第三章 测量误差基本知识

1、 1. 1.对同一量多次观测，其观测值不相同。对同一量多次观测，其观测值不相同。 2.2.观测值之和不等于理论值观测值之和不等于理论值 三三 角角 形形 +180+180 闭合水准闭合水准 h0h0 3-1 3-1 观测误差的分类观测误差的分类一一. . 测量误差的发现测量误差的发现 等精度观测：观测条件相同的各次观测。等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。二二. . 测量误差产生的原因测量误差产生的原因1. 1. 仪器误差仪器误差2. 2. 观测者感官的限制观测者感官的限制( (观测误差）观测误差）3. 3. 外

2、界条件的影响外界条件的影响总称为观测条件。总称为观测条件。三三. . 测量误差的分类测量误差的分类特性特性: : 在相同的观测条件下，无论在个体和群体在相同的观测条件下，无论在个体和群体 上，呈现出以下特性：上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 （一）（一）. .系统误差系统误差-累积误差累积误差 例例 ：钢尺：尺长、温度、倾斜改正：钢尺：尺长、温度、倾斜改正 水准

3、仪水准仪：i i角角 经纬仪经纬仪：2c2c、i i角角观测值的准确度：观测值的准确度： 指观测值偏离真值的程度。指观测值偏离真值的程度。 系统误差对其有较大的影响。系统误差对其有较大的影响。 消除方法消除方法:1.:1.校正仪器；校正仪器； 2.2.观测值加改正数；观测值加改正数； 3.3.采用一定的观测方法加以抵消或削弱。采用一定的观测方法加以抵消或削弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向，都没有表现出一致的倾向， 即没有任何规律性，

4、这即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。类误差称为偶然误差。（二）（二）. . 偶然误差偶然误差（三）、误差处理原则（三）、误差处理原则1. 1.粗差：增加多余观测，舍弃含有粗差的观测值，并粗差：增加多余观测，舍弃含有粗差的观测值，并 重新进行观测。重新进行观测。 2.2.系统误差系统误差: :按其产生的原因和规律加以改正、抵消按其产生的原因和规律加以改正、抵消 和削弱。和削弱。3.3.偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据，减偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据，减 少其影响。少其影响。 对对358358个三角形在相同的观个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角测条件下观测了全

5、部内角，三角形内角和的误差形内角和的误差 i i I I=三角形内角和三角形内角和( (测量值）测量值）-180-180 其结果如表其结果如表 分析三角形内角和的误差分析三角形内角和的误差 I I的的规律。规律。四、偶然误差的特性四、偶然误差的特性 误差区间 负误差负误差 正误差正误差 误差绝对值误差绝对值 d d K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 45 0.1260.126 46 46 0.1280.128 91 0.254 91 0.254 36 36 40 40 0.1120.112 41 41 0.1150.115 81 0.226

6、 81 0.226 69 33 69 33 0.0920.092 33 33 0.0920.092 66 0.184 66 0.184 912 23 912 23 0.0640.064 21 21 0.0590.059 44 0.123 44 0.123 12151215 17 17 0.0470.047 16 16 0.0450.045 33 0.092 33 0.092 15181518 13 13 0.0360.036 13 13 0.036 0.036 26 0.073 26 0.073 18211821 6 6 0.0170.017 5 5 0.0140.014 11 0.031 1

7、1 0.031 2124 4 2124 4 0.0110.011 2 2 0.0060.006 6 0.017 6 0.017 2424以上以上 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 181 0.505 177 0.495 358 1.0001.000 偶然误差的计 算在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。（有界性）一定的限度。（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）要多；（密集性、区间性）偶然误差的特性偶然误差

8、的特性绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可 相互抵消；相互抵消；同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均 值，随着观测次数的增加而趋近于零，即。（抵偿性）值，随着观测次数的增加而趋近于零，即。（抵偿性） 0limnn -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24X=X= 偶然误差服从正态分布偶然误差服从正态分布dnky/)(xf正态分布曲线的数学方程式正态分布曲线的数学方程式22221)(efynnnnn.2222122limlim方差：方差：标准差：标

9、准差：nnnnlimlim2 1. 1.提高仪器等级提高仪器等级 2.2.进行多余观测、求平差值。进行多余观测、求平差值。 观测值的精度观测值的精度 观测值的离散程度，主要取决于观测值的离散程度，主要取决于偶然误差的影响。偶然误差的影响。减弱偶然误差的方法减弱偶然误差的方法 3-2 3-2 衡量精度的标准衡量精度的标准 为对观测值的精度作出科学的评为对观测值的精度作出科学的评定，常用定，常用中误差中误差、极限误差极限误差、相对相对误差误差作为评定精度的标准。作为评定精度的标准。一一. . 中误差中误差定义定义 : :在相同条件下，对某量（真值为在相同条件下，对某量（真值为X X）进行进行n n

10、次观测，观测值次观测，观测值L L1 1， L L2 2，L Ln n，偶然误差（真误差）偶然误差（真误差）1 1，2 2，n n，则方差的定义为：，则方差的定义为： 按有限次观测的偶然误差求得的标按有限次观测的偶然误差求得的标准差称为中误差。准差称为中误差。nnlim2nm 实际工作中，由于实际工作中，由于n n值总是有限的，故使用值总是有限的，故使用 的的 估值常由中误差估值常由中误差mm表达，即：表达，即：式中：式中：2232221.n中误差越小，观测精度越高。中误差越小，观测精度越高。 例例 已知：用甲乙两台仪器对同一角各观测十已知：用甲乙两台仪器对同一角各观测十次，其真误差为：次，其

11、真误差为： 甲：甲：- 3- 3，22，44，2 2， 1 , 01 , 0， - 4- 4，33，22，-3-3。 （2424） 乙：乙：00， 11， -7 -7 ， 11， - 2- 2， -1-1，1, 8 1, 8 ， 00， 3 3 。（。（2424） 求：求：mm甲甲，mm乙乙7 . 21072 甲m6 . 310130 乙m解：解：按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差第一组观测第二组观测次序观测值 l2观测值 l211800003-3918000000021800002-241595959+1131795958+241800007-74941795956+416

12、1800002-2451800001-111800001-1161800000001795959+1171800004-4161795952+86481795957+3918000000091795958+241795957+39101800003-391800001-11|247224130中误差 7.221nm 6.322nm 例例 已知：七个三角形的闭合差已知：七个三角形的闭合差f f为：为： -3-3，-2-2，88，-5-5，-2-2， 55，-9-9 求：三角形闭合差的中误差求：三角形闭合差的中误差mmf f5.57212 nffmf解：解：180f其真值其真值X X应等于应等于0

13、 0。闭合差的真误差闭合差的真误差所以所以0iiifXf 测量中通常取测量中通常取2 2倍或倍或3 3倍中误差作为偶然倍中误差作为偶然误差的容许误差，即误差的容许误差，即容容=2=2mm 或或 容容=3=3mm 。二二. .极限误差（容许误差）极限误差（容许误差）定义定义 ：由偶然误差的特性可知，在一定的观测：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是值。这个限值就是极限误差极限误差。通常以。通常以3 3倍中误差倍中误差为真误差极限误差的估值，即为真误差极限误差的估值，即 极极33mm 。极限误差的作用：区

14、别误差和错误的界限。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。误差出现的概率误差出现的概率22221)(0 xexf则若9973. 0)(9545. 0)(6826. 0)()(3322xfxfXPxf 相对误差相对误差K K 是中误差的绝对值是中误差的绝对值 mm 与相与相应观测值应观测值 D D 之比，通常以分母为之比，通常以分母为1 1的分式的分式来表示，称其为相对（中）误差。即来表示，称其为相对（中）误差。即: :mDDmk1三三. .相对误差相对误差中误差和真误差均是绝对误差。中误差和真误差均是绝对误差。相对误差相对误差 k :k : 例例 已知：已知：D D1 1=100m, m=10

15、0m, m1 1=0.01m0.01m D D2 2=200m, m=200m, m2 2=0.01m0.01m 求：求： K K1 1, K, K2 2 解：解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK : : 角度，高差的误差用角度，高差的误差用mm表示、量距误差表示、量距误差用用K K表示。表示。 在距离量测中，常用往返测量结果的较在距离量测中，常用往返测量结果的较差率来进行检核。较差率为：差率来进行检核。较差率为：DDDDDDD平均平均平均返往1 较差率是真误差的相对误差。较差率愈较差率是真误差的相对误差。较差率愈小，观测结果愈可靠。小，观测结果

16、愈可靠。较差率较差率 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测了n n次，观测值为次，观测值为l l1 1、l l2 2l ln n，中误差为，中误差为mm1 1、mm2 2 mmn n，则其算术平均值（最或然值、，则其算术平均值（最或然值、似真值）为：似真值）为： nlnlllxn 213-3 3-3 观测值的算术平均值及中误差观测值的算术平均值及中误差一一. . 算术平均值（最或然值、似真值）算术平均值（最或然值、似真值） 设未知量的真值为设未知量的真值为X X，可写出观测值的真，可写出观测值的真误差公式为误差公式为: :)(2121nnlllnX lnX nlX

17、nx观测值的算术平均值x算术平均值真误差推导过程nnlXlXlX.2211（i=1，2，n）将上列等式相加将上列等式相加:则有：则有：由偶然误差第四特性知道，当观测次数由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，无限增多时，xx趋近于零，趋近于零，即即 n n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 xxX0limxn nlnlllxn 21二、观测值的改正值二、观测值的改正值观测值的改正值：算术平均值与观测值观测值的改正值：算术平均值与观测值 之差称为观测值的改之差称为观测值的改 正数正数v。nnlxvlxvlxv.22110lnlnvlxnv三、按观测值的改正

18、值计算中误差三、按观测值的改正值计算中误差nm第一公式第一公式条件：条件：X（观测值（观测值 真值）已知真值）已知第二公式第二公式 其中其中 v vi i观测值改正数观测值改正数 1nvvm条件：条件：X X（观测值真值）未知，（观测值真值）未知，x x（算术平均值）已知（算术平均值）已知iilxv观测值观测值平均值平均值nm1nvv证明：证明：iilxviilX （i=1i=1，2 2，3 3，n n）两式相减，有：两式相减，有：)(xXvii)()()(2211xXvxXvxXvnn 即即将上列等式两端各自平方，并求其和，则将上列等式两端各自平方，并求其和，则 2)()(2xXnvxXvv

19、将将 代入上式，则代入上式，则 2)(xXnvvn 0v)(iilX 所以：所以： 213121222221222)(2)(nnnxXnnn nnlXnlXxX由于由于 为偶然误差，它们的非自乘为偶然误差，它们的非自乘积积 仍具有偶然误差的性质，仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即根据偶然误差的特性，即n ,210lim13121nnnn代回原式中，得代回原式中，得故故即即 21) 1(mnvvnvvnnnvv证毕证毕nn 13121, 2222)(nnxX得得按观测值的改正数计算中误差按观测值的改正数计算中误差 次序观测值 l改正数 vvv1123.457-5252123.450+2

20、43123.453-114123.449+395123.451+11S123.452040毫米16. 3232. 61540452.1230mll小结小结一、已知真值一、已知真值X X，则真，则真误差误差 一、真值不知，则一、真值不知，则 iilX nmilxivnlx1nvvm二、中误差二、中误差二、中误差二、中误差白塞尔公式白塞尔公式二二. .用改正数用改正数v 计算计算算术平均值算术平均值（或然值）中误差（或然值）中误差MMx xn1) 1(nnvvnmMx算术平均值中误差算术平均值中误差为观测值的中误差为观测值的中误差的的 倍，即倍，即:算术平均值中误差与观测次数的关系算术平均值中误差

21、与观测次数的关系概念概念 ：在间接观测的情况下，未知量的中在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值中误差之间必有一定的关系，误差和观测值中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律为阐述这种关系的定律为误差传播定律误差传播定律。即阐。即阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律称为系的定律称为误差传播定律误差传播定律。 1nvvnm3-4 3-4 误差传播定律误差传播定律求直接观测值的中误差求直接观测值的中误差一、观测值的函数一、观测值的函数yxz（一）、和差函数：（一）、和差函数： 和差函数的中误差：和差函数的中误差：222yxzmmm1. 1.

22、和差函数的中误差和差函数的中误差例如：例如： 用用30m30m的钢尺丈量一段的钢尺丈量一段240m240m的距离，的距离， 共量共量8 8尺段。尺段。 设每一尺段丈量的中误差为设每一尺段丈量的中误差为5mm5mm， 则丈量全长则丈量全长D D的中误差：的中误差：)(1485mmmD821.lllD例如：两点间的水平距离例如：两点间的水平距离D D分为分为n n段来丈量，段来丈量， 各段量得的长度分别为各段量得的长度分别为d d1 1,d,d2 2,d,dn n， 则：则： D Dd d1 1+d+d2 2+d+dn n 即距离即距离D D是各分段观测值是各分段观测值d d1 1,d,d2 2,

23、d,dn n 之和。这种函数称为之和。这种函数称为和差函数和差函数。 22221nzmmmm 例例 三角形中，已知：三角形中，已知：A A、B B角的中误差为角的中误差为 mmA A 、mmB B，求：，求：C C角中误差角中误差mmC C。 解：解： ，C C角是直接观测值角是直接观测值A A、 B B角的函数。角的函数。 mmC C = ?= ? 例例 高差测定中的高差测定中的 ，h h是直接观测是直接观测 值值a a、b b的函数。的函数。bahBAC180（二）、（二）、倍函数的中误差倍函数的中误差倍函数的中误差：倍函数的中误差： 倍函数的函数式倍函数的函数式: :kxz xzkmm

24、例如：在比例尺为例如：在比例尺为l l：500500的地形图上量得的地形图上量得 某两点间的距离某两点间的距离d d134.7mm134.7mm，图，图 上量距的中误差上量距的中误差mmd d=土土0.2mm0.2mm， 则换算为实地两点间的距离则换算为实地两点间的距离D D及其及其 中误差中误差mmD D为：为：dDMmm 解：解：dMD 用尺子在用尺子在l l：10001000的地形图上量得两的地形图上量得两点间的距离点间的距离d,d,其相应的实地距离其相应的实地距离: : D Dl000dl000d 则则D D是是d d的倍函数。的倍函数。 例：例：量距中误差：mD D=1000md d

25、二二. .线性函数及中误差线性函数及中误差设线性函数的一般式为：设线性函数的一般式为：式中：式中： 为系数；为系数； 为独立观测值。为独立观测值。当观测值的中误差分别为当观测值的中误差分别为 时，时，将函数式全微分，写成中误差的形式，按误将函数式全微分，写成中误差的形式，按误差传播定律，函数差传播定律，函数 z z 的中误差用下式计算：的中误差用下式计算： nnxkxkxkxkz 332211ikixnmmmm,321 22332222112)()()()(nnzmkmkmkmkm 误差传播定律误差传播定律算术平均值算术平均值 已知：已知：求：求：mmx x nlllxn21) 1(1)1()

26、1()1(1112222221221nnmnmmnmnmnmnmdlndlndlndxnxnnmmm.21设非线性函数的一般式为：设非线性函数的一般式为：式中：式中： 为独立观测值；为独立观测值； 为独立观测值的中误差。为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用求函数的全微分，并用“”替代替代“d”d”，得，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121三三. .一般函数一般函数式中：式中： 是函数对是函数对 的偏导数，的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：因此

27、上式是线性函数，其中误差为：ixf), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 1. 1.列出观测值函数的表达式：列出观测值函数的表达式： 2.2.对函数式全微分，得出函数的真误差与对函数式全微分，得出函数的真误差与 观测值真误差之间的关系式：观测值真误差之间的关系式： 式中，式中， 是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZxfxfxf )()()(2121)(ixf求观测值函数中误差的步骤和方法求观测值函数中误差的步骤和方法 3. 3.写出函数

28、中误差与观测值中误差之间的写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：关系式： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值，其真误差之间须观测值必须是独立观测值，其真误差之间须满足下式，即满足下式，即 4.4.计算观测值函数中误差计算观测值函数中误差22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 0limnyxn 例例 已知：测量矩形的两边已知：测量矩形的两边a=20.00a=20.000.02m, 0.02m, b=50.00b=50.000.04m0.04m 求：矩形面积求：矩形面积A A及其中误差及其中误差mmA A 解

29、：解：1. 1.函数式函数式 A=aA=ab b 2. 2.全微分全微分 3.3.中误差式中误差式 （mm）222)()(baAmambm22)04. 020()02. 050(28. 164. 1AmdbadAbdbbAdaaAdA 例例 已知：测量斜边已知：测量斜边D=50.00D=50.000.05m0.05m，测得倾角测得倾角=15=15000000003030 求：水平距离求：水平距离D D 解：解：1. 1.函数式函数式 2.2.全微分全微分 3.3.化为中误差化为中误差 （mm） dDDdDd)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD048. 0Dm一一. . 不等精度观测值的权不等精度观测值的权 各非等精度观测值的可靠程度，可用一各非等精度观测值的可靠程度，可用一个数值来表示，称其为各观测值的个数值来表示，称其为各观测值的权权。 3-6 3-6 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差权的概念权的概念：“权权”是权衡轻重的意思，表示是权衡轻重的意思，表示观观 测结果质量的可靠程度。测结果质量的可靠程度。 观测值的精度愈高，其权愈大。