大地测量学基础-10-2

1、10.3三角锁推算元素的精度估算三角锁推算元素的精度估算10.3.1精度估算的方法精度估算的方法 1.公式估算法公式估算法 此法是针对某一类网形导出计算某种推算元素（通常是最弱边边长）的普遍公式。 分组平差 第一组条件式0wvaan1ii0wvbbn1iinriiwvr10第二组条件式 推算元素F是观测元素平差值的函数，其一般形式：其线性式： (2-1) niiwv10niiwv10),(2211nnvlvlvlFniivfFF10式中: 先按第一组条件式进行平差，求得第一次改先按第一组条件式进行平差，求得第一次改正数，改化第二组条件式。正数，改化第二组条件式。设改化后的第二组条件式为： ),

2、(, 2, 10nlllFiilfnAiiwvA10n1Bii0wvB则F的权倒数为： (2-2)F的中误差为： (2-3) 为观测值单位权中误差。（一般按规范取值） 111112222PBBPBfPAAPAfPbbPbfPaaPafPffPFFFPm12221.1.(1)P.1.(1)Fafbfrf tffaabbrr t 不分组平差不分组平差： F的权倒数为：1ababppbbbbppaap1abafppbfbfppaap11211bgbhppghghppbbp2 2 程序估算法程序估算法 间接平差（或附有条件的间接平差） 起算数据（坐标）量取观测数据或程序估算法 误差方程式A，单位权中误

3、差，定权阵P组法方程式N求协因数Q列权函数式，并估算其精度10.3.2 10.3.2 三角形单锁推算边长三角形单锁推算边长的精度估算的精度估算S0-起始边 S-推算边 A，B，C-角度观测值条件式 即法方程式S的函数式 同样 01800ABC01wvvvCBA031 wkBASSsinsin0SctgAABAASBASASfAsinsincossinsincos00SctgBfB0fC求权倒数 aaafffPS21a f aa af ff 1SctgA 1SctgA 1-SctgB 1-SctgB 1 0 1 0 0 3 S(ctgA-ctgB) 222)()(ctgBctgAS2)(Sctg

4、B2)(SctgA中误差 相对中误差 (2-4) ctgActgBctgBctgASctgBctgASctgBctgASPS22222222)()(32)(31)()(1ctgActgBctgBctgASmmS 222)()(32ctgActgBctgBctgAmSmS 22)()(32边长对数中误差利用微分公式换成中误差的形式有： 以对数第六位为单位 (2-5)(2-5)为边长对数中误差与边长相对中误差的关系。引入正弦对数每秒表差化简(2-4)代入(2-5)得： (2-6) SdS)S(lgd43429. 0SmmSS6lg10ctgActgBctgBctgAmmS 226lg)()(321

5、01/ln10对正弦对数微分 (2-8)(2-6)式变为: (2-7)图形权倒数的概念 令 (2-9)则(2-7)改写为 (2-10)ActgActgActgAdActgAAd 106. 210)sin(lg6)(3222lgBABASmm BABAR22RmmS32lg 三角形最佳（理想）图形和最有利图形三角形最佳（理想）图形和最有利图形 提出问题，由边推算和两边的精度要相等（即A=C），同时推算边的中误差最小，就可得到三角形的最有利图形。 A=C,则B=180-2A,令令ctgActgAActgctgB2)(122222231()()()()44QctgActgBctgActgBctgAt

6、gA为求Q的小值得:这样的等腰三角形对推算边长的精度最为有利。这样的等腰三角形对推算边长的精度最为有利。 0dAdQ82746452BCA最佳（理想）图形-正三角形布设的锁网正三角形布设的锁网。三角形（单）锁推算边长的中误差三角形（单）锁推算边长的中误差 (2-12) 1lg123nnSRP例例1 1， ，不考虑起始边的误差，求 。namlg Rmmna32lg245106. 245ctg09084*2)( 2)( 2459024529022BABAR48327 . 1lgnam7 .1 角m7 .1 角m例例2 2，IV等锁，设 ，估算最弱边能否达到规范要求 决定推算路线，求各三角形的R及

7、求 （不能满足要求） 2000001bmb)400001(17. 22000001*10*43429. 01066lgbmmbbR2 .380 . 94 . 34 . 26 .100 . 78 . 5R8 .122 .38*32*5 . 22 . 2R32mmm2222blgalgn336001106lgnnanamam作作 业业1、三等三角网，相对、三等三角网，相对中误差为：中误差为：1150000A BmA B试估算最弱边的相对中误试估算最弱边的相对中误差。差。 2、如图所示，1-2边、9-10边为固定边，测角中误差m=1 ，求该锁最弱边相对中误差。（不考虑起始边误差的影响）（60 =1.

8、2 10-6， 45 =2.1 10-6）10.410.4导线网的精度估算导线网的精度估算10.4.1等边直伸导线的精度分析等边直伸导线的精度分析一组符号： u-点位的横向中误差t-点位的纵向中误差M-点位中误差D-端点下标Z-中点下标Q-起算数据误差影响的下标C-测量误差影响的下标1、附合导线经角度闭合差分配后的端点中误差附合导线经角度闭合差分配后的端点中误差 对于附合导线，由于角度经过配赋坐标方位角闭合差，角度的精度提高了，因此角度误差引起的导线的横向中误差也会减少，由于测边误差引起的导线端点纵向中误差再考虑系统误差的影响，导线端点D由于测量误差C引起的纵向中误差 (2-31) (2-32

9、) (2-33) nmtSDC.222.LnmtSDC12312)2)(1(.nsmnnnLmuDCABDQmt. (2-34) (2-35)式中：n边数，L导线全长，S平均边长，测边中误差，测边系统误差，测角中误差，AB边长的中误差，起始方位角的中误差。2*.LmuDQ2.2.2.2.DQDQDCDCDututM 由公式得出结论：P432 2 附合导线平差后的各边方位角中误差附合导线平差后的各边方位角中误差 任意一条附合导线应满足三个条件三个条件,即坐标方坐标方位角条件、纵横坐标条件位角条件、纵横坐标条件。采用两组平差，坐标方位角条件为第一组，将方位角闭合差分配至各转折角上，即完成第一组平差

10、，然后改化第二组纵横坐标条件，有： (2-36) (2-37) (2-38)式中： v角度第一次改正数； 第二次改正数； 角度观测值； 边长改正数； 已知方位角； 第i点的重心坐标 (2-37),(2-38)为改化后的第二组条件式，其系数和常数项均用经过闭合差配赋后的角度值推算。 BNMAnffv180) 1(; 0BAxxsxxxffvv; 01cosBAyysyyyffvv, 01sinvsvBNMA,ii,(2-37),(2-38)为改化后的第二组条件式，其系数和常数项均用经过闭合差配赋后的角度值推算。下面仅就等边直伸导线的情况进行推算。重心坐标系重心坐标： 0sin, 1cos, 0,

11、 0iiiiy0200sni点的重心坐标 (2-39) (2-40)1 0) 12() 12(2) 1(iiiyninLninLsnsi) 1(2) 12(2)1 () 12() 12(3) 12(2) 12(11ninLiniiinLninnnnLii (2-40)222222222222112) 12)(1() 1321)(12(2) 1(321)() 12(1) 12(3) 12(2) 12(1)(nnnnnnLnnnnnnLni)2)(1(12)6364)(2)(1(121)()2)(1(41)32)(2)(1(61)()2)(1(41)2)(2)(1(21)32)(2)(1(61)(

12、222222nnnLnnnnnLnnnnnnLnnnnnnnnnL(2-37)(2-38)化简为： (2-41) 010yxsfvfv改正数 方 位 角条 件 系数a 纵 坐 标条件系数A 横 坐 标条件系数B 权倒数1/p 方位角权函数f 纵坐标权函数f 横坐标权函数f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1sv2sm2sv2smsnv2sm1v112mis2v212m) 1( iss1nv11n2m表中分别代测边、测角中误差，取单位权中误差， (2-43),(2-44)边 的方位角 (2-42)这就是权函数式，其系数 ，其它各项为0。按(2-2), 2211iisisimpmpis18

13、01iiiAMi121ifff1 .1 .1222pBBpBfpAApAfpaapafpffpi (2-45)2impff2impaf2) 1(mnpaa0pAf impBfpAApAfpABpBfpBf121 . 1122221 .nmpBBpAApABpBBpBB)2n)(1n(n) 1in(i 31niimp1m222ii分析式（2-45）表2-7图2-18，四点结论。(2-37)式推导：先一般导线，然后等边直伸导线。对 微分，并 注意有暂不考虑起始方位角误差，有 0fxd0fvxxxxfnfBAxBNAM180) 1(iiisxcosiiisysin 0cos0sincos0sinco

14、sxxxfyddsfdsdsfdsds)()()(21212221111nnnndddydyddydydydy 按 归类 设导线点重心坐标 在重心坐标系中，各点坐标 两组平差，方位角条件为第一组，纵横坐标条件为第二组。将方位角闭合差分配至各转折角上 ( id0)(1cos0)()()(cos11221111xiiniixnnnnniifdyydsfdyydyydyyds iii1nii1ndydyd)yy( 1nyy1nxx0000yyxxiiii按(2)式)，即完成第一组平差，然后改化第二组条件，用改正后的角值求第二组条件式的系数和常数项。方位角条件维持原样，而纵横坐标条件中应是经第一次改化

15、后转折角的改正数。由(2)式有：改写式(5)： 01111iiiiiidnndddndd00,yyyyiiii即 iiiniiindydydydy11iiiiiiiiivddyddy00)(为此纵坐标条件式为：再考虑等边直伸导线及所选取的重心坐标系情况，得(2-41)式。3 3 附合（等边直伸）导线平差后中点的纵向中误差附合（等边直伸）导线平差后中点的纵向中误差 导线第i+1点的纵坐标： 01sin01cosysxsfvvfvv0sin, 1cos, 0, 0iiiiiyiiAisxx11 权函数式的系数为： 单位权中误差： 边长观测值的权也相等：由表2-6 2ssjmp12simpff0pa

16、f2snmpAA2simpAf01 .pAApAfpABpBfpBf导线中点距端点有n/2条边，所以i=n/2,再考虑系统误差，得导线中点因测量误差产生的中误差)()(1 .1 .12222222221niimnmimimpBBpBfpAApAfpaapafpffpssssxiniimtsi21n2mts中点222,21LnmtsZC4 4 附合（等边直伸）导线平差后中点的横向中误附合（等边直伸）导线平差后中点的横向中误差差 只有方位角误差对横坐标有影响，第i+1点距起始点有i条边权函数式对方位角微分 因 将(2-42)式对 取微分有： 即： iiiAisyy11siniiiiidsyd11c

17、osssiii, 1cos, 0ijidsyd11ijidd1iiddddddddd2121211求和 （2-49）将(2-49)代入(2-48)得第i+1点横坐标的权函数式：将权函数系数 填入表2-6，得到有关系数，进而得到(2-53)式。iijddiidd211) 1(iiddiidsyd211) 1(sf) 1i (sfisfi21 5 5 起算数据误差对附合导线平差后中点点位的影响起算数据误差对附合导线平差后中点点位的影响AB边长的误差对导线中点纵向误差产生的影响： (2-54)起始方位角误差对导线中点引起的横向误差： (2-55)附合导线平差后中点的点位中误差： (2-56)2mtA

18、BZ.Q22.LmuZQ2.2.2.2,ZQZQZCZCZututM6 6 附合导线端点纵横向中误差与中点纵横向中误附合导线端点纵横向中误差与中点纵横向中误差比例关系差比例关系 (2-57) (2-58) ZCDCuu.4ZQDQZQDQZCDCZCDCuuttuutt.42422.4.22.4.2关于直伸导线的特点关于直伸导线的特点 导线的纵向误差完全是由测距误差产生的，导线的纵向误差完全是由测距误差产生的，而横向误差完全是由测角产生的。而横向误差完全是由测角产生的。10.4.310.4.3单一附合导线的点位误差椭圆单一附合导线的点位误差椭圆10.4.410.4.4导线网的精度估算导线网的精

19、度估算 基于两点： 在一定的测量精度与平均边长的情况下，在一定的测量精度与平均边长的情况下，导线终点点位误差大致与导线长度成正式比。导线终点点位误差大致与导线长度成正式比。 等权代替法。等权代替法。 要估算任意导线网的精度，如今只能（最好）用电算试算。 等权代替法精度估算的步骤：等权代替法精度估算的步骤： 估算导线网的等权路线长度；估算导线网的等权路线长度； 确定导线网中最弱点的位置；确定导线网中最弱点的位置； 估算导线网中结点及最弱点的点估算导线网中结点及最弱点的点位精度。位精度。2222221.53SmnMnmLL 1216nnn例三、等权代替法精度估算例三、等权代替法精度估算ABC1.1

20、1.0解：估算导线网的等解：估算导线网的等权路线长度权路线长度CN83. 1L1L1PPP2CB2BNCNBNBCN74. 083. 11P1LBCNBCNkm 07. 12/14. 2LW确定导线网中最弱点的位置确定导线网中最弱点的位置估算导线网中结点及最弱点的点位精度估算导线网中结点及最弱点的点位精度75. 1P2P34. 2PAWWN4035 . 15)105(2125m26221km26P1MMN1kmN30P1MMW1kmW1.4N图2-50 作作 业业： 设有一坐标附合导线网如图设有一坐标附合导线网如图28所示，所示，A、B、C为已知点，为已知点，N为结点，各导线长为结点，各导线长

21、L在图中标出在图中标出（以公里为单位）。若以四等导线基本精度规格（以公里为单位）。若以四等导线基本精度规格进行施测，试问导线网最弱点在哪条导线上？在进行施测，试问导线网最弱点在哪条导线上？在何处？其点位中误差如何计算（不考虑起始数据何处？其点位中误差如何计算（不考虑起始数据误差）？误差）？10.5工程测量控制网优化设计工程测量控制网优化设计10.5.1 工程控制网优化设计的一般概念工程控制网优化设计的一般概念 1）所谓所谓优化设计优化设计就是在复杂的科研和工程就是在复杂的科研和工程问题中，从所存在的许多可能决策的方案中选择问题中，从所存在的许多可能决策的方案中选择最好的决策方案的一门科学。最好

22、的决策方案的一门科学。 2）优化设计的步骤：优化设计的步骤： 第一，建立一个能考察决策问题的数学模型，第一，建立一个能考察决策问题的数学模型，这个数学模型主要包括有确定变量的有待于实现这个数学模型主要包括有确定变量的有待于实现最优化的目标函数和约束条件；最优化的目标函数和约束条件； 第二，对数学模型进行分析并选择一个合适第二，对数学模型进行分析并选择一个合适的求最优解的数值解法；的求最优解的数值解法； 第三，求最优解，并对结果作出评价。第三，求最优解，并对结果作出评价。 3）在特种精密控制网设计中，设计变量在特种精密控制网设计中，设计变量（x），目标函数），目标函数Z（x）及约束条件）及约束条件g(x)、h(x)依依控制网优化设计的目的而定，一般体现控制网的控制网优化设计的目的而定，一般体现控制网的下列质量标准：下列质量标准： 满足控制网的必要满足控制网的必要精度标准精度标准； 满足控制网的多余观测，满足控制网的多余观测，可靠性标准可靠性标准； 满足控制网有充分控制观测值中系统误差满足控制网有充分控制观测值中系统误差影响的影响的可测定性标准可测定性标准； 变形监测网应满足监测出微小位移的变形监测网应满足监测出微小位移的灵敏灵敏度标准度标准； 造标及观测等应满足一定的造标及观测等应满足一定的费用标准费用标