高电平为逻辑 0 通常未加说明，则为正逻辑体制通常未加说明，则为正逻辑体制主要要求：主要要求： 掌握掌握逻辑代数的常用运算逻辑代数的常用运算。

6、理解并初步掌握理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。逻辑函数的建立和表示的方法。 1.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相相互转换的方法互转换的方法。 一、基本逻辑函数及运算一、基本逻辑函数及运算 基本逻辑函数基本逻辑函数 与逻辑与逻辑 或逻辑或逻辑 非逻辑非逻辑与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非) ) 1. 与逻辑与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭灭断断断断亮亮合合合合灭

7、灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0 真值表真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或 Y = AB 与门与门 ( (AND gate) )若有若有 0 出出 0；若全；若全 1 出出 1 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，灯闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。才亮。2. 或逻辑或逻辑 决定某一事件的诸条件中，只要有一个决定某一事件的诸条件中，只要

8、有一个或一个以上具备时，该事件就发生。或一个以上具备时，该事件就发生。灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或门或门 ( (OR gate) ) 1 3. 非逻辑非逻辑决定某一事件的条件满足时，决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 AY0110Y = A 1 非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器”

9、 二、常用复合逻辑运算二、常用复合逻辑运算 由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成 与非与非逻辑逻辑( (NAND) )先与后非先与后非若有若有 0 出出 1若全若全 1 出出 010 001 1YA B10 111 001 1或非逻辑或非逻辑 ( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 出出 0若全若全 0 出出 110 0YA B00 101 0与或非逻辑与或非逻辑 ( (AND OR INVERT) )先与后或再非先与后或再非异或逻辑异或逻辑 ( (Exclusive OR) )若相异出若相异出 1若相同出若相同出 0同或逻辑同或逻辑 ( (Exclusive - NOR，即异或非

10、，即异或非) )若相同出若相同出 1若相异出若相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意注意：异或和同或互为反函数，即：异或和同或互为反函数，即 例例 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：解：Y1有有0出出0 全全1出出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出相同出 0 相异出相异出 1三、逻辑符号对照三、逻辑符号对照 国家标准国家标准曾用标准曾用标准美国标准美国标准四、逻辑函数及其表示方法四、逻辑函数及其表示方法 逻辑函数描述了某种逻辑

11、关系。逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。1. 真值表真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。应输出逻辑函数值的表格称真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二进制数递增的方式列位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。出输入变量的各种取值组合。( (2) ) 分别求出各种组合对应的输出分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格逻辑值填入表格。0000011101110111111101111011001111010

12、1011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输出变量 输输 入入 变变 量量 4 个输入个输入变量有变量有 24 = 16 种取种取值组合。值组合。的的真真值值表表。例例如如求求函函数数 CDABY 2. 逻辑函数式逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系的表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 ( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 的项。的项。( (2) )将这些项

13、中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，的用原变量代替， 取值为取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。的用反变量代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些与项相加即得逻辑式。将这些与项相加即得逻辑式。真值表真值表逻辑式逻辑式例如例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为逻辑式为 3. 逻辑图逻辑图 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 根据逻辑式画逻辑图的方法根据逻辑式画逻

14、辑图的方法: :将各级逻辑运算用将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。相应逻辑门去实现。 例如例如 画画 的逻辑图的逻辑图 反变量用非门实现反变量用非门实现 与项用与门实现与项用与门实现 相加项用或门实现相加项用或门实现 例例 图示为控制楼道照明的开关电路。图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关两个单刀双掷开关 A 和和 B 分别安装在楼上分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。辑电路。 (

15、(1) ) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表11YA B000 01 10 11 0( (2) ) 根据真值表写出逻辑式根据真值表写出逻辑式解：解：方法：方法：找出输入变量和输出函数，找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。然后根据逻辑关系列出真值表。 设开关设开关 A、B合向左侧时为合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为状态，合向右侧时为 1 状态；状态；Y 表表示灯，灯亮时为示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时状态，灯灭时为为 0 状态。则可列出真值表为状态。则可列出真值表为( (3) ) 画逻辑

16、图画逻辑图 与或表达式与或表达式( (可用可用 2 个非门、个非门、 2 个与门和个与门和 1 个或门实现个或门实现) )异或非表达式异或非表达式( (可用可用 1 个异个异或门和或门和 1 个非门实现个非门实现) ) BAABY BA = B设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。3.3逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则 主要要求：主要要求： 掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本公式和基本定律基本公式和基本定律。 了解逻辑代数的重要规则了解逻辑代数的重要规则。一、基本公式一、基本公式 逻辑常量运算公式逻辑常量运算公式 逻辑变量与常量的运算公式逻辑变量

17、与常量的运算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律律重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 二、基本定律二、基本定律 ( (一一) ) 与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC

18、 A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 利用真值表利用真值表 逻辑等式的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律111111111100 例例 证明等式证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开用分配律展开 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B C A + BC(A + B) (A + C

19、)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 ( (二二) ) 逻辑代数的特殊定理逻辑代数的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A 001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B ( (二二) ) 逻辑代数的特殊定理逻辑代数的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A 推广公式：推广公式： 思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，则，则 B = C 吗？吗？ ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，

20、则，则 B = C 吗？吗？ 推广公式：推广公式：摩根定律摩根定律 ( (又称反演律又称反演律) ) 三、重要规则三、重要规则 ( (一一) ) 代入规则代入规则 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替B均用均用C代替代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。利用代入规则能扩展基本定律的应用。 将逻辑等式两边的某一变量均用同将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。一个逻辑函数替代，等式仍然成立。变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。( (2) ) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非反变量换成原变量只对单个变

21、量有效，而长非 号保持不变。号保持不变。 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。利用反演规则或摩根定律。 原运算次序为原运算次序为 ( (二二) ) 反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。Y ( (三三) ) 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”+”，“

22、+”+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 变量不改变变量不改变 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序A + AB = A A (A + B) = A 主要要求：主要要求： 了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。 了解逻辑函数的了解逻辑函数

23、的代数化简法代数化简法。1.4 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 理解理解最简与最简与 - - 或式和最简与非式或式和最简与非式的标准。的标准。 逻辑式有多种形式，采用何种形式视逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。需要而定。各种形式间可以相互变换。 一、一、逻辑函数式的几种常见形式和变换逻辑函数式的几种常见形式和变换 例如例如 CBBAY )(CBBA CBBA CBBA BCBA 与或表达式与或表达式 或与表达式或与表达式 与非与非 - - 与非表达式与非表达式 或非或非 - - 或非表达式或非表达式 与或非表达式与或非表达式 转换方法举例转换方法举例

24、与或式与或式 与非式与非式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 CBBAY CBBA CBBA 或与式或与式 或非式或非式 与或非式与或非式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 )(CBBAY )(CBBA CBBA BCBA 二、逻辑函数式化简的意义与标准二、逻辑函数式化简的意义与标准 化化简简意意义义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取不同形式逻辑式有不同的最简式，

25、一般先求取最简与最简与 - - 或式，然后通过变换得到所需最简式。或式，然后通过变换得到所需最简式。 最简与最简与 - - 或式标准或式标准 ( (1) )乘积项乘积项( (即与项即与项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 用与门个数最少用与门个数最少与门的输入端数最少与门的输入端数最少 最简与非式标准最简与非式标准( (1) )非号个数最少非号个数最少( (2) )每个非号中的变量数最少每个非号中的变量数最少 用与非门个数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少与非门的输入端数最少 三、代数化简法三、代数化简法 运用逻辑代数的基本定律和运用

26、逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。公式对逻辑式进行化简。 并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 ABAAB CBACBAY BA )()(CBCBACBBCAY )(CBACBA A )(FEABABY AB 吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和和 ，消去多余的与项。消去多余的与项。 CAABBCCAAB BDDCDAABCY BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC 消去法消去法 运用吸收律运用吸收律 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB

27、 CDBAABCDBABAY )(BAABCDBABA BACDBA CDBA CDBABA 配项法配项法 通过乘通过乘 或加入零项或加入零项 进行配项，然后再化简。进行配项，然后再化简。1 AA0 AADCBADCABCBAB CBAB ABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 例例 化简逻辑式化简逻辑式EFBADCCAABDAADY 解：解： EFBADCCAABAY DCCAA 应用应用BABAA DCCA DCA 例例 化简逻辑式化简逻辑式CBDBDAACY 解：解： 应用应用BABAA DABCBAC D

28、CBAC 应用应用 AB CBACCBAC 例例 化简逻辑式化简逻辑式CAABCBAY 解：解： YCAABCBA CABA 应用应用BABAA CBA CBAY CBA 用摩根定律用摩根定律主要要求：主要要求： 掌握掌握最小项的概念与编号最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。方法，了解其主要性质。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。 理解理解卡诺图的意义和卡诺图的意义和构成原则。构成原则。 掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。的应用。 1.5逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法代数代数化简法化简法

29、优点：对变量个数没有限制。优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。 卡诺图卡诺图化简法化简法 优点：简单、直观，有一定的步骤和方法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法 易判断结果是否最简。易判断结果是否最简。 缺点：适合变量个数较少的情况。缺点：适合变量个数较少的情况。 一般用于四变量以下函数的化简。一般用于四变量以下函数的化简。 一、代数化简法与卡诺图化简法的特点一、代数化简法与卡诺图化简法的特点卡诺图是最小项按一定卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图规则排列成的方格图。 n 个变量有个变量有 2n 种组合，可对应写出种组合，可对应写出

30、 2n 个乘积个乘积项，这些乘积项均具有下列项，这些乘积项均具有下列特点：特点：包含全部变量，包含全部变量，且每个变量在该乘积项中且每个变量在该乘积项中 ( (以原变量或反变量以原变量或反变量) )只只出现一次。出现一次。这样的乘积项称为这这样的乘积项称为这 n 个变量的最小个变量的最小项，也称为项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。变量逻辑函数的最小项。1. 最小项的定义和编号最小项的定义和编号 ( (一一) )最小项的概念与性质最小项的概念与性质二、最小项与卡诺图二、最小项与卡诺图如何编号？如何编号？如何根据输入变量如何根据输入变量组组合写出相应最小项？合写出相应最小项？例如例如 3 变量

31、逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。 简记符号简记符号例如例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数765432102. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对任意一最小项，只有一组变量取值

32、使它的值为对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。( (3

33、) ) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。( (4) ) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 例如例如ABC+ABC=AB3. 相邻最小项相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化

34、简为相同变量相与。消去互反变量，化简为相同变量相与。 ( (二二) ) 最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图表示 将将 n 变量的变量的 2n 个最小项用个最小项用 2n 个小方格表示，个小方格表示，并且并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。简称为变量卡诺图。变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量AB二二变变量量卡卡诺诺图图010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0

35、1 2 3ABAAB BABABABAB四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三变变量量卡卡诺诺图图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 11 10 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCDCDDCD

36、CDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？ 例如例如 原变量取原变量取 1，反变量取，反变量取 0。DCBA1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 ABCD DC

37、BA 为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与先求得真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或或表达式。因此，下面先介绍标准与表达式。因此，下面先介绍标准与 - - 或式。或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准任何形式的逻辑式都可以转化为标准与与- -或式，而且逻辑函数的标准与或式，而且逻辑函数的标准与 - - 或式或式是唯一的。是唯一的。 ( (一一) ) 逻辑函数的标准与逻辑函数的标准与 - - 或式或式 三、用卡诺图表示逻辑函数三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的与每一个与项都是最小项的与 - - 或逻辑式或逻辑

38、式称为标准与称为标准与 - - 或式，又称最小项表达式。或式，又称最小项表达式。 如何将如何将逻辑逻辑式转化式转化为为 标准与标准与- -或式呢或式呢 ？ 例例 将逻辑式将逻辑式 化为标准与或式。化为标准与或式。DCABCBAY ( (3) ) 利用利用A+A=A，合并掉相同的最小项。，合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)ABCDDCABDCABDCBADCBAY 解：解：( (1) ) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。利用摩根定律和分配律把逻

39、辑函数式展开为与或式。ABCBAY DC )(DCABCBA ABDCABCBA ( (2) ) 利用配项法化为标准与或式。利用配项法化为标准与或式。DCABABCDDCABDCABDCBADCBA ( (二二) ) 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准与求逻辑函数真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或式。或式。 ( (2) ) 画出变量卡诺图。画出变量卡诺图。 ( (3) ) 根据真值表或标准与根据真值表或标准与 - - 或式或与或式或与 - - 或式填图。或式填图。 基基本本步步骤骤用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函

40、数举例 已知已知标准标准与或与或式画式画函数函数卡诺卡诺图图 例例 试画出函数试画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图的卡诺图解：解： ( (1) ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填图填图 逻辑式中的最逻辑式中的最小项小项 m0、m1、m12、m13、m15对对应的方格填应的方格填 1，其，其余不填。余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 已已知知真真值值表表画画函函数数卡卡诺诺图图 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y 的的 真值表如下，试画

41、真值表如下，试画 出出 Y 的卡诺图。的卡诺图。解：解：( (1) ) 画画 3 变量卡诺图。变量卡诺图。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，在对应的最小项，在 卡诺图相应方格中卡诺图相应方格中 填填 1，其余不填。，其余不填。已已知知一一般般表表达达式式画画函函数数卡卡诺诺图图解：解：( (1) ) 将逻辑式转化为与或式将逻辑式转化为与或式( (2) ) 作变量卡

42、诺图作变量卡诺图找出各与项所对应的最小找出各与项所对应的最小项方格填项方格填 1，其余不填。，其余不填。 例例 已知已知 ，试画出，试画出 Y 的卡诺图。的卡诺图。)(BDCABDAY ABDAY )(BDC CBDABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根据与或式填图根据与或式填图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A = 1， B = 1 的方格。的方格。 ABDABCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 A =

43、0，D = 1的方格。的方格。四、用卡诺图化简逻辑函数四、用卡诺图化简逻辑函数 化简规律化简规律2 个相邻个相邻最小项有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；8 个相邻最小项有个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；个变量，化简结果为相同变量的与；2n 个相邻个相邻最小项

44、有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的与。，化简结果为相同变量的与。消消异异存存同同 ABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如例

45、如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 2 个变量，个变量，化简结果为相同变量相与。化简结果为相同变量相与。8 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 3 个变量个变量A 1 1 1 1 1 1 1 1画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 方格，且必须成方形。方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但方格可重复圈，但须每圈有新须每圈有新 1；每个；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最

46、下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈。方格也循环相邻，可画圈。 注意注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑

47、函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )画包围圈画包围圈abcd( (4) )将各图分别化简将各图分别化简圈圈 2 个可消去个可消去 1 个变量，化个变量，化简为简为 3 个相同变量相与。个相同变量相与。Yb = BCD圈圈 4 个可消去个可消去 2 个变量，化个变量，化简为简为 2 个相同变量相与。个相同变量相与。孤立项孤立项 Ya=ABCDYc = AB循环相邻循环相邻 Yd = AD( (5) )将各图化简结果逻辑加，得最简与或式将各图

48、化简结果逻辑加，得最简与或式DABABCDDCBAY 解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最简与或式求最简与或式 Y= 1BDA消消 1 个剩个剩 3 个个( (3) )画圈画圈BCD 消消 2 个剩个剩 2 个个DA 4 个角上的最小个角上的最小项循环相邻项循环相邻DB 找找 AB =11, C = 1 的公共区域的公共区域找找 A = 1

49、, CD = 01 的公共区域的公共区域找找 B = 1, D = 1 的公共区域的公共区域解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图 1 1( (4) )化简化简( (3) )画圈画圈 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数BDABCDCADCBACDBAY 0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要画吗？要画吗？CBADCA ABC CDA Y = 例例 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最 简与或式。简与或式。ABCD0001111000 01

50、11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解：解： 0 方格很少且为相方格很少且为相邻项，故用圈邻项，故用圈 0 法先求法先求 Y 的最简与或式。的最简与或式。ABCY ABCYY CBA 1111111111 例例 已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：该卡诺该卡诺图还有图还有其他画其他画圈法圈法可见，最简可见，最简结果未必唯一。结果未必唯一。解：解：( (1) )画函数卡诺图画函数卡

51、诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化简化简( (2) )画圈画圈Y =CBCA AB BCCABAY 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为应函数值视为 1 或或 0 都可以，故称无关项。都可以，故称无关项。 不允许出现的不允许出现的无关项无关项又称约束项；客观上不会又称约束项；客观上不会出现的出现的无关项无关项又称随意项。又称随意项。 五、具有无关项的逻辑函数的化简五、具有无关项的逻辑函数的化简 合理利用无关项可使逻辑式更简单合理利用无关项可使

52、逻辑式更简单 1. 无关项的概念与表示无关项的概念与表示 无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变变量取值组合或者量取值组合或者不允许出现不允许出现或者根本或者根本不会出现不会出现。 无关项在卡诺图和真值表中用无关项在卡诺图和真值表中用“ ”“”“ ”来标记，来标记，在逻辑式中则用字母在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。和相应的编号表示。 例如例如 8421 码中，码中，1010 1111这这 6 种代码是不允许出现的。种代码是不允许出现的。 例如例如 A、B 为连动互锁开关，为连动互锁开关，设开为设开为 1 , 关为关为 0 , 则则 AB 只

53、能取只能取值值 01 或或 10 , 不会出现不会出现 00 或或 11。 2. 利用无关项化简逻辑函数利用无关项化简逻辑函数 无关项的无关项的取值对逻辑函数值没有影响。取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作化简时应视需要将无关项方格看作 1 或或 0 ，使包围圈使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。最少而且最大，从而使结果最简。将将 d10 看成看成 0,其余其余看成看成 1 将将看成看成 0 ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 显然左图化简结果最简显然左图化简结果最简 解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简用

54、卡诺图化简函数函数 Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图 1 1 1 1 1( (4) )写出最简与写出最简与 - - 或式或式最小项最小项( (3) )画包围圈画包围圈无关项无关项 1 AY D 0 例例 已知函数已知函数 Y 的的真值真值 表如下，求其最简表如下，求其最简 与与 - - 或式。或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图ABC0100 0111 10

55、1 1 1( (4) )写出写出最简与最简与 - - 或式或式( (2) )填图填图( (3) )画包围圈画包围圈 BAY CB 要画圈吗？要画圈吗？解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图( (4) )求最简与求最简与 - - 或式或式( (3) )画包围圈画包围圈 1 1 1 1 求最简与非式基本方法是：求最简与非式基本方法是：先求最简与或式，再利用还原律先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。和摩根定律变换为最简与非式。 例例 求求函数函数 的最简与非式的最简与非式BDADBACBAY 0 ACAB

56、 1 1 BDY DB A ( (5) )求最简与非式求最简与非式BDDBAY ADB BD 分析题意分析题意称约束条件，表明与项称约束条件，表明与项 AB 和和 AC 对应的最小项不允许出现，因此对应的最小项不允许出现，因此 AB 和和 AC 对应的方格为无关项。对应的方格为无关项。本章小结本章小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的定律有的和普通代数类似，如交换律、结合定律有的和普通代数类似，如交换律、结合律和第一种形式的分配律；但很多与普通代律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同，如吸收律和摩根定律。须注意：逻数不同，如吸收律和摩根定律。须注

57、意：逻辑代数中无减法和除法。辑代数中无减法和除法。 逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个，逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个，即即 0 或或 1。须注意：。须注意：逻辑代数中的逻辑代数中的 0 和和 1 并并不表示数量大小，仅用来表示两种截然不不表示数量大小，仅用来表示两种截然不同的状态。同的状态。 正逻辑体制规定高电平为逻辑正逻辑体制规定高电平为逻辑 1、低电平为、低电平为逻辑逻辑 0；负逻辑体制则规定低电平为逻辑负逻辑体制则规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑高电平为逻辑 0。未加说明则默认为正逻辑。未加说明则默认为正逻辑体制。体制。 基本逻辑运算有与运算基本逻辑运算有与运算( (逻辑乘逻辑乘

58、) )、或运算、或运算( (逻逻辑加辑加) ) 和非运算和非运算( (逻辑非逻辑非) )3 种。常用复合逻辑种。常用复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异或运算和同或运算。或运算和同或运算。 与运算与运算或或运算运算非运算非运算 Y=AB 或或 Y=AB若有若有 0 出出 0若全若全 1 出出 1 Y=AB 若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 与非运算与非运算或非或非运算运算与或非运算与或非运算有有 0 出出 1;全全 1 出出 0有有 1 出出 0;全全 0 出出 1相异出相异出 1相同出相同出 0相同出相同出 1相异出相异出 0异或运算异或运算同或同或运算运算逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图。函数式、卡诺图和逻辑图。 不同表示方法各有特点，适宜不同的应用。不同表示方法各有特点，适宜不同的应用。卡诺图卡诺图主要用于化简逻辑式。主要用于化简逻辑式。真值表真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。逻辑式逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首