33.三弄对数不等式x÷(1+x)≤ln(1+x)≤x

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明三弄对数不等式ln(1+x)x不等式ln(1+x)x的应用技法 当x-1时,对数不等式ln(1+x)x与指数不等式exx+1等价,实质上,对数函数ln(1+x)还存在下界函数,由对数函数ln(1+x)的上、下界函数己生成一类绝佳的高考试题,我们现在关心的她生成高考试题的可能方向.母题结构:当x-1时,求证:ln(1+x)x,当且仅当x=0时,等号成立.母题解析:当x-1时,由exx+1xln(x+1)ln(1+x)x,当且仅当x=0时,等号成立;令f(x)=ln(1+x)-,则(x)=-=f

2、(x)在(-1,0)內递减,在(0,+)递增f极小值(x)=f(0)=0f(x)0ln(1+x),当且仅当x=0时,等号成立. 1.一弄:证明不等式 子题类型:(2008年山东高考试题)已知函数f(x)=+aln(x-1),其中nn*,a为常数.()当n=2时,求函数f(x)的极值; ()当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x2时,有f(x)x-1.解析:()f(x)的定义域为(1,+),当n=2时,f(x)=+aln(x-1)(x)=;当a0时,(x)0时,由(x)=0x0=1+1,1-1时,令g(x)=f(x)-ax,则(x)=ln(x+1)+1-a,由(x)=0x=ea-1-1g(x)

3、在(0,ea-1-1)内单调递减g(x)g(0)=0f(x)0.解析:()f(x)的定义域为(-m,+);由f(x)=ex-ln(x+m)(x)=ex-;由x=0是f(x)的极值点(0)=0m=1(x)=ex-(x)=ex+0(x)在(-1,+)内单调递增当x(-1,0)时,(x)(0)=0f(x)在(0,+)内单调递增;()当m2时,f(x)=ex-ln(x+m)ex-ln(x+2),故只需证明:f(x)=ex-ln(x+2)0;由exx+1,ln(x+2)x+1f(x)0.点评:联用指数不等式exx+1与对数不等式ln(1+x)x是解决即含ex,又含lnx的函数问题的有力工具. 4.子题系

4、列:1.(2010年全国高考试题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.()若x(x)x2+ax+1,求a的取值范围; ()证明:(x-1)f(x)0.2.(2007年山东高考试题)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b0.()当b时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;()求函数f(x)的极值点; ()证明对任意的正整数n,不等式ln(+1)-都成立.3.(2004年全国高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.()求函数f(x)的最大值; ()设0ab.证明:0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2. 5.子题详解:1.解:()由f(x)的定义

5、域为(0,+),(x)=lnx+-1=lnx+;所以,x(x)x2+ax+1xlnx+1x2+ax+1lnxx+aa-1;()当0x1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1lnx-x+10;当x1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=lnx+x(lnx+-1)(由lnxx-1ln-1lnx1-)0(x-1)f(x)0.综上,(x-1)f(x)0.2.解:()由f(x)的定义域为(-1,+),(x)=2x+=(x+)2+0f(x)在(-1,+)上单调递增;()当b时,(x)0f(x)在(-1,+)上递增f(x)无极值点;当0b-1,x2=f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2;当b0时,由(x)=0x1=,下面证明:-n3n2-1n2(n-1)-1成立;3.解:()由f(x)=ln(1+x)-x(x-1)(x)=-1=-f(x)的最大值=f(0)=0;()由g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(