第5章 互感耦合电路

1、 耦合电感和理想变压器是构成实际变压器电路耦合电感和理想变压器是构成实际变压器电路模型的必不可少的元件。在实际电路中，如收音机、模型的必不可少的元件。在实际电路中，如收音机、电视机中使用的中周、振荡线圈，在整流电源里使电视机中使用的中周、振荡线圈，在整流电源里使用的变压器等，都是耦合电感与变压器元件。用的变压器等，都是耦合电感与变压器元件。 在本章中，将介绍它们的伏安关系和含此类元在本章中，将介绍它们的伏安关系和含此类元件的电路的分析方法。件的电路的分析方法。5.15.1互感互感 在交流电路中，如在交流电路中，如果在一个线圈的附近还果在一个线圈的附近还有另一个线圈，有另一个线圈， 当其中当其中

2、一个线圈中的电流变化一个线圈中的电流变化时，不仅在本线圈中产时，不仅在本线圈中产生感应电压，而且在另生感应电压，而且在另一个线圈中也要产生感一个线圈中也要产生感应电压，这种现象称为应电压，这种现象称为互感现象，由此而产生互感现象，由此而产生的感应电压称为互感电的感应电压称为互感电压。这样的两个线圈称压。这样的两个线圈称为互感线圈。为互感线圈。图图 5-1 磁通互磁通互感的耦合电感感的耦合电感i2i1 12 21 11 22一、互感系数的定义一、互感系数的定义 如图如图5-1，类似于自感系数的定义，互感，类似于自感系数的定义，互感系数的定义为系数的定义为 为讨论方便，规定每个线圈的电压、电流为讨

3、论方便，规定每个线圈的电压、电流取取关联参考方向关联参考方向，且每个线圈的电流的参考方，且每个线圈的电流的参考方向和该电流所产生的磁通的参考方向符合向和该电流所产生的磁通的参考方向符合右手右手螺旋法则螺旋法则。M21= 21i1 12i2M12=(5-1a)(5-1b) 式（式（5-1a）表明线圈）表明线圈1对线圈对线圈2的互感系数的互感系数 ，等于，等于穿过线圈穿过线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的电流中的电流之比。式（之比。式（5-1b）表明线圈）表明线圈2对线圈对线圈1的互感系数的互感系数 ，等于穿过线圈等于穿过线圈1的互感磁链与激发该磁链线圈的互感磁链

4、与激发该磁链线圈2中的电中的电流之比，可以证明流之比，可以证明M21=M12=M 所以，我们以后不再加下标，一律用表示两线圈所以，我们以后不再加下标，一律用表示两线圈的互感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也的互感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利（是亨利（H H）。）。 两个互感线圈的构成和相对位置确定时，线圈间两个互感线圈的构成和相对位置确定时，线圈间的互感的互感M M是线圈的固有参数。是线圈的固有参数。M M的大小它取决于两个线的大小它取决于两个线圈的匝数、几何尺寸、相对位置和磁介质。当磁介质圈的匝数、几何尺寸、相对位置和磁介质。当磁介质为非铁磁性介质时，为非铁磁性介质时

5、，M M是常数，本章讨论的互感是常数，本章讨论的互感M M均为均为常数。常数。 一般情况下，两个耦合线圈的电流所产生的磁通一般情况下，两个耦合线圈的电流所产生的磁通，只有部分磁通相互交链，彼此不交链的那部分磁通，只有部分磁通相互交链，彼此不交链的那部分磁通称为漏磁通。两耦合线圈相互交链的磁通越大，说明称为漏磁通。两耦合线圈相互交链的磁通越大，说明两个线圈耦合得越紧密。为了表征两个线圈耦合的紧两个线圈耦合得越紧密。为了表征两个线圈耦合的紧密程度，通常用密程度，通常用耦合系数耦合系数K来表示。来表示。 由上式可知，由上式可知，0 K 1， K值越大，说明两个线值越大，说明两个线圈之间耦合越紧。当圈

6、之间耦合越紧。当 K= 1称称全耦合全耦合；K = 0时，说明时，说明两线圈没有耦合。两线圈没有耦合。k=ML1L2 1(5-2) 耦合系数耦合系数 的大小与两线圈的结构、相互位置以的大小与两线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。及周围磁介质有关。 改变或调整两线圈的相互位置，可以改变耦合系改变或调整两线圈的相互位置，可以改变耦合系数数 的大小。在工程上有时为了避免线圈之间的相互的大小。在工程上有时为了避免线圈之间的相互干扰，应尽量减小互感的作用，除了采用磁屏蔽方法干扰，应尽量减小互感的作用，除了采用磁屏蔽方法外，还可以合理布置线圈的相互位置。在电子技术和外，还可以合理布置线圈的相互位置。在

7、电子技术和电力变压器中，为了更好地传输功率和信号，往往采电力变压器中，为了更好地传输功率和信号，往往采用极紧密的耦合，使用极紧密的耦合，使 值尽可能接近值尽可能接近 ，一般都采用铁，一般都采用铁磁材料制成芯子以达到这一目的。磁材料制成芯子以达到这一目的。 如果选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考如果选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方向符合右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，结合方向符合右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，结合式式(52)，有，有tiMtutiMtu2121212121dddddddd 当线圈中的电流为正弦交流时，有当线圈中的电流为正弦交流时，有2.M2.12.1.M1.21

8、.m212m121m22m11IXIMUIXIMU)2tsin(MIu)2tsin(MIutsinIi, tsinIijjjj 1. 同名端同名端 具有磁耦合的两线圈，当电流分别从两线圈各自具有磁耦合的两线圈，当电流分别从两线圈各自的某端同时流入（或流出）时，若两者产生的磁通相的某端同时流入（或流出）时，若两者产生的磁通相助，则这两端叫作互感线圈的同名端，用黑点助，则这两端叫作互感线圈的同名端，用黑点“.”或或星号星号“*”作标记，未用黑点或星号作标记的两个端子作标记，未用黑点或星号作标记的两个端子也是同名端。也是同名端。12i1u212111(a)ABCD12i1u212111(b)ABCD

9、图图5-2 5-2 互感电压的方向与线圈绕向的关系互感电压的方向与线圈绕向的关系 同名端总是成对出现的，如是有两个以上的线圈同名端总是成对出现的，如是有两个以上的线圈彼此间都存在磁耦合时，同名端应一对一对地加以标彼此间都存在磁耦合时，同名端应一对一对地加以标记，每一对须用不同的符号标出。记，每一对须用不同的符号标出。A(a)B*CD*1234*56*(b)图图5-3 5-3 几种互感线圈的同名端几种互感线圈的同名端2 .同名端的测定同名端的测定 对于难以知道实际绕向的两线圈，可以采用实验对于难以知道实际绕向的两线圈，可以采用实验的方法来测定同名端。的方法来测定同名端。RSUSAiL1CL2DB

10、mV图图5-4 测定同名端的实验电路测定同名端的实验电路 同名端确定后，互感电压的极性就可以由电流对同名端确定后，互感电压的极性就可以由电流对同名端的方向来确定，即互感电压的极性与产生它的同名端的方向来确定，即互感电压的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端是一致的。变化电流的参考方向对同名端是一致的。 i1u12i2M(a)ABCDi1u12i2M(b)ABCD图图5-5 互感线圈的电路符号互感线圈的电路符号 在互感电路中，线圈端电压是自感电压与互感电在互感电路中，线圈端电压是自感电压与互感电压的代数和，即压的代数和，即 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 1.2

11、.22.2.1.11.IMjILjUIMjILjU 或或 例例5-15-1 写出下图写出下图(a) (a) 、(b)(b)所示互感线圈端电压所示互感线圈端电压u u1 1和和u u2 2的表达式。的表达式。i1u1L1u2L2i2M(a)i1u1L1u2L2i2M(b)例例5-15-1电路图电路图解解 对于图对于图(a),(a),有有 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 对于图对于图(b)(b)，同样可得，同样可得dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 例例5-25-2 电路如图所示电路如图所示, , 试确定开关打开瞬间试确定开关打开瞬间, c,

12、 c、 d d间电压的真实极性。间电压的真实极性。 例例5-25-2电路图电路图Miabcdu2122ERK 解解 假定假定i i及互感电压及互感电压u21u21的参考方向如图所示的参考方向如图所示, , 则根据同名端的定义可得则根据同名端的定义可得dtdiMu21 当当K K打开瞬间打开瞬间, , 正值电流减小正值电流减小, , , , 故知故知u210, u21Lf，LsLf，当外加相同正弦电压时，顺向串联时的电，当外加相同正弦电压时，顺向串联时的电流小于反向串联时的电流。根据流小于反向串联时的电流。根据Ls和和Lf可以求出两线可以求出两线圈的互感圈的互感M为为4LLMfs (5(55)5

13、) 例例5-3 将两个线圈串联接到将两个线圈串联接到50Hz、60V的正弦的正弦电源上，顺向串联时的电流为电源上，顺向串联时的电流为2A，功率为，功率为96W，反向串联时的电流为反向串联时的电流为2.4A，求互感，求互感 M。 解解 顺向串联时，可用等效电阻顺向串联时，可用等效电阻R=R1+R2和等和等效电感效电感Ls=L1+L2+2M相串联的电路模型来表示。相串联的电路模型来表示。根据已知条件，得根据已知条件，得 1824)260(R)IU(L24296IPR2222ss22s 057. 050218Ls 反向串联时，线圈电阻不变，由已知条件反向串联时，线圈电阻不变，由已知条件可求出反向串联

14、时的等效电感可求出反向串联时的等效电感 m75. 84022. 0057. 04LLM022. 05027L724)4 . 260(R)IU(Lfsf2222ff 所以得所以得 互感线圈的并联也有两种接法，一种是两个线圈互感线圈的并联也有两种接法，一种是两个线圈的同名端相连，称为同侧并联，如图的同名端相连，称为同侧并联，如图5-7(a)所示；另所示；另一种是两个线圈的异名端相连，称为异侧并联，如图一种是两个线圈的异名端相连，称为异侧并联，如图5-7(b)所示。所示。L2M(a)I2L1I1UIL2M(b)I2L1I1UI图图5-7 5-7 互感线圈的并联互感线圈的并联 1.同侧并联同侧并联 当

15、两线圈同侧并联时，在图当两线圈同侧并联时，在图5-7(a)所示的电压、所示的电压、电流参考方向下，由电流参考方向下，由KVL有有2.1.1.2.2.2.1.1.IIIIMjILjUIMjILjU 由电流方程可得由电流方程可得 , 将其将其分别代入电分别代入电 压方程中，则有压方程中，则有 2.1.1.2.III,III .2.22.2.2.1.11.1.1.IMjI)ML(j)II(MjILjUIMjI)ML(j)II(MjILjU 根据上述电压、电流关系，按照等效的概念，图根据上述电压、电流关系，按照等效的概念，图5-7(a)所所示具有互感的电路就可以用图示具有互感的电路就可以用图5-8(a

16、)所示无互感的电路来等效，所示无互感的电路来等效，这种处理互感电路的方法称为互感消去法。图这种处理互感电路的方法称为互感消去法。图5-8(a)称为图称为图5-7(a)的去耦等效电路。由图的去耦等效电路。由图5-8(a)可以直接求出两个互感线圈可以直接求出两个互感线圈同侧并联时的等效电感为同侧并联时的等效电感为MLLMLLL22同理可以推出互感线圈异侧并联的等效电感为同理可以推出互感线圈异侧并联的等效电感为MLLMLLL22(a)UIL1 ML2 MMI1I2(b)UIL1 ML2 MI1I2M其异侧并联的去耦等效电路如图其异侧并联的去耦等效电路如图5-8(b)所示。所示。 图图5-8 并联互感

17、线圈的去耦等效电路并联互感线圈的去耦等效电路 耦合电感的串联去耦等效属于二端电路等效，而耦合电感的串联去耦等效属于二端电路等效，而下面讨论的三个支路共一个节点，其中两支路存在互下面讨论的三个支路共一个节点，其中两支路存在互感的电路等效，即感的电路等效，即T型去耦等效属于多端等效。型去耦等效属于多端等效。1M(a)L1L223I1I21M(b)L1L223I2I11(c)L1 M23I1ML2 MI21(d)L1 M23I2L2 MM图图5-9 5-9 一端相连的互感线圈及其一端相连的互感线圈及其T T型去耦等效电路型去耦等效电路 图图5-9(a)为同名端相连的情况，在图示参考方为同名端相连的情

18、况，在图示参考方向下，可列出其端钮间的电压方程为向下，可列出其端钮间的电压方程为 利用电流利用电流 的关系式可将式的关系式可将式(56)变变换为换为 2.1.III1.2.2.232.1.113.IMjILjUIMjILjU(5(56)6) .2.223.1.113.)()(IMjIMLjUIMjIMLjU(5(57)7) 由式由式(57)可得如图可得如图5-9(c)所示的去耦等效电路。所示的去耦等效电路。 同理，两互感线圈异名端相连的情况图同理，两互感线圈异名端相连的情况图5-9(b)可可等效为如图等效为如图5-9(d)所示的去耦等效电路。所示的去耦等效电路。 解解 当当cd端开路时，端开路

19、时，线圈线圈2中无电流，因此，中无电流，因此，在线圈在线圈1中没有互感电压中没有互感电压。以。以ab端电压为参考，端电压为参考，电压电压 例例5-4 如图所示的互感电路中，如图所示的互感电路中，ab端加端加10V的的正弦电压，已知电路的参数为正弦电压，已知电路的参数为R1=R2=3，L1=L2=4,M=2。 求求 cd端的开路电压。端的开路电压。 aI1R2cbdUabL2L1R1MUcd例例5-45-4图图VUoab0/10.A1 .53/24j30/10LjRUIoo1.ab1. 由于线圈由于线圈2中没有电流，因而中没有电流，因而L2上无自感电压。上无自感电压。但但L1上有电流，因此线圈上

20、有电流，因此线圈2中有互感电压，根据电流中有互感电压，根据电流对同名端的方向可知，对同名端的方向可知，cd端的电压端的电压V3 .10/4 .13109 .36/4101 .53/2jUIMjUoooab.1.cd. 对于没有直接电联系的，但存在磁耦合的两线对于没有直接电联系的，但存在磁耦合的两线圈，在相对位置和周围媒质一定时，其互感系数圈，在相对位置和周围媒质一定时，其互感系数M和和耦合系数耦合系数K的测定可依照下列方法进行。的测定可依照下列方法进行。图图5-10 5-10 互感系数互感系数M M和耦合系数和耦合系数K K的测定的测定(1)等值电感法互感系数等值电感法互感系数M和耦合系数和耦

21、合系数K。 用此方法测互感系数用此方法测互感系数M和耦合系数和耦合系数K，先要用万用表测出，先要用万用表测出L1 、L2 的电阻，再把的电阻，再把L1 、L2 接入低压交流电流（接入低压交流电流（5v左右）左右）电路，测出每一线圈的电流电路，测出每一线圈的电流I和电压和电压U，算出，算出Z。若。若R较小时，较小时，可以把阻抗可以把阻抗Z看为感抗看为感抗XL，再算出，再算出L。 图图5-10顺向串接时。等效电感顺向串接时。等效电感L正正 = L1 +L2 +2M 反向串反向串接时，等效电接时，等效电L反反= L1+L2-2M ，则互感系数，则互感系数 再用公式再用公式 ， 可求出可求出K。 L

22、LMK21 ）反反正正LLM (41 此方法准确度不高，用特别是此方法准确度不高，用特别是L正正和和L反反相近时，误差最大相近时，误差最大。（可以用两个不同的耦合铁心线圈来做实验。）。（可以用两个不同的耦合铁心线圈来做实验。）(2)互感电势法测互感系数互感电势法测互感系数M和耦合系数和耦合系数K 在图在图5-2-95-2-9中中 ，具有互感，具有互感M M，而自感分别为，而自感分别为L L1 1和和L L2 2的两个的两个线圈，线圈线圈，线圈L L1 1中通入正弦电流中通入正弦电流I I1 1时，线圈时，线圈L L2 2中的互感电压中的互感电压1212IMU 则则1221I/UM 可以证明可以

23、证明MMM2112 显然，电压表内阻越大，测定结果越准。显然，电压表内阻越大，测定结果越准。测得互感系数测得互感系数M M和互感系数和互感系数L L后，可计算耦合系数后，可计算耦合系数K K。5.3 5.3 空芯变压器空芯变压器电路的分析电路的分析 变压器是一种利用互感耦合实现能量传输和信号变压器是一种利用互感耦合实现能量传输和信号传递的电气设备。传递的电气设备。 变压器通常有一个初级绕组和一个次级绕组，初变压器通常有一个初级绕组和一个次级绕组，初级绕组接电源，次级绕组接负载，能量可以通过磁场级绕组接电源，次级绕组接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。它通常由一个初级线圈的耦合，由

24、电源传递给负载。它通常由一个初级线圈和一个或几个次级线圈所组成。初级线圈（也称原绕和一个或几个次级线圈所组成。初级线圈（也称原绕组）接电源，次级线圈（也称副绕组）接负载。能量组）接电源，次级线圈（也称副绕组）接负载。能量通过磁耦合由电源传递给负载。通过磁耦合由电源传递给负载。 如果变压器的线圈绕在用铁磁性物质制成的铁芯如果变压器的线圈绕在用铁磁性物质制成的铁芯上，就叫做上，就叫做铁芯变压器铁芯变压器，这种变压器的电磁特性一般，这种变压器的电磁特性一般是非线性的。是非线性的。 空心变压器空心变压器是指以空气或以任何非铁磁性物质作是指以空气或以任何非铁磁性物质作为芯子的变压器，这种变压器的电磁特性

25、是线性的。为芯子的变压器，这种变压器的电磁特性是线性的。 空心变压器广泛用于测量仪器和高频电路，本节空心变压器广泛用于测量仪器和高频电路，本节将讨论它在正弦稳态中的分析方法。分析含耦合电路将讨论它在正弦稳态中的分析方法。分析含耦合电路常常使用常常使用回路分析法回路分析法。 设空芯变压器电路如图设空芯变压器电路如图5-11（a）所示，其中）所示，其中R1、R2分别为变压器初、次级绕组的电阻，分别为变压器初、次级绕组的电阻，RL为负载电为负载电阻，设阻，设US为正弦输入电压。为正弦输入电压。 图图5-11 5-11 空芯变压器电路及其等效模型空芯变压器电路及其等效模型 由图由图5-11（b）所示的

26、相量模型图可列出回路方程）所示的相量模型图可列出回路方程为为s.2.1.11UIMI)LR( jj（5-8）0I)RLR(IM2.L221. jj（5-9）或写为或写为s.2.121.11UIZIZ （5-10）0IZIZ2.22.21 （5-11）式中，式中，1111LRZ j ，称为初级回路自阻抗；，称为初级回路自阻抗；L2222RLRZ j，称为次级回路自阻抗；，称为次级回路自阻抗；MZ21 j ，称为初次级回路互阻抗。，称为初次级回路互阻抗。 由此，可求得图由此，可求得图5-11所示耦合电感的初级、次级所示耦合电感的初级、次级电流相量分别为电流相量分别为21122211s.222212

27、21112212s.1.ZZZZUZZZZZZZ0UI .2L2211L22UMRLRLRRLR jjjj S22L2211L22UMRLRLRRLR jjj S22L2211L2.2UMRLRLRRLI jjj（5-12）（5-13） 由式由式 （5-12）可求得由电源断看进去的输入阻抗）可求得由电源断看进去的输入阻抗为为ref11L2222111.siZZRLRMLRIUZ jj（5-14） 由此可见，输入阻抗由两部分组成由此可见，输入阻抗由两部分组成:1111LRZ j 2222L2222refZMRLRMZ j 式中，式中， Z11即初级回路的自阻抗，即初级回路的自阻抗，Zref 即次级回路即次级回路