第7章有限元法基础——一维问题分析

1、第七章第七章 有限元法基础有限元法基础一维问题分析一维问题分析 本章介绍一维问题的有限元分析本章介绍一维问题的有限元分析 （1） 给出用于热传递问题的给出用于热传递问题的迦辽金（迦辽金（Galerkin） 公式公式； （2）讨论一维固体力学问题的）讨论一维固体力学问题的最小势能公式最小势能公式。有限元分析求解的过程有限元分析求解的过程 1. 建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解成节点和建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解成节点和单元单元 。2. 假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的近似假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的近似 连续函数连续函数。 3. 对

2、单元建立方程。对单元建立方程。这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法 和最小势能理论建立描述单元的公式。和最小势能理论建立描述单元的公式。 4. 将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。5. 应用边界条件和负荷。应用边界条件和负荷。 6. 求解微分方程组得到节点的值，例如得到不同节点的位移量求解微分方程组得到节点的值，例如得到不同节点的位移量 或热传递问题中不同节点的温度值。或热传递问题中不同节点的温度值。 7. 得到其它重要信息。例如应力，热损失量等。得到其它重要信息。例如应力，热损失量等。 7

3、.1 热传递问题热传递问题 讨论悬臂梁的热传递问题，如下图所示，悬臂梁分成讨论悬臂梁的热传递问题，如下图所示，悬臂梁分成三个单元，三个单元，四个节点四个节点，温度沿单元的分布用线性函数进行插值。，温度沿单元的分布用线性函数进行插值。 悬臂梁的实际和近似温度悬臂梁的实际和近似温度 考虑悬臂梁的一个典型单元，悬臂梁的考虑悬臂梁的一个典型单元，悬臂梁的一维热传导由以下方程决定：一维热传导由以下方程决定： 220fd TkAhpThpTdX 式中，式中，k是热传导率，是热传导率，A为悬臂梁的横截面面积，为悬臂梁的横截面面积，h为为对流热传递系数对流热传递系数，p为悬臂梁的周长，为悬臂梁的周长， 是周围

4、流体是周围流体的温度。的温度。 fT（7.1）边界条件边界条件 基座的温度已知基座的温度已知 (0)bTT有三种可能性有三种可能性 （1）一种是梁的末端足够长，以致梁的末端温度等于周围）一种是梁的末端足够长，以致梁的末端温度等于周围 流体的温度。流体的温度。 （2）梁的末端损失的热量可忽略。）梁的末端损失的热量可忽略。 （3）如果分析中必须包括悬臂梁末端损失的热量，则必须）如果分析中必须包括悬臂梁末端损失的热量，则必须 有以下条件：有以下条件： ( )fT LT0XLdTkAdX()LfXLdTkAhA TTdX公式推导公式推导xx dxconvectionqqdqxxxconvectiond

5、qqqdxdqdx应用傅里叶定律应用傅里叶定律 xdTqkAdx 应用牛顿冷却定律应用牛顿冷却定律 ()()convectionsfdqh dATTSdApdx经化简得经化简得 220fd TkAhpThpTdX推导推导单元的传导矩阵单元的传导矩阵和和热负荷矩阵热负荷矩阵对单元对单元使用使用线性形函数线性形函数近似近似 ( )ieijjTTSST形函数为形函数为 jiXXSlijXXSlT=c1+c2X微分方程微分方程 的普遍形式的普遍形式akAbhpfchpTT令令 方程（方程（7.1）写为普遍形式）写为普遍形式220dabcdX 书上用书上用c1、c2、c3，为避，为避免混淆，在此免混淆，

6、在此用用a、b、c。用用迦辽金方法迦辽金方法进行求解进行求解因为形函数是近似解的成员，将因为形函数是近似解的成员，将形函数形函数用做权函数。用做权函数。( )jiXeiiXS22()0dabc dXdX ( )jiXejjXS22()0dabc dXdX （7.2）（7.3）迦辽金余数迦辽金余数误差（余数）误差（余数）控制方程较复杂控制方程较复杂化简方程化简方程因为线性函数的二阶导数为零，所以我们将二阶项化为一阶项。因为线性函数的二阶导数为零，所以我们将二阶项化为一阶项。 ( )( ()jiXeiiiXdSdddaSdXdXdX dX()0iS bc dX 继续变化方程，得继续变化方程，得 (

7、 )()jiXeiiXddaSdXdXdX()jiXiXdS dadXdX dXjiXX()iS bdXjiXX0iS cdX 对上面方程中的四项分别计算对上面方程中的四项分别计算( ()jiiXiXXXdddaSdXadXdXdX ()()jiXiijXdS daadXdX dXl jiXX()36iijblblS bdX jiXX2ilS cdXc用同样的方式，能够计算出对于用同样的方式，能够计算出对于节点节点j的第二的第二个余数方程个余数方程 ( ()jjiXjXXXdddaSdXadXdXdX()()jiXjijXdSdaadXdX dXl jiXX()36jjiblblSbdX ji

8、XX2jlS cdXc方程（方程（7.2）和方程（）和方程（7.3）计算的结果产生两）计算的结果产生两个线性方程组，表示为矩阵形式个线性方程组，表示为矩阵形式1111ijXXiijjXXdadXaldadX2110121062ijblcl 化简得：化简得： 1111ijXXijXXdadXaldadX21112162ijblcl 直接公式法：单直接公式法：单元传导矩阵元传导矩阵将上式写成如下形式将上式写成如下形式 ( )( )( )ijXXeeeiabjXXdadXKKFdadX ( )eaK1111al ( )ebK21126bl ( )eF112cl 直接公式法：单直接公式法：单元传导矩阵

9、元传导矩阵参数意义解释：参数意义解释： 对于对于热传递热传递问题：问题： 代表代表a系数系数表示的单元的传导率，表示的单元的传导率， 代表代表b系数系数表示的单元的传导率。表示的单元的传导率。 是给定单元的负荷矩阵。是给定单元的负荷矩阵。 为传导矩阵和负荷矩阵。对于特定的边界为传导矩阵和负荷矩阵。对于特定的边界 条件，需要计算它们。条件，需要计算它们。 ( )eaK ( )ebK ( )eFijXXXXdadXdadX直接公式法：单直接公式法：单元传导矩阵元传导矩阵下面以下面以一维悬臂梁一维悬臂梁为例来说明以上方程为例来说明以上方程 传导矩阵传导矩阵为为 ( )eaK1111al1111kAl

10、 ( )ebK21126bl 21126hpl 对于包含末端表面的最后单元，并考虑边界条件，对于包含末端表面的最后单元，并考虑边界条件，末端表面损失的热量为：末端表面损失的热量为： ()LfXLdTkAhA TTdXijXXXXdadXdadX0()ijXXjfXXdTkAdXhA TTdTkAdX直接公式法：单直接公式法：单元传导矩阵元传导矩阵经整理简化经整理简化ijXXXXdkAdXdkAdX0()jfhA TT0000ijfTThAThA ( ).eB CK000hA ( ).eB CF0fhAT 除最后一个单元外，其它单元的除最后一个单元外，其它单元的传导矩阵传导矩阵为为 ( )eK1

11、111kAl21126hpl 如果考虑悬臂梁末端损失的热量，包括如果考虑悬臂梁末端损失的热量，包括最后最后一个单元一个单元的热的热传导矩阵传导矩阵为为 ( )eK1111kAl21126hpl 000hA 除最后一个单元外，其它单元的热除最后一个单元外，其它单元的热负荷矩阵负荷矩阵为为 ( )eF112fhplT 如果分析中如果分析中包括包括悬臂梁末端损失的热量，悬臂梁末端损失的热量，最最后一个单元后一个单元的热的热负荷矩阵负荷矩阵为：为： ( )eF112fhplT 0fhAT例例1：工业炉的墙壁如图由工业炉的墙壁如图由3种材料组成：种材料组成：第一层第一层为为10cm的粘土水的粘土水泥，热

12、传导率为泥，热传导率为0.10 W/(m2K)；第二层第二层为为20cm的石棉板，热传导的石棉板，热传导率为率为0.07 W/(m2K)； 外层外层为为10cm的常用砖，的常用砖， 热传导率为热传导率为 0.70 W/(m2K)。炉内壁温度为。炉内壁温度为200C，外部空气的温度为，外部空气的温度为30C，气体对，气体对流系数为流系数为40 W/(m2K)。试确定温度沿组合壁的分布。试确定温度沿组合壁的分布。控制方程：控制方程：边界条件：边界条件：比较已推导的传热有限元方程：比较已推导的传热有限元方程：022dXTdkA)(kA-2004301fcmxTThAdXdTCT和TcbkAa00对于

13、单元（对于单元（1）：）： )(00)(1111111110. 0110. 01111)1()1(WFCWlkAK对比对比控制方程控制方程对于单元（对于单元（2）：）： )(00)(35. 035. 035. 035. 0111120. 0107. 01111)2()2(WFCWlkAK对于单元（对于单元（3）：）： )(120003014000)(47777140000111110. 0170. 00001111)3()3(WhATFCWhAlkAKf将单元组合起来：将单元组合起来： )(1200000)(477007735. 035. 00035. 035. 0110011)()(WFCW

14、KGG代入内壁边界条件：代入内壁边界条件：120000200477007735. 035. 00035. 035. 01100014321TTTT求解：求解：)(1 .311 .378 .1572004321CTTTT7.2 固体力学问题固体力学问题 对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：2( )2eVEdV 对于由对于由n个单元和个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能个节点组成的一般物体，其总势能应变能和外力做功的差：和外力做功的差： ( )11nmeiieiFu 最小势能理论最小势能理论：对于稳定系统，平衡位：对于稳定系统，平衡位置处出现的位移

15、，使得系统的总势能最小。置处出现的位移，使得系统的总势能最小。( )110nmeiieiiiiFuuuu任意节点为任意节点为i和和j的单元由的单元由形函数形函数表示的变形为：表示的变形为： ( )eiijjuS uS uijiijjuududS uS udydyl 任意单元的任意单元的应变能应变能为为2( )22222ejijiVEAEdVuuu ul对对 和和 求求应变能的最小值应变能的最小值，则有：，则有：iuju( )eijiAEuuul( )ejijAEuuul写成矩阵形式：写成矩阵形式： ( )( )eiejuuijukkukkAEkl这里这里 对外力所做的功求最小值，得到对外力所做

16、的功求最小值，得到单元负荷矩阵单元负荷矩阵： ( )eijFFF 计算各计算各单元单元的的刚度矩阵刚度矩阵和和负荷矩阵负荷矩阵，将它们组合起来得，将它们组合起来得到到整体刚度矩阵整体刚度矩阵和和负荷矩阵负荷矩阵。 单元单元刚度矩阵刚度矩阵例例2 ：带有钢柱的四层建筑物带有钢柱的四层建筑物 弹性模量弹性模量 (lb/in)，面积，面积A=39.7in。确定（。确定（a）柱）柱体在各个与地板的连接点上的体在各个与地板的连接点上的垂直位移；（垂直位移；（b）柱体每部分）柱体每部分的应力。的应力。 629 10E 2单元（单元（1），（），（2），（），（3）和（）和（4）的刚度矩阵为）的刚度矩阵为 ( )1111eAEKl61139.729 101115 126116.396 1011 (1)K (2)K (3)K (4)K6116.396 1011总体刚度总体刚度为：为： ()GK66.396 10110001 1 1100011 1100011 1100011 12()345050000500005000060000GFFFFFF66.396 10100001210001210001210001112345uuuuu05000050000500006