初三_一元二次方程的补充解法——“十字相乘法(1)

1、一元二次方程的补充解法“十字相乘法”学习目标1. 理解十字相乘法的概念和意义；2. 会用十字相乘法把形如x2pxq的二次三项式分解因式；(x + a )(x + b) x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之间的符号关系当q0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a，b符号）与p符号相同 当q0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同什么是十字相乘法？十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。十字相乘法相对来说

2、难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。4、十字相乘法的缺陷：有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。例题：1、把m+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-112，-26，-34，-43，-62，-121当-12分成-2

3、6时，才符合本题解：因为 1 -2 1 6 所以m+4m-12=（m-2）（m+6）2、解方程x-8x+15=0 分析：把x-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成115，35。解： 因为 1 -3 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5练习：1把5x+6x-8分解因式 2解方程 6x-5x-25=0 例3把14x-67xy+18y分解因式 分析：把14x-67xy+18y看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为114,27, 18y可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为 2 -9y 7 -2y 所以 14x-67xy+18

4、y= (2x-9y)(7x-2y)例4把10x-27xy-28y-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3 =10x-（27y+1）x -（28y-25y+3）4y -3 7y -1=10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y 1） 5 4y - 3=2x -（7y -1）5x +（4y -3）=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1

5、）分解为：2x -（7y -1）5x +（4y -3）解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3 2 -7y5 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=（2x -7y）+1 （5x +4y）-3 =（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x-27xy-28y用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为（2x -7y）+1 （5x +4y）-3.十字相乘法分解因式教学目的探索并掌握可化为型的二次三项式的因式分解方法，

6、会分解可化为型的二次三项式教学重点可化为型的二次三项式的因式分解教学过程，一般地，这就是说，对于二次三项式，若能找到两个数、，使则就有如对于二次三项式，其中，能找到两个数、，使 故有2.用以上新方法分解二次三项式时，如何寻找、两数？例把下列各式分解因式： ； ； ； 用以上新方法来分解二次三项式，式中的、通常是整数，要找的、两数也通常是在整数中去找由于把拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把分解成两个整数之积只有有限几种可能，故应先把分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得如： ，且其中， ，且其中， ，且其中， ，且其中，如何检验分解是否正确？请观察比较例中的各题，你能发现把分解成两个整

7、数、之积时的符号规律吗？若，则、同号当时、同为正，当时、同为负若，则、异号当时、中的正数绝对值较大，当时、中的负数绝对值较大三、巩固与提高：1.把下列各式分解因式（填空）： 强调：由常数分解成的两数，当和等于一次项系数时，这两数才是要找的、通过练习巩固、的符号法则2把下列各式分解因式： ； ； 观察“现象”（1）现有一元二次方程：它的二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为3。因为它的系数满足，所以用十字相乘法可将原式化为（2）现有一元二次方程：它的二次项系数为2，一次项系数为7，常数项为6。因为它的系数满足，所以用十字相乘法可将原式化为（3）现有一元二次方程：这个方程与上面方程的区别是多了一

8、个未知数，同样地，用十字相乘法可将原式化为得出结论：设一元二次方程的，若满足，则原方程可用十字相乘法化为。推论.设一元二次方程的，若满足，则原方程可用十字相乘法化为。推论. 设的，若满足，则原方程可用十字相乘法化为。知识归纳和例子讲解：（1） 对于某些首项系数是1的二次三项式【】的因式分解：一般地，这就是说，对于二次三项式，若能找到两个数、，使则就有（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）如对于二次三项式，其中，能找到两个数、，使 故有(2) x2 3x 10；解：1 5 （x 5） 1

9、 2 （x + 2） 5 *2 = 9；1*（5）+1*2= 3x2 3x 10 = （x 5）（x + 2）毛例1：因式分解(2) x2 3x 10；解：1 5 （x 5） 1 2 （x + 2） 5 2 = 9；1（5）+12= 3x2 3x 10 = （x 5）（x + 2）毛(1) x2 + 10x + 9 ；解：1 1 （x + 1）1 9 （x + 9）19=9；19+11=10x2 + 10x + 9=（x + 1）（x + 9）说明：用十字相乖法分解二次三项式，式中的、通常是整数，要找的、两数也通常是在整数中去找由于把拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把分解成两个整数之积只有

10、有限几种可能，故应先把分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得练习题（因式分解）：（1）_ _ _ _. （2）_ _ _ _（3）_ _ _ _ （4）_ _ _ _提问：请观察以上练习中的各题，你能发现把分解成两个整数、之积时的符号规律吗？若，则、同号当时、同为正，当时、同为负若，则、异号当时、中的正数绝对值较大，当时、中的负数绝对值较大（2） 对于二次三项【】（a、b、c都是整数，且）的因式分解：一般地，= ，=这就是说，对于二次三项式，若能找到四个整数，使则就有=，通常要借助画多个十字交叉线的办法来确定。例2分解因式：（1）； （2）（1）解：= （2）解：所有可能的十字形式：说明

11、：二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节、的符号规律；分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解练习题（因式分解）：（1）2x2 7x3=_ _ _ _ （2）3x2 5x2=_ _ _ _（3）2x2 5x7=_ _ _ _ （4）5x2 3x2=_ _ _ _二、练一练、做一做：1、把下列各式分解因式：（1） （2）（3） （4）(ab)2 5(ab)362、将

12、下列各式因式分解（1） （2）（3） （4）3、将下列各式因式分解（1）； （2）2x2 5x2；（3）)3x2 7x6 ； （4）2x25xy2y24、用因式分解法列下列方程:（1）x2 + 2x3 = 0 （2）2x27x + 6 = 0（3）x(x2) = 3 （4） (2x3)2 + 3(2x3) + 2 = 0.分解因式 十字相乘法【基础知识精讲】(1)理解二次三项式的意义；(2)理解十字相乘法的根据；(3)能用十字相乘法分解二次三项式；(4)重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法【重点难点解析】1二次三项式多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，

13、bx为一次项，c为常数项例如，和都是关于x的二次三项式在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式同样，多项式，把xy看作一个整体，就是关于xy的二次三项式十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法2十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(axb)(cxd)竖式乘法法则它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且ab为一次项系数p，那么它就可以运用公式分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”公式中的

14、x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同(2)对于二次项系数不是1的二次三项式(a，b，c都是整数且a0)来说，如果存在四个整数，使，且，那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两

15、同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母如：3因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”【典型热点考

16、题】例1 把下列各式分解因式：(1)；(2)点悟：(1)常数项15可分为3 (5)，且3(5)2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(2y)(3y)，而(2y)(3y)(5y)恰为一次项系数解：(1)；(2)例2 把下列各式分解因式：(1)；(2)点悟：我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而解：(1)；(2)点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性例3 把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)点悟：(1)

17、把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；(2)提取公因式(xy)后，原式可转化为关于(xy)的二次三项式；(3)以为整体，转化为关于的二次三项式解：(1) (x1)(x1)(x3)(x3)(2) (xy)(xy)17(xy)2(xy)(xy1)(7x7y2)(3) 点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止例4 分解因式：点悟：把看作一个变量，利用换元法解之解：设，则原式(y3)(y24)90(y18)(y9)点拨：本题中将视为一个整体大

18、大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解例5 分解因式点悟：可考虑换元法及变形降次来解之解：原式，令，则原式点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节例6 分解因式点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(xy)的二次三项式方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式解法1： 解法2： (xy6)(xy1)例7 分解因式：ca(ca)bc(bc)ab(ab)点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分

19、组解：ca(ca)bc(bc)ab(ab)(ab)(ca)(cb)点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含ab的因式，从而能提公因式随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解例8 已知有一个因式是，求a值和这个多项式的其他因式点悟：因为是四次多项式，有一个因式是，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是（a、b是待定常数），故有根据此恒等关系式，可求出a，b的值解：设另一个多项式为，则， 与是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一个因式为点拨：这种方法

20、称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视【易错例题分析】例 分解因式：错解： 105(2)，515，551(2)23， 原式(5ab5y)(2ab5y)警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤正解： 515，105(2)，551(2)23 原式(ab5y)(5ab2y)【同步达纲练习】一、选择题1如果，那么p等于 ()Aab Bab Cab D(ab)2如果，则b为 ()A5 B6 C5 D63多项式可分解为(x5)(xb)，则a，b的值分别为 ()A10和2 B10和2 C10和2 D10和24不能用十

21、字相乘法分解的是 ()A BC D5分解结果等于(xy4)(2x2y5)的多项式是 ()A BC D6将下述多项式分解后，有相同因式x1的多项式有 ()； ； ； ； A2个 B3个 C4个 D5个二、填空题7_8(ma)(mb) a_，b_9(x3)(_)10_(xy)(_)1112当k_时，多项式有一个因式为(_)13若xy6，则代数式的值为_三、解答题14把下列各式分解因式：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)15把下列各式分解因式：(1)； (2)；(3)；(4)；(5)；(6)16把下列各式分解因式：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)17已知有因式2

22、x5，把它分解因式18已知xy2，xya4，求a的值参考答案【同步达纲练习】1D 2B 3D 4C 5A 6C7(x5)(x2) 81或6，6或1 92x110xy，x2y 11，a,122，3x1或x2 131714(1) 原式(2) 原式(3) 原式(4) 原式(5) 原式(6) 原式15(1) 原式(2) 原式(3) 原式(4) 原式(5) 原式(6) 原式16(1) 原式(2) 原式(3) 原式(4) 原式(5) 原式(6) 原式17提示：18 ，又 ，xya4， ，解之得，a7解一元二次方程(因式分解法)教学内容 用因式分解法解一元二次方程教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程通过

23、复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题重难点关键1重点：用因式分解法解一元二次方程2难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便教学过程一、复习引入 解下列方程（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2（2）直接用公式求解二、探索新知（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=

24、x（2x+1）， 3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例1解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2

25、因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0 x1=0，x2=（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0 x1=2，x2=4例2已知9a2-4b2=0，求代数式的值分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误解：

26、原式=9a2-4b2=0（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b当a=-b时，原式=-=3当a=b时，原式=-3三、应用拓展例3我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由xx而成，常数项ab是由-a（-b）而成的，而一次项是由-ax+（-bx）交叉相乘而成的根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式解（1）x

27、2-3x-4=（x-4）（x+1）（x-4）（x+1）=0 x-4=0或x+1=0 x1=4，x2=-1（2）x2-7x+6=（x-6）（x-1） （x-6）（x-1）=0x-6=0或x-1=0 x1=6，x2=1（3）x2+4x-5=（x+5）（x-1） （x+5）（x-1）=0x+5=0或x-1=0 x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法五、归纳小结本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次公式法是由配方法推

28、导而得到配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0第六课时 作业设计一、选择题1下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）A（x-3）（x-5）=102，x-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7B（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）（5x-3）=0，x1= ，x2=C（x+2）2+4x=0，x1=2，x2=-2Dx2=x 两边同除以x，得x=12下列命题方程kx2-x-2=0是一元二次方程；x=1与方程x2=1是同解方程；方

29、程x2=x与方程x=1是同解方程；由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个3如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）A- B-1 C D1二、填空题1x2-5x因式分解结果为_；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是_2方程（2x-1）2=2x-1的根是_3二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为_；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_三、综合提高题1用因式分解法解下列方程（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35

30、=02已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值3今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a20m）参考答案:一、1B 2A 3D二、1x（x-5），（x-3）（2x-5）2x1=，x2=13（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8三、1（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2（2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=-，y2=（3）（x-14）（x+2）=0 x1=14，

31、x2=-2（4）（x-7）（x-5）=0 x1=7，x2=52x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=13设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=1502x2-35x+150=0（2x-15）（x-10）=0， x1=7.5，x2=10，当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，当宽x=10时，长为15，因a20m，两根都满足条件十字相乘法解一元二次方程问题解答某些与一元二次方程有关的问题时，灵活应用十字相乘法，有时可独辟蹊径，化难为易，请看下面几例。例1. 若，一元二次方程的两个实数根中，较大的一个实根等于_。解：将已知方程变形，得， 。 。故所求的较大的一个实根等

32、于1。例2. 已知二次方程有两个相等的实数根，那么_。解：已知方程变形， 得，故。例3. 若关于x的方程的两个根都是比1小的正数，则实数m的取值范围是_。解：已知方程变形，得 ，又， 。故实数m的取值范围是。例4. 已知方程至少有一个整数根，则非负整数a=_。解：已知方程变形，得 ，当。当为整数时， 非负整数；当为整数时， 非负整数。故非负整数a=1，3，5。选学专题 因式分解与韦达定理一元二次方程是中学阶段的一个重要学习内容，求根公式揭示了一元二次方程中，两根与系数之间的密切关系，“根与系数的关系”进一步揭示了两者之间的关系一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系

33、是指一元二次方程的两根之和，两根之积与系数的关系，它以一元二次方程的求根公式为基础学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思路和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础第一节 分解因式【知识要点】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也作分解因式分解因式与整式乘法互为逆变形因式分解没有普遍的方法，常用的方法主要有提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法、拆项和添项法等提公因式法：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法

34、叫做提公因式法运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法分组分解法：把一个多项式分成几个部分分别因式分解，各个部分得到相同的因式作为整个多项式的公因式再提取出来的分解方法十字相乘法：对kx2mxn型的式子进行因式分解时，如果如果有kac，nbd，且有adbcm时，那么kx2mxn(axb)(cxd)十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中拆项、补项法：这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的

35、各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式十字相乘试一试，分组分解要合适”【复习要求】能够对一些常见代数式进行因式分解；利用因式分解判断代数式的符号；利用因式分解来对多项式进行分解因式，并求一些简单的方程的根掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式【例题分析】例1 分解因式：(1)x23x2；(2)x2

36、4x12；(3)x2(ab)xyaby2分析：一般的，对于二次三项式ax2bxc(a0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即aa1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式ax2bxc的一次项系数b，即a1c2a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与a2xc2之积，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)像这种借助十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中常画出十字交叉相乘的系

37、数表示解：(1)如图1，图1将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，x23x2(x1)(x2)(2)由图2，得x24x12(x2)(x6)图2(3)由图3，得x2(ab)xyaby2(xay)(xby)图3评析：1今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示(如图4所示)图42用十字相乘法把某些形如ax2bxc的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2a，c1c2c；在上式中，斜向的两个数必须

38、满足关系a1c2a2c1b，分解思路为“看两端，凑中间”(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项(3)二次项系数a一般都把它看做正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数)，只需把它分解成两个正的因数例2 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x22x1；(2)x24xy4y2分析：若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2)解：(1)令x22x1

39、0，则解得，(2)令x24xy4y20，则解得评析：本题解法利用的是因式定理：对于多项式f(x)0，如果f(a)0，那么f(x)必含有因式xa例如：f(x)x25x6，f(2)0，则可确定x2是x25x6的一个因式事实上，x25x6(x2)(x3)例3 将下列各式分解因式：(1)(x21)26(1x2)9；(2)(x24)216x2；(3)(x22x)22(x22x)1分析：可以运用公式法分解因式解：(1)(x21)26(1x2)9(x21)26(x21)9(x21)32(x24)2(x2)(x2)2(x2)2(x2)2；(2)(x24)216x2(x244x)(x244x)(x2)2(x2)

40、2；(3)(x22x)22(x22x)1(x22x1)2(x1)4评析：把(x21)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，体现了“换元”思想，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法，几个常用的公式：(1)a2b2(ab)(ab)； (2)a22abb2(ab)2；(3)a3b3(ab)(a2abb2)；(4)a3b3(ab)(a2abb2)；(5)a2b2c22ab2bc2ca(abc)2；(6)a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)例4 分解因式：x39x8(在有理数范围内分解)分析：可以运用拆项、添项

41、法分解解：原式x39x19(x31)9x9(x1)(x2x1)9(x1)(x1)(x2x8)另解：原式x39x8x3x2x29x8x2(x1)(x8)(x1)(x1)(x2x8)评析：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例5 已知，求的值分析：有效利用配方法，由已知条件求出ab，ab的值，然后通过通分把未知分式转化为ab，ab的代数式，从而由整体代入法来求出结果解：，ab2，ab3，评析：利用因式分解的公式法，把已知等式化为两个非负数的和，再求出隐含结论ab，

42、ab的值是解决此题的突破口利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知ab，ab的式子练习1(选学专题)1多项式2x2xy15y2的个因式为( )(A)2x5y (B)x3y(C)x3y(D)x5y2当二次三项式4x2kx250是完全平方式时，k的值是( )(A)20 (B)10(C)20(D)绝对值是20的数3若a4b，则对a的任何值多项式a23ab4b22的值( )(A)总是2 (B)总是0 (C)总是1(D)是不确定的值4在实数范围内分解因式：(1)x26x8； (2)8a3b3； (3)x22x1；(4)x25x3； (5)； (6)4x413x29；(7)3x24xyy2； (8)(

43、x22x)27(x22x)125ABC三边a，b，c满足a2b2c2abbcca，试判定ABC的形状6已知9a24b20，求代数式的值第二节 一元二次方程根的判别式及根系关系【知识要点】1对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是(1)当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根；(2)当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根；(3)当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可以由b24ac来

44、判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，有(1)当0时，方程有两个不相等的实数根 ；(2)当0时，方程有两个相等的实数根 ；(3)当0时，方程没有实数根2若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个实数根，则有；所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2bxc0(a0)的两根分别是x1，x2，那么， 这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x

45、2pxq0可化为x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以,x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此由已知两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1x2)xx1x20【复习要求】1掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题2利用根与系数的关系，会由已知一元二次方程的一个根，求另一个根，以及方程中的未知系数；利用根与系数的关系，会求已知一元二次方程两个根的倒数和与平方和3一元二次方

46、程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在高考中与此有联系的试题出现频率很高，是同学们应重点练习的重要内容【例题分析】例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根(1)x2ax(a1)0；(2)x22xa0分析：利用判别式和求根公式解决问题解：(1)由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当a2时，0，所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1(2)由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a)0，即a1时，