【恒心】高考数学两条直线的位置关系与点到直线的距离突破复习PPT课件

1、共 142 页1 两条直线的位置关系与点到直两条直线的位置关系与点到直线的距离线的距离共 142 页2走进高考第一关基础关走进高考第一关基础关共 142 页3教教 材材 回回 归归1.两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行两条直线平行对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为，其斜率分别为k1，k2，则有，则有l1l2_.特别地，当直线特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，的斜率都不存在时，l1与与l2的关系为的关系为_k1k2平行平行共 142 页4(2)两条直线垂直两条直线垂直如果两条直线如果两条直线l1，l2的斜率存在，分别设为的斜率

2、存在，分别设为k1，k2，则则l1l2_.一般地：一般地：若直线若直线l1：a1xb1yc10(a1，b1不全为不全为0)，直线直线l2：a2xb2yc20(a2，b2不全为不全为0)，则则l1l2a1b2a2b10且且_(或或_)k1k21a1c2a2c10b1c2b2c10共 142 页5l1l2_，l1与与l2重合重合_且且a1c2a2c10(或或b1c2b2c10)a1a2b1b20a1b2a2b10共 142 页8考考 点点 陪陪 练练共 142 页91.已知两条直线已知两条直线yax2和和y(a2)x1互相垂直，则互相垂直，则a等于等于()a2 b1c0 d1答案：答案：d解析：由

3、解析：由a(a2)1，解得，解得a1.共 142 页102已知两直线已知两直线l1：xysin10，l2：2xsiny10，若，若l1l2，则，则_.4kkz，12.sin2z.4kksin0sin02sinsin解析：当 时，不合题意当时，共 142 页113过点过点a(1,2)且与原点距离最大的直线方程为且与原点距离最大的直线方程为()ax2y50 b3xy40cx3y70 d3xy50答案：答案：a121()0.2oaaoakyxxy22125解析：所求直线过点 且与垂直时满足条件，此时 ，故所求直线的斜率为 ，所以直线方程为 ，即 共 142 页124已知已知p1(x1，y1)是直线是

4、直线l：f(x，y)0上的一点，上的一点，p2(x2，y2)是是直线直线l外一点，由方程外一点，由方程f(x，y)f(x1，y1)f(x2，y2)0表示的表示的直线与直线直线与直线l的位置关系是的位置关系是()a互相重合互相重合 b互相平行互相平行c互相垂直互相垂直 d互相斜交互相斜交答案：答案：b共 142 页135将直线将直线l：x2y10向左平移向左平移3个单位，再向上平移个单位，再向上平移2个个单位后得到直线单位后得到直线l，则直线，则直线l与与l的距离为的距离为()7 55.5517.55abcd答案：答案：b共 142 页14解读高考第二关热点关解读高考第二关热点关共 142 页1

5、5类型一：两条直线位置关系的判定和应用类型一：两条直线位置关系的判定和应用解题准备：判断两条直线平行或垂直时，往往从两条直线斜解题准备：判断两条直线平行或垂直时，往往从两条直线斜率间的关系入手加以判断，当直线方程中含有字母系数时，率间的关系入手加以判断，当直线方程中含有字母系数时，要考虑斜率不存在的特殊情况判断两直线垂直时，若用要考虑斜率不存在的特殊情况判断两直线垂直时，若用l1l2a1a2b1b20可不用分类讨论，但在两直线平行的可不用分类讨论，但在两直线平行的判断中，既要看斜率，又要看截距判断中，既要看斜率，又要看截距共 142 页16典例典例1已知直线已知直线l1：ax2y60和直线和直

6、线l2：x(a1)ya210.(1)试判断试判断l1与与l2是否平行；是否平行；(2)当当l1l2时，求时，求a的值的值共 142 页17分析：可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系分析：可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解，这类讨论；也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解，这样可以避免讨论样可以避免讨论共 142 页182( )1()21121()alxylxllalylxyllaaalyxlyxaaallaaaallll

7、1211212121212121126 00031 010311311解 方法一：当 时， ： ，： ， 不平行于 ；当 时， ： ， ： ，不平行于 ；当且时，两直线可化为： ， ： ， ，解得 ， ，综上可知，当 时，否则 与 不平行共 142 页19()()(),()()a ba ba aaca ca aa aaalla aa aaallll122121221212221212011 2 0011 6011 2 02 011 601611方法二：由 ，得 ，由，得 ， ，故当 时，否则 与 不平行共 142 页20( )()212().2 132().3alxylxllaaalyxlyx

8、aaaaa ab baaa12121212122126 00113110210方法一：当 时， ： ， ： ，与 不垂直，故 不成立当时， ： ， ： ，由方法二：由 ，得 共 142 页21评析评析(1)直线直线l1：yk1xb1，直线，直线l2：yk2xb2，“l1l2k1k2且且b1b2”的前提条件是的前提条件是l1，l2的斜率都存在，若的斜率都存在，若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：当不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：当l1，l2中有中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，l1与与l2不平行；当不平行；当l1，l2的斜率都不存在的斜

9、率都不存在(l1与与l2不重合不重合)时，时，l1l2；当；当l1，l2均有斜均有斜率且率且k1k2，b1b2时，有时，有l1l2.为避免分类的讨论，可采用直为避免分类的讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系系数关系”的形式来的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二判断两直线是否平行，如本例方法二共 142 页22(2)当当l1l2时，可分斜率不存在与斜率存在，且时，可分斜率不存在与斜率存在，且k1k21解解决问题，如果利用决问题，如果利用a1a2b1b20可避免分类讨论可避免分类讨论共 142 页23类型二：距离问题类型二：距离问题002

10、2.().p xypaxbycaxbycdab000010解题准备：点到直线的距离：已知点，那么点 到直线 的距离共 142 页24121222200.axbycaxbycccdab两条平行线间的距离：一般地，两平行线 、 间的距离共 142 页25 00000000000031()|.2()|.3()|.4()|.p xyxdyp xyydxp xyxyadyap xyyxbdxb点到几种特殊直线的距离：点，到 轴的距离 点，到 轴的距离 点，到与 轴平行的直线 的距离 点，到与 轴平行的直线 的距离 共 142 页26典例典例2两条互相平行的直线分别过点两条互相平行的直线分别过点a(6,2

11、)，b(3，1)，并，并且各自绕着且各自绕着a，b旋转，如果两条平行直线间的距离为旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：求：(1)d的变化范围；的变化范围；(2)当当d取最大值时，两条直线的方程取最大值时，两条直线的方程共 142 页27( )9.()().xxlyk xlyk xlkxyklkxyk1212163261362 031 0解 方法一：当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为 和 ，则它们之间的距离为当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 ： ， ： ，即 ： ， ： 共 142 页282231 623 3111()0.()()109.( ,10.kkkdkkdkkdkdd

12、ddddd 22222281549r90544 8190030 3，即 ，且，即 且综合可知，所求的 的变化范围为共 142 页2922|.|(63)(2 1)3 10.( ,10 dababd00 3方法二：如图所示，显然有 而故所求的 的变化范围为共 142 页301212211222|sin(02sin0,1|(63)(2 1)3 100,3 10lllllablablldababd方法三：且 与 不重合，设 与夹角为 ，则 与夹角也为 ，则 、 的距离 ，而， ，又，共 142 页31 2.2( 1)16( 3)33.23(6)13(3)320 0310 0.abdabkyxyxxyx

13、y 由图可知，当 取最大值时，两直线垂直于则 ，所求的直线的斜率为故所求的直线方程分别为 和 ，即 和 共 142 页32探究探究1当当m取何值时，直线取何值时，直线l1：5x2y3m(3m1)0与与l2：2x6y3m(9m20)0的交点到直线的交点到直线l3：4x3y120的距离最短？这个最短距离是多少？的距离最短？这个最短距离是多少？共 142 页33分析分析求出求出l1与与l2的交点坐标，再求交点到的交点坐标，再求交点到l3的距离表达式的距离表达式，然后结合函数性质求最值，然后结合函数性质求最值22222()9183 ,()2312(918 ) 121547227()109343547.

14、930llmxymmmmmmxymmmldmmmdmmd223min5233102639200解 设 与 的交点为，则 ，设到 的距离为 ，则当 时，共 142 页34评析评析注意函数思想求最值注意函数思想求最值类型三：交点及直线系问题类型三：交点及直线系问题解题准备：符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见解题准备：符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系方程有如下几种：的直线系方程有如下几种：(1)过定点过定点m(x0，y0)的直线系方程为的直线系方程为yy0k(xx0)(这个直线这个直线系方程中未包括直线系方程中未包括直线xx0)共 142 页35(2)和直线和直线axbyc

15、0平行的直线系方程为平行的直线系方程为axbyc0(cc)(3)和直线和直线axbyc0垂直的直线系方程为垂直的直线系方程为bxayc0.(4)经过两相交直线经过两相交直线a1xb1yc10和和a2xb2yc20的交的交点的直线系方程为点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc)0(这个直这个直线系方程中不包括直线线系方程中不包括直线a2xb2yc20)共 142 页36典例典例3求经过直线求经过直线l1：3x2y10和和l2：5x2y10的交的交点，且垂直于直线点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线的直线l的方程的方程分析分析本题可先求出交点坐标，然后由直线间的位置关系本题可先求出交

16、点坐标，然后由直线间的位置关系求得；也可由直线系方程，根据直线间位置关系求得：求得；也可由直线系方程，根据直线间位置关系求得：共 142 页37,(, )3553().xyxylllllyxxy123321 0521 01 221531 0 解 法一：先解方程组得 ，、 的交点 ，再由 的斜率求出 的斜率为 ，于是由直线的点斜率式方程求出 ： ，即 共 142 页38(, )().lllxyclllcclxy3125301 2513 201531 0法二：，故 是直线系 中的一条，而 过 、 的交点，故 由此求出 ，故 的方程为 共 142 页39()()()()0.35512235.llll

17、xyxyxlxy12321521035221531 0法三： 过 、 的交点，故 是直线系 中的一条，将其整理，得 其斜率 ，解得 ，代入直线系方程即得 的方程为 共 142 页40评析评析对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线系对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线系方程，是出错的原因之一方程，是出错的原因之一运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：程有：(1)与直线与直线axbyc0平行的直线系方程是：平行的直线系方程是：axbym0(mr且且mc)共 142 页41(2)与直线与直线axbyc0垂直的直线系方程

18、是垂直的直线系方程是bxaym0(mr)(3)过直线过直线l1：a1xb1yc0与与l2：a2xb2yc20的交点的交点的直线系方程为的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括但不包括l2.共 142 页42( )()()()()()()()1,0;22p xyo abxaxp xyybya abaxbycba mnnbamabambnabc 12200类型四：对称问题解题准备： 对称问题主要包括中心对称和轴对称中心对称：点， 关于， 的对称点 ，满足 ；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决轴对称：点，关于直线 的对称点， ，则有直线关于直线的对称可转化为

19、点关于直线的对称问题来解决；共 142 页43(2)在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上共 142 页44典例典例4光线沿直线光

20、线沿直线l1：x2y50射入，遇直线射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程后反射，求反射光线所在的直线方程分析：本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线分析：本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l对称，用对称点方法求出入射点上一点对称，用对称点方法求出入射点上一点p关于关于l的对称点，的对称点，再由两点式写出方程再由两点式写出方程共 142 页45000000(, )(, )()3255,225.22ppxyxxyymxypplp xyypplkxxyppqxyql 003270125 021 225 05 03270 ， ，解 方法一：由得即反 ， ，射点的坐标

21、为又取直线 上一点，设点 关于直线 的对称点为，由，可知 ，而的中点 的坐标为，又 点在 上， 共 142 页46002175313323()1321732,.131317 32(, ),.13 13.yxxyxypmpxy 00005701 229233 0 ，联立解得， ，即 点坐标为反射光线过和根据直线的两点式方程，可得反射光线所在的方程为共 142 页47000000000()2().3,222225124231312528()132xyp xyyylp xyxxxxyyppqlxxyyyyxyxxxxyxxyyyxy 0000025 0327037025方法二：设直线 上任意一点，关

22、于直线 的对称点， ，则又的中点在 上， ， ，由， ，代入方程 .xyxy029233 029233 0中，化简得 ，即所求反射光线所在直线方程为共 142 页48评析评析比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或关于点的对称问题来解决的；其中化为点关于直线的对称或关于点的对称问题来解决的；其中方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解，方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线，方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法关于

23、直线对称问题的通法共 142 页49探究探究2已知直线：已知直线：xy30，一光线从点，一光线从点a(1,2)处射向处射向x轴上一点轴上一点b，又从，又从b点反射到点反射到l上一点上一点c，最后又从，最后又从c点反射回点反射回a点点(1)试判断由此得到的试判断由此得到的abc是有限个还是无限个？是有限个还是无限个？(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样依你的判断，认为是无限个时求出所有这样abc的面积的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段bc的方程的方程共 142 页50分析分析利用光学原理及点关于直线的对称，借助两直线的利用光学原理及点关

24、于直线的对称，借助两直线的交点问题，求解相关结论交点问题，求解相关结论共 142 页51( )( , )()()2()1b maxabxybmca bcb aa byxmm10123 033解 如图所示，设，点 关于 轴的对称点为， 点 关于直线 的对称点为 ， 根据光学性质，点 在直线上，点 又在直线上求得的直线方程为，共 142 页522()35.131()41()3.453533513.3ccyxmmxmmyxmb ayxmyxmxmyxmmmmmmmmmbxyabc2321213383 033 0，由得 ，的直线方程为 ，由得 ，则，得 ， 或 而当 时，点 在直线 上，不能成为三角形

25、，故这样的只有一个共 142 页53111 5( )()()332 211()23mbcbcxyx2031 0当 时， ， 线段的方程为 共 142 页54()()()()()()22m abaxbycann xyybaxabaxbyabcxyn0010评析 不懂光学原理或不会求点关于直线的对称，造成思路阻滞，求解困难求点，关于直线 的对称点的方法：设， ， 垂直关系由 中点在直线上求出 ， ，即得点 的坐标共 142 页55笑对高考第三关成熟关笑对高考第三关成熟关共 142 页56名名 师师 纠纠 错错共 142 页57误区一：忽视斜率不存在致误误区一：忽视斜率不存在致误().lxaylax

26、aylla12121325 03120典例 已知 ： ， ： 求使的 的值共 142 页58剖析剖析本题常常出现的错误是，只考虑到直线斜率存在的本题常常出现的错误是，只考虑到直线斜率存在的情况，而忽略了直线斜率不存在的特殊情况，即忽略了情况，而忽略了直线斜率不存在的特殊情况，即忽略了a0的情况的情况共 142 页5933121.61.6alxlxllallaaalla12121212035 02 00正解 解法一：当直线斜率不存在，即 时，有 ： ， ： ，符合；当直线斜率存在时，故使的 的值为 或共 142 页6012123 ()(31) 2010.610.6llaaaaalla解法二：由

27、，得 或 故使的 的值为 或共 142 页61评析评析在解决两直线平行的相关问题时，若利用在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1l2k1k2来求解，则要注意其前提条件是来求解，则要注意其前提条件是k1与与k2必须同时存在必须同时存在如果忽略如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解这类问题也不存在的情况，就会导致错解这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线可以利用如下的结论求解，即直线l1：a1xb1yc10与与l2：a2xb2yc20平行的充要条件是平行的充要条件是a1b2a2b10，这样任何，这样任何条件的实数值就都有意义了，在求出具体数值后代入检验，条件的实数值就都有意义了，在求出具

28、体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案共 142 页62对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况利用对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况利用l1l2k1k21时，要注意其前提条件是时，要注意其前提条件是k1与与k2必须同时存必须同时存在利用直线在利用直线l1：a1xb1yc10与与l2：a2xb2yc20垂垂直的充要条件是直的充要条件是a1a2b1b20，就可以避免讨论，就可以避免讨论共 142 页63变式：已知三点变式：已知三点p(1,2)，q(2,1)，r(3,2)，过原点作一直线，过原点作一直线，使得使得p，q，r到

29、此直线的距离的平方和最小，求此直线方程到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程共 142 页6422222222.22132142091111()()0.14ykxpqrtkkkkktkkkktkkttkt2142091414解 ： 当 直 线 的 斜 率 存 时 ， 依 题 意 设 所 求 直 线 方 程为 ， 设、到 直 线 的 距 离 的 平 方 和 为则 ，即当 时 ， ； 当时 ，共 142 页65235 17235 17.22235 172117.4117.4tytkyx 014由可得当直线的斜率不存在时，三点到 轴的距离的平方和为 ，不是最小值综合知 的最小值为，此时 故所求的直

30、线方程是 共 142 页66误区二：缺乏分类意识误区二：缺乏分类意识典例典例2求过直线求过直线4x2y10与直线与直线x2y50的交点且与的交点且与两点两点a(0,8)，b(4,0)距离相等的直线距离相等的直线l的方程的方程共 142 页677()2( , )( , )2.7()2.xyxylablababklyxxy421 025 020 84 0224215 0错解 由已知可求得两直线 与 的交点为 ， 因为直线 到，的距离相等，所以，而的斜率 所以直线 的方程为 ，即 共 142 页68剖析剖析错解缺乏分类讨论的意识，对直线的位置关系考虑错解缺乏分类讨论的意识，对直线的位置关系考虑不全，

31、事实上当直线不全，事实上当直线l经过经过ab的中点时也满足条件的中点时也满足条件共 142 页697().2( ).7().2( )( , ).abllababklyxxyabllabxlxyx212224215 022 424215 02正解 由已知可求得两直线的交点为 ，若点 ， 在直线 的同侧，则，的斜率 所以直线 的方程为 ，即 若点 ， 在直线 的两侧，则直线 经过线段的中点，可求出直线方程为 综上可得，直线 的方程为 或 共 142 页70误区三：忽视隐含条件误区三：忽视隐含条件典例典例3如果直线如果直线(m2)x(m23m2)ym2与与y轴平轴平行，求行，求m的值的值错解错解因为

32、直线因为直线(m2)x(m23m2)ym2与与y轴平轴平行，所以行，所以m23m20.解得解得m1或或m2.所以当所以当m1或或m2时直线与时直线与y轴平行轴平行共 142 页71剖析剖析方程方程axbyc0表示直线，其中隐含着表示直线，其中隐含着ab0这一这一条件当条件当m2时，直线方程时，直线方程(m2)x(m23m2)ym2为为0 x0y0，它不表示直线，所以出现错误，它不表示直线，所以出现错误正解正解因为直线因为直线(m2)x(m23m2)ym2与与y轴平行轴平行，所以，所以m23m20，且，且m20，解得，解得m1，所以当，所以当m1时直线与时直线与y轴平行轴平行.共 142 页72

33、解解 题题 策策 略略共 142 页73熟练掌握对称的含义和求解类问题的方法和步骤熟练掌握对称的含义和求解类问题的方法和步骤1首先要弄清对称的含义与分类：首先要弄清对称的含义与分类：(1)对称点：对称点：两点两点a、b关于点关于点m对称对称m为线段为线段ab的中点的中点(也称对称中心也称对称中心)；两点两点a、b关于直线关于直线l对称对称l是线段是线段ab的垂直平分线的垂直平分线(也称对称也称对称轴轴)共 142 页74(2)对称曲线对称曲线()两曲线两曲线c1、c2(在本专题中主要指直线在本专题中主要指直线l1、l2)关于直线关于直线l(或或点点m)对称对称c1上任一点上任一点p关于直线关于

34、直线l(或点或点m)的对称点都在的对称点都在c2上上，反之亦然；，反之亦然；()曲线曲线c自身关于直线自身关于直线l(或点或点m)对称对称c上任一点关于直线上任一点关于直线l(或点或点m)的对称点仍在曲线的对称点仍在曲线c上上(3)分类：分类：()中心中心(点点)对称或轴对称或轴(直线直线)对称；对称；()两个图形间的对称或一个图形的自身对称两个图形间的对称或一个图形的自身对称共 142 页75000000()( )()()()2(,)2()()1()22a xym abb xyxxaxaxbaxbyybyyyba xylykxb kyyxxkb xyyyxxkbxy0000000021222

35、20对称图形 点与曲线 的求法：对称点的求法：设，关于， 的对称点为， ，则 ， ，设，关于直线 ： 的对称 ，点为， ，则由此方程组可解出 、 即得b点 坐标共 142 页76注意：求对称点的步骤是：注意：求对称点的步骤是：设点；设点；列式；列式；求解求解(主要主要是解方程组是解方程组)(2)对称曲线的求法：对称曲线的求法：问题：已知曲线问题：已知曲线c：f(x，y)0，求曲线，求曲线c关于某直线关于某直线l(或点或点m)的对称曲线的对称曲线c的方程的方程共 142 页77()()()( )()()()(),()()cp xyplmp xyxu xyyv xyp xycxu xyp xyyv

36、 xyc1求解方法：在待求曲线 上任取一点， ，设 关于直线 或点的对称点为，用上述中的方法求出 ， ， ， ，然后由点，在已知曲线 上，将，的坐标， ，代入曲线 方程得：共 142 页78f(x，y)0即即f(u(x，y)，v(x，y)0.再化简即得再化简即得c的方程由的方程由上知求对称曲线的步骤是：上知求对称曲线的步骤是：在待求曲线上取在待求曲线上取(设设)点；点；求求对称点对称点(在原已知曲线上在原已知曲线上)；代入化简代入化简上述求解方法就是重要的相关点法，其实质仍为点对称问题上述求解方法就是重要的相关点法，其实质仍为点对称问题共 142 页793特别注意如下与对称有关的结论：特别注意

37、如下与对称有关的结论：(1)直线直线axbyc0关于：关于：x轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为axbyc0；y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为axbyc0；原点对称的直线方程为原点对称的直线方程为axbyc0；共 142 页80yx直线对称的直线方程为直线对称的直线方程为aybxc0；yx直线对称的直线方程为直线对称的直线方程为aybxc0；直线直线xyc10对称的直线方程为对称的直线方程为a(yc1)b(xc1)c0；共 142 页81直线直线xyc10对称的直线方程为对称的直线方程为a(yc1)b(xc1)c0；直线直线axbyc0平行的直线系方程为平行的直线系方程为axbyc10

38、；直线直线axbyc0垂直的直线系方程为垂直的直线系方程为bxayc10.共 142 页82(2)设设a、b，l是三条直线，且是三条直线，且a、b关于关于l对称对称若若a与与b相交，则相交，则l是是a、b交角的平分线；若交角的平分线；若a与与l平行，则平行，则b与与l平行，且平行，且a、b与与l的距离相等的距离相等若点若点a在直线在直线a上，则上，则a点关于点关于l的对称点的对称点b一定在直线一定在直线b上上，并且直线，并且直线abl，线段，线段ab的中点在的中点在l上上设设p(x，y)是直线是直线b上一点，则上一点，则p关于关于l的对称点的对称点p的坐标适的坐标适合合a的方程的方程.共 14

39、2 页83快快 速速 解解 题题共 142 页84典例求点典例求点p(5,1)到直线到直线l：(2)x(1)y0的最大距离的最大距离解题切入及分析解题切入及分析代入点到直线的距离公式并求其最大值代入点到直线的距离公式并求其最大值共 142 页85222222222225(2) 1 (1)59(2)(1)265259081265259081,265(252 )(906 )81 50.25,(906 )4(252 )2(81 5 )4 268 .0017,0ddmmmmmmmmdd 2详解令m=d ,则m=整理得当m时由得0m17,即17.17.点(5,1)到所给直线的距离的最大值为共 142 页

40、8622( , )( , )( , )( , )( , )( , )(5 1)(1 2)17.ppd1 25 11 25 15 11 2快解 所给直线过定点，当动直线与点和定点的连线垂直时，点到该直线的距离最大，即两点与的距离，由两点间的距离公式易得其最大值为共 142 页87方法与技巧方法与技巧详解的思路是自然的，但计算量太大，数字详解的思路是自然的，但计算量太大，数字也太大快解是找出动直线所过的定点，只需要两定点的距也太大快解是找出动直线所过的定点，只需要两定点的距离即可离即可得分主要步骤得分主要步骤先求得先求得d的表达式，再求的表达式，再求d2.利用判别式利用判别式法求函数的值域，得到关

41、于法求函数的值域，得到关于的一元二次方程，正确求得的一元二次方程，正确求得判别式，解不等式即可判别式，解不等式即可易丢分原因易丢分原因由于数字较大，计算过程中很容易算错，尤由于数字较大，计算过程中很容易算错，尤其是求判别式时要十分小心，其实求得最终结果数字并不大其是求判别式时要十分小心，其实求得最终结果数字并不大.共 142 页88教教 师师 备备 选选共 142 页891.数形结合数形结合典例典例1已知已知abc中，中，a点坐标为点坐标为(1,3)，ab、ac边上的中边上的中线所在直线方程分别为线所在直线方程分别为x2y10和和y10，求，求abc各边所在直线的方程各边所在直线的方程分析：画

42、出草图帮助思考，欲求各边所在直线的方程，分析：画出草图帮助思考，欲求各边所在直线的方程，只需求出三角形顶点只需求出三角形顶点b、c的坐标的坐标b点应满足的两个条点应满足的两个条件是：件是：b在直线在直线y10上；上；ba的中点的中点d在直线在直线x2y10上上共 142 页90由由可设点可设点b的坐标为的坐标为(xb,1)，进而再由，进而再由确定确定xb，依照同样，依照同样的方法可以确定顶点的方法可以确定顶点c的坐标，故的坐标，故abc各边所在的直线方程各边所在的直线方程可求可求共 142 页91,1, 2).212bbbdxdcdxyxx21022105b 解 设 ab、 ac边 上 的 中

43、 线 分 别 为 cd、 be，其 中 d、 e为 中 点 b在 中 线 y-1=0上设 b点 的 坐 标 为 (x ,1).又为 ab的 中 点 ，a(1,3) 的 坐 标 为 (注 意 到点 在 中 线： 上 ， ，共 142 页92( , )()3,.2310112(31)27041020.bcxyctttacetteytcabcabxybcxyacxy5 121 021即 点的坐标是同样地， 点 在直线 上， 设 点的坐标是 ， ，的中点 的坐标为又点在直线 上， ，即 ，点 的坐标是 ， ，故可求得三边所在直线的方程为： ；： ；： 共 142 页93评析评析依据已知条件求平面图形中

44、某些直线的方程，必须依据已知条件求平面图形中某些直线的方程，必须“数形结合数形结合”通过数形结合，特别是借助平面图形分析出隐通过数形结合，特别是借助平面图形分析出隐含条件，这样可以达到化难为易、化繁为简的目的，以形助含条件，这样可以达到化难为易、化繁为简的目的，以形助数也是平面解析几何中常用的方法数也是平面解析几何中常用的方法共 142 页942对称问题的解法对称问题的解法(1)点关于直线对称点关于直线对称典例典例2已知直线已知直线l：3xy30，求点，求点p(4,5)关于直线关于直线l的对的对称点称点分析分析利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而求解利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而

45、求解共 142 页95( , )()4532517.43(, )plp xypplpplxyxyyxp 14 533 022 7解 方法 ：设点关于直线 的对称点为，则且的中点在直线 上 ， ，解得故为所求的点共 142 页96( , )().0.( , ).19.( , )(, )plp xypplppxycpppccxyqxyqppp 24 534 543 50319 01 633 02 7方法 ：设点关于直线 的对称点为，则故可设直线： 又点在直线上， 解得 ，由得交点 而 为的中点，共 142 页97评析评析方法方法1 的应用最为广泛，其关键是利用的应用最为广泛，其关键是利用“垂直垂直

46、”、“平平分分”点点p(a，b)关于特殊直线的对称点列表如下：关于特殊直线的对称点列表如下：(2)直线关于点对称直线关于点对称共 142 页98典例典例3求直线求直线l1：2xy10关于点关于点p(2,1)的对称直线的对称直线l2的的方程方程分析分析利用好中心对称的性质是解对称问题的关键利用好中心对称的性质是解对称问题的关键共 142 页9922:20.2 2 1 12 2 1.55llxycc 1解方法：因为l与l 关于点(2,1)对称，所以l设由点p(2,1)到两直线的距离相等，有：解得c=-7或c=1（舍去）共 142 页1002102(4)(2)10.270.xyxyxy 故所求的方程

47、为2x-y-7=0.方法：设直线12上任意一点q(x,y)，则它关于p(2,1)的对称点为q (4-x,2-y).由在直线上可得化简可得：共 142 页101评析评析方法方法1是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；方法方法2是设动点，运用是设动点，运用“代入法代入法”求解，这也是求曲线方程的求解，这也是求曲线方程的一般方法一般方法一般地，直线一般地，直线axbyc0关于点关于点(a，b)对称的直线方程为对称的直线方程为a(2ax)b(2by)c0.(3)直线关于直线对称直线关于直线对称共 142 页102典例典例4求直线求直线a：xy20关于直线关于直

48、线l：x2y10对称的直线对称的直线b的方程的方程分析分析直线关于直线对称的关键仍是点关于直直线关于直线对称的关键仍是点关于直线对称线对称共 142 页103( , )( , )412,.55().applpxyalxyqbpqbxy12 022 02 021 01178 0解 方法 ：在直线 上取一点，运用典例 的方法，可求得点关于 的对称点 ，由方程组可解得直线 与 的交点 ， 直线 过点与 ，由两点式并化简可得直线的方程为 共 142 页104()()1()5221.()5()11()()0.55.bp xylp xyxxyyxxyyyyxyxxp xyaxyxyb xy234221 0

49、2434342434278 0方法 ：设直线 上的动点， 关于直线 的对称点为， ， ，则解得 点，在直线 上， 化简得直线 ： 共 142 页10523(11)1(1)10.1 212171(alqbyk xkxyklabkkkkk 方法 ：先求出直线 与 的交点， ，再设直线 的方程为 ，即 由对称关系可知直线 上的点到两直线 与 的距离相等取l上一点m(-1,0),则有：解得或舍去）.直线b:7x-y-8=0.共 142 页106评析评析(1)三种方法都是常用方法，都用到了几何性质方三种方法都是常用方法，都用到了几何性质方法法1利用转化求解利用转化求解(线关于线对称转化为点关于线对称线关

50、于线对称转化为点关于线对称)；方法；方法2抓住了抓住了p与与p是一对是一对“相关点相关点”，利用，利用“相关点相关点”的性质求出动的性质求出动点的轨迹，这是求曲线关于直线对称方程的常用方法：方法点的轨迹，这是求曲线关于直线对称方程的常用方法：方法3利用点到直线的距离解题，方法非常简捷，充分体现了利利用点到直线的距离解题，方法非常简捷，充分体现了利用几何性质的优越性用几何性质的优越性共 142 页107(2)特别地，设直线特别地，设直线l：axbyc0，则有：，则有：直线直线l关于关于x轴对称的直线方程为：轴对称的直线方程为：axbyc0；直线直线l关于关于y轴对称的直线方程为：轴对称的直线方程

51、为：axbyc0；直线直线l关于关于yx对称的直线方程为：对称的直线方程为：bxayc0；直线直线l关于关于yx对称的直线方程为：对称的直线方程为：bxayc0.共 142 页108课时作业五十五课时作业五十五 两条直线的位置关系两条直线的位置关系与点到直线的距离与点到直线的距离共 142 页109一、选择题一、选择题1(基础题，易基础题，易)下列命题中：下列命题中：两条直线互相平行等价于它们的斜率相等而截距不等；两条直线互相平行等价于它们的斜率相等而截距不等；方程方程(2xy3)(xy2)0(为常数为常数)表示经过两直表示经过两直线线2xy30与与xy20交点的所有直线；交点的所有直线；共

52、142 页110过点过点m(x0，y0)，且与直线，且与直线axbxc0(ab0)平行的直线平行的直线的方程是的方程是a(xx0)b(yy0)0；两条平行直线两条平行直线3x2y50与与6x4y80间的距离是间的距离是d .其中不正确的命题的个数是其中不正确的命题的个数是()a0个个b1个个c2个个 d3个个答案：答案：d22543( 2) 共 142 页111解析：当斜率不存在时解析：当斜率不存在时不正确；不正确；方程方程(2xy3)(xy2)0不表示过交点的直线不表示过交点的直线xy20，所以所以不正确；不正确；若若m(x0，y0)在直线在直线axbyc0上，则上，则cax0by0，此时方

53、程此时方程a(xx0)b(yy0)0将会重合于直线将会重合于直线axbyc0，所以所以也不正确；只有也不正确；只有正确正确共 142 页1122(基础题，易基础题，易)若三条直线若三条直线x2y30,3x4y210,2x3yk0交于一点，则交于一点，则k的值等于的值等于()a13 b14c15 d16答案：答案：c( , )15.xypxyxykk23 03 33421 0230 ，解析：由得交点， ，代入 ，得 共 142 页1133(基础题，易基础题，易)已知直线已知直线l1：y2x3，直线，直线l2与与l1关于直线关于直线yx对称，直线对称，直线l3l2，则，则l2的斜率为的斜率为()a

54、. bc2 d21212答案：答案：c2131.2221.lllllyxlxxyxkllkk2231223232解析：由于直线 与 关于 对称，则直线 的方程为 ，即 ，又，共 142 页1144(基础题，易基础题，易)若若ya|x|的图象与直线的图象与直线yxa(a0)有两个有两个不同交点，则不同交点，则a的取值范围是的取值范围是()a0a1ca0且且a1da1答案：答案：b解析：如图，要使解析：如图，要使ya|x|的图象与直线的图象与直线yxa(a0)有两个不同的交点，则有两个不同的交点，则a1.共 142 页1155(基础题，易基础题，易)已知平面上一点已知平面上一点m(5,0)，若直线

55、上存在点，若直线上存在点p使使|pm|4，则称该直线为，则称该直线为“切割型直线切割型直线”，下列直线中是，下列直线中是“切割型直线切割型直线”的是的是()yx1；y2；y x；y2x1.a bc d答案：答案：c43共 142 页116.5 122“”“”mmmdmdm4344244解析：根据题意，看所给直线上的点到定点距离能否取 可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析 ，故直线上不存在点到距离等于 ，不是 切割型直线 ；，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于 ，是 切割型直线 ；共 142 页11722204344“”1111 54554“”dmdm ，直

56、线上存在一点，使之到点距离等于 ，是 切割型直线 ； ，故直线上不存在点到距离等于 ，不是 切割型直线 共 142 页118()18xyaxybabxxxcc260000 能力题，中 设两条直线的方程分别为 、 ，已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )2 12.,. 2,42212 1. 2,.,222abcd答案：答案：d共 142 页1192.2|()41 4 .111822121.222xyaxybdbaabxxxcababcbaababcccccdd maxmin00201004401 41解析： 两条直线 和 间的距离又、 是关

57、于 的方程 的两个实数根， ， ，从而又， ，共 142 页120二、填空题二、填空题7(能力题，中能力题，中)若直线若直线a1xb1y10和和a2xb2y10的的交点为交点为p(2,3)，则过点，则过点q1(a1，b1)、q2(a2，b2)的直线方程为的直线方程为_2x3y10解析：由点解析：由点p在两直线上可得：在两直线上可得：2a13b110,2a23b210，这表明点，这表明点(a1，b1)、(a2，b2)均在直线均在直线2x3y10上，而过这两点的直线只有一条上，而过这两点的直线只有一条过点过点q1(a1，b1)、q2(a2，b2)的直线方程为的直线方程为2x3y10.共 142 页

58、1218(2010江苏南通第二次调研江苏南通第二次调研)(能力题，中能力题，中)过点过点p(1,2)的直的直线线l与两点与两点a(2,3)，b(4，5)的距离相等，则直线的距离相等，则直线l的方程为的方程为_3x2y70或或4xy60共 142 页122( )( , ) ( , ) ()53( )42()0.( )( , )()2( 1)().1 3ablllablklyxlxylablablyxxy 101 22 345242414631 231213270解析： 当距离为 时，即 、 在直线 上，则有直线 过， ，经验证可知三点不在一条直线当 与过的直线平行时，可知 的斜率 ，： ，即 ：

59、 当 与过的直线相交时，可知 过及的中点 ， ，： ，即 共 142 页1239(2010广州广州)(基础题，易基础题，易)点点p(x，y)在直线在直线xy40上，上，则则x2y2的最小值是的最小值是_842.2xydd2228解析： 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短： 2，共 142 页124三、解答题三、解答题10(基础题，易基础题，易)(1)是否存在直线是否存在直线l1：(m24m5)x(4m24m)y8m与直线与直线l2：xy1平行？若存在，求出直线平行？若存在，求出直线l1的的方程，若不存在，说明理由方程，若不存在，说明理由(2)若直线若直线l3：(a2)x(2a)y1

60、与直线与直线l4：(a2)x(3a4)y2互相垂直，求出两直线互相垂直，求出两直线l3与与l4的方程的方程分析：先求参数，有解则写出方程，并注意分类讨论分析：先求参数，有解则写出方程，并注意分类讨论共 142 页125222( )1.451.44llllllmmmmmmmmlxylll122121121211440111解： 假设存在直线 与 平行的斜率为 ， 的斜率必由且 可解得 但 时， ： 与 重合故不存在直线 与 平行共 142 页1264441( ).443.32.422.32342 2.3.2 34.14alxlyllalyxlxllaaaakkaaaak kaaaaallalxl