南师附中物理竞赛讲义106光学例题t

1、10.6费马原理 光学例题费马原理：光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为极小值。 可得:我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用表示,于是,费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径. NNCldBA例1、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d，湖岸边的一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l，一人自A点出发,要到达B点。已知他在水中游泳的速度为v1，在岸上走的速度为v2，且v1v2，要求他由A至B所用的时间最短，此人当如何先择其运动的路线? 【解析】根据费马原理,若要人由A到B的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径.这时

2、的水和岸相当于介质,折射率分别为n1、n2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式:这时的C实际上为光线发生全反射的临界角.所以,我们不难得到:当时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C的角度游向岸边再在岸上走至B点.当时,人由A直接游到B点.【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦.例1. 一曲率半径R=60cm的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水，水的折射率为，假如装满水后水的的深度比半径R小得多，试问平行光束成像于何处?【解析】法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反射后通过焦点F,它离开镜面顶点的距离为

3、30cm,若装有水,当、为小角度,由图可知:FFa图16- 1,由折射定律:法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像:再经球面反射成像:由于是水很浅,所以:令可得:再经平面折射:d26如图所示，在焦距f=0.15m的凸透镜L主轴上有一小光源S，凸透镜L另一侧有两个反射面相向放置的平面镜OM1和OM2平面镜OM1和OM2彼此垂直，且与透镜L主轴成450，两平面镜的交线与透镜主轴垂直已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m，透镜到两平面镜的交线距离O1O=O.3m，试求： (1)小光源S在透镜主轴上共成多少个像? (2)小光源S在透镜主轴外共成多少个像? 分别指出像的虚实、位置及放大率由

4、折射率为n=1.5的玻璃制成的对称的双凸透镜，在空气中焦距为30cm（1）把它放在平面镜上形成一个折、反射系统，该系统的焦距为多少？（2）在透镜和平面镜之间注满水，水的折射率为4/3，这个系统的折射率为多少？(b)(a)A【解析】(1)由于平面镜成像的对称性,从S发出的光线经透镜折射,再经平面镜反射,相当于从镜中对称的像点S发出,经镜中透镜像折折射出的,最后再经透镜的折射成像.因此,它相当于两个相同的透镜组成的密接透镜组,如图所示.该透镜组的焦距为:(2)当在平面镜与透镜间加水后,相当于原透镜跟一个水透镜(平凹)密接,再经平面镜反射就相当于两个双凸透镜与一个双凹水透镜的密接.在空气中的透镜焦距

5、可按下式求得:双凸透镜及水透镜的折射面曲率半径相同,但凸透镜和凹透镜半径的符号相反.设玻璃双凸透镜焦距为f1,水双凹透镜的焦距为f2 (均对周围介质为空气来说).则:式中n1、n2分别为玻璃和水的折射率.密接透镜组等效焦距为f,则有:将n1=1.5,n2=,f1=30cm代入得:f=22.5cm【答案】15cm,22.5cm.【总结】此题要用到透镜的焦距公式,密接透镜的有关知识.此题非常困难,困难的原因就在于学生对这一块内容不熟悉,平时在这方面的练习不够.好象有点问题:中间的凹透镜的两个折射面的曲率均应为r2?,答案题目把一个面的曲率看成是一个是r1,另一个面的曲率看成是r2,好象是值得研究了

6、.研究的思路是:用四次平面折射来看看.例10、如图5所示，两个薄凸透镜与一个平面镜及物屏共轴放在光具座上，每个凸透镜的两表面的曲率半径均为R，的焦距分别为，它们之间的距离用d表示，且更靠近物屏。物屏上开有一个箭形小孔，若左右移动物屏，同时改变d的大小，发现在物屏上可以多次得到倒立的清晰像，且左右移动平面镜对像无影响。问在物屏上能有几次得到这样的像，定量分析得到这些像的条件（在透镜面有部分光线发生反射，不考虑2次以上的反射成像）。物屏上可以得到4个像。1、凸透镜L1的后有面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L1的距离为u1. 得 此情况一定能通过移动物屏观察到像2、L2前表面反射达到自准直成

7、像，光路如图，设物屏到L1的距离为u2此情况出现的条件为 3、L2后表面反射达到自准直成像，光路如图，设对L2成像时的物距为u，物屏与L1距离为u3，则 联立二式 此情况出现的条件为： 4、由平面镜反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L1的距离为u4 出现此情况的条件为： 图1-5-54例15、在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点S，一个厚度可以忽略的光楔C（顶角很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于轴，与透镜的距离为2.00cm，如图1-5-54所示，设光楔的折射率n=1.5，楔角=0.028弧度。在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面

8、镜M，其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作出必要的光路图）？分析:这是一个光具成像问题，厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板，平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像，在这一过程中，我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算，就可得出最后结果。图1-5-55解:共有五次成像过程。（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角（出射光线与入射光线方向的夹角）用表示，由图1-5-55可知，对近轴光线，很小，有；因也很小，同样有 图1-5-56故有 代入数值，得 因与入射角大小无关

9、，各成像光线经光楔后都偏折同样角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-5-56。光点S经光楔成一虚像点。对近轴光线，在S正上方，到S的距离为h，离光楔距离。 代入数据，得 （2）为透镜L的实物，像点的位置可由下式求出图1-5-57 以u=30.00cm,f=20.00cm代入，得 将视为与光轴垂直的小物，由透镜的放大率公式 可求得即像点在光轴下方与光轴的距离为0.78cm，与透镜的中心距离为60.00cm处，图1-5-57。（3）在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成像，像点与对称于平面镜（图1-5-57） （4）作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点，及与L的距离分别为和，则 ，在透镜左侧，主轴上方，图1-5-58。 图1-5-5