35.关于数列{(1+1÷n)^n}的三个问题

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明关于数列(1+)n的三个问题利用指数、对数不等式研究数列(1+)n 数列(1+)n是微积分中的一个重要数列,也是高考命题的一个重要支点,利用指数、对数不等式可以解决该数列的三个问题.母题结构:己知数列an:an=(1+)n和bn=(1+)n+1(nn,n1),则:()(单调性)an+1an,bn+1bn;()(有界性)ane-1)f(x)=在(-1,0)和(0,+)上递减(由(x)= -ln(1+x)f()(n+1)ln(1+)nln(1+)an+1an;g(x)=在(-1,0)和(0,+)

2、上递增(由(x)=x-ln(1+x)0,即证)g()g()(n+2)ln(1+)(n+1)ln(1+)bn+1bn;()由ln(1+x)x(令x=)ln(1+)nln(1+)1(n+1)ln(1+)anebn;()由(1+)n+ae(n+a)ln(1+)1a-n;令x=(0,1,f(x)=-,则(x)=-+=ln2(1+x)-,由0ln(1+x)(x)0f(x)在(0,1上单调递减fmin(x)=g(1)=-1a的最大值=-1;由0)f(x)=-anp;()an+1anp.解析:令g(x)=ln(x+1)-(0x1),则()当p0g(x)g(0)=0(x)=-ln(x+1)+f()an+1an

3、;同理可证().点评:本题是对数列an单调性的最佳加强,关于数列an的单调性问题也应是高考的一个命题点. 2.有界性 子题类型:(2007年四川高考试题)设函数f(x)=(1+)x(nn,且n1,xr).()当x=6时,求(1+)x的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明:(x)(x)是f(x)的导函数);()是否存在an,使得an(a+1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.解析:()最大的项是第4项,这项是c63()3=;()由(x)=(1+)xln(1+),f(2x)+f(2)=(1+)2x+(1+)22=2(1+)x(1+);又由ln(1+

4、x)xln(1+)2(1+)xln(1+)=2(x);()由an+1anana1=2,又由ane32n3n,即存在a=2,使得an(a+1)n恒成立.点评:数列an的有界性,即2an(x)-=-0f(x)在(-1,0)上单调递增;当x(0,+)时,由ln(1+x)(x)-=-0f(x)在(0,+)上单调递减; ()a的最大值=-1.点评:关于数列an有界性的最优解,应掌握最大值的求法,而最小值的求法是一个难点问题. 4.子题系列:1.(2015年湖北高考试题)已知数列an的各项均为正数,bn=n(1+)nan(nn+),e为自然对数的底数.()求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较(1

5、+)n与e的大小;()计算,由此推测计算的公式,并给出证明;()令cn=(a1a2an,数列an,cn的前n项和分别记为sn,tn,证明:tn-1时,(1+x)m1+mx;()对于n6,已知(1-)n,求证:(1-)n()m,m=1,2,n;()求出满足等式3n+4n+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n. 5.子题详解:1.解:()由(x)=1-exf(x)在(-,0)上递减,在(0,+)上递增exx+1,令x=(1+)ne;()=2,=32,=43,由此推测:=(n+1)n(用数学归纳法易证);()由ck=(a1a2ak=(-)(b1+b2+bk)tn(1-)b1+(-)(b1+b2)+(-)(b1+b2+bn)=(1-)b1+(-)b2+(-)bn+=(1+)1a1+(1+)2a2+(1+)nanesn.2.解:()略;()由(