1.1.1角的概念的推广

1、 1.1.11.1.1角的概念的推广角的概念的推广回顾思考：回顾思考： 初中是如何定义初中是如何定义角角的？的？ 有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角角。顶顶点点边边边边 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是 0, 360)， 这种定义称为这种定义称为静态定义静态定义，其弊端在于，其弊端在于“狭狭隘隘”. .生活中很多实例会不在该范围。生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体体操运动员转体720，跳水运动员向内、向外，跳水运动员向

2、内、向外转体转体1080； 经过经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围0, 360) ，而且方向不同，而且方向不同，有有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角任意角，用用什么办法什么办法才能推广到才能推广到任意角任意角？用？用运动的观点运动的观点。 一一 角的概念角的概念 角：平面内一条射线绕着它的端点从一个角：平面内一条射线绕着它的端点从一个位置位置旋转旋转到另一个位置所成的到另一个位置所成的图形图形叫角。叫角。BAO 旋转开始时的射线旋转开始时的射线0A0A叫做角叫做角的的始边始边，旋转终止的射线，旋

3、转终止的射线0B0B叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端点端点0 0叫做角叫做角的的顶点顶点 角的三要素角的三要素：始边，终边，顶点始边，终边，顶点角的记法：角的记法：或或AOB（不同于（不同于BOA ） 二二 角的分类角的分类 按照旋转方向分类：按照旋转方向分类：正角：按正角：按逆时针逆时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：按负角：按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：射线零角：射线不作不作旋转时形成的角旋转时形成的角任意大：任意大： =210 , = 150 , =660 ，几点说明几点说明（1 1）角的正负由）角的正负由旋转方向旋转方向决定决定（2 2）角可以任意

4、大小，绝对值大小由）角可以任意大小，绝对值大小由旋转次旋转次数数及及终边位置终边位置决定。决定。（3 3）各角和的旋转量等于各角旋转量的和）各角和的旋转量等于各角旋转量的和() 三三 终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390390 ， 330330 角，它们的终边都与角，它们的终边都与3030 角的终边相同角的终边相同. . 探究：探究：终边相同的角都可以表示成一个终边相同的角都可以表示成一个0 0 到到360360 的角与的角与k k( (k kZ Z) )个周角的和个周角的和： 390390 =30=30 +360+360 ( (k k=1),=1), 330330 =30=30360

5、360 ( (k k=1) 1) 30 30 =30=30 +0+0360360 ( (k k=0), =0), 14701470 =30=30 +4+4360360 ( (k k=4)=4) 17701770 =30=305 5360360 ( (k k=5)5)三三 终边相同的角终边相同的角 所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同 在内可以构成一在内可以构成一个个集合集合：| | =k=k360360+ (+ (k kZZ) ) 即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都可终边相同的角，都可以表示成以表示成角角 与整数个周角的和与整数个周角的和三三 终边相同的角终边相同的角

6、注意以下四点：注意以下四点： kZ； 是任意角；是任意角； k360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k36030,应看成应看成k360+(30)； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差它们相差360的整数倍的整数倍.四四 象限角与轴线角象限角与轴线角 坐标系中的角：坐标系中的角： 角的顶点与角的顶点与坐标原点坐标原点重合，角的始边与重合，角的始边与x轴轴的正半轴的正半轴重合。重合。xy0象限角：终边在各个象限角：终边在各个象限内象限内的角的角轴线角：终边在轴线角：终边在坐

7、标轴上坐标轴上的角的角0AB四四 象限角与轴线角象限角与轴线角轴线角集合问题：轴线角集合问题：xy000270018009003600 x x+ +轴上的角轴上的角：x x- -轴上的角轴上的角：y y+ +轴上的角轴上的角：y y- - 轴上的角轴上的角：x x 轴上的角轴上的角：y y 轴上的角轴上的角：|k360，kZ|k360+90，kZ|k360+180，kZ|k360+270，kZ|k180，kZ|k180+90，kZ四四 象限角与轴线角象限角与轴线角象限角集合问题：象限角集合问题：xy000270018009003600第一象限角第一象限角：第二象限角第二象限角：第三象限角第三象

8、限角：第四象限角第四象限角：一三象限角一三象限角：二四象限角二四象限角：x|k360 k36090，kZx|k360+90 k360180，kZx|k360+180 k360270，kZx|k360+270 k360360，kZx|k180 k18090，kZx|k180+90 k360180，kZ角与角的终边的对称关系：角与角的终边的对称关系：01.360 xkkZ与 终边关于 轴对称，则，02.(21) 180kkZ与 的终边关于y轴对称，则03.(21) 180kkZ与 的终边关于原点对称，则04.180kkZ 与 的终边在一条直线上，则，例例1. 在在0到到360范围内，找出与下列各角

9、终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=360+240， 240的角与的角与120的角终边相同，的角终边相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角与的角与640的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角与的角与95012的角终边相同，的角终边相同， 它是第二象限角它是第二象限角例例1. 在在0到到360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是

10、哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.例例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21.解解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在中在360720间的角是间的角是 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420(2) S=| =k36021 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699例例2. 写出与下列各

11、角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21.030045XYO例例3：终边落在阴影部分（包括边界）的角：终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合的集合XYO0300301锐角是第几象限的角？第一象限的角是锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故的角可能是零角或负角

12、，故它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐内的角是锐角角 课堂训练课堂训练2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？出它们是哪个象限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 课堂训练课堂训练 3、已知、已知,角的终边相同，那么角的终边相同，那么的终边的终边在（在（ ） A x轴的非负半轴上轴的非

13、负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C课堂训练课堂训练5 、已知角、已知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角C6、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角C课堂训练课堂训练7、在直角坐标系中，若、在直角坐标系中，若与与终边互相垂直，终边互相垂直，那么那么与与之间的关系是（之间的关系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZD8、若、若90135，则，则的范围是的范围是_，+的范围是的范围是_;(0,45)(180,270)课堂训练课堂训练9、若、若的终边与的终边与60角的终边相同，那么在角的终边相同，那么在0