第五讲三角形全等的判定--10.18

1、 第五讲 三角形全等的判定 一、知识讲解 1三角形全等的判定方法一：边边边(SSS) (1) 边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边 边”或“ SSS ). 这个判定方法告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小 也就随之确定，这就是三角形的稳定性，它在实际生活中应用非常广 泛. (2) 书写格式： 先写出所要判定的两个三角形； 列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出； 得出结论：两个三角形全等. 如下图，在 ABCFHAA B C中， jAB= A r BC= B Iac= a ABC2A A B C (SSS). 警误区书写判定两个三角形全等的条件 在书写全等的

2、过程 中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的 量.如上图，等号左边表示 ABC的量，等号右边表示 A B C 的量. 符号“”表示“因为”，“”表示“所以”， 这样书写简捷、方便.要注意它们的区别. (3) 作一个角等于已知角. 已知：/ AOB 求作：/ A O B, 使/ A O B =Z AOB 作法：如上图所示，以点 O为圆心，任意长为半径画弧，分别 交OA 0B于点C, D; 画一条射线 O A，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交 O A于点 以点 点D ; 过点 D 0 在以后的推理中, B A C ； C为圆心，CD长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于 D

3、画射线 O B,则/ A O BB =Z AOB 2.三角形全等的判定方法二：边角边(SAS) (1) 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以 简写成“边角边”或“ SAS ). (2) 书写格式： 如下图，在 ABCFHAA B C中， AB= A B，, /J / A=Z A, AC= A C , ABC2AA B C (SAS). 警误区不能用“ SSA判定三角形全等 有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即不 C 能用“SSA作为三角形全等的判定.如图，在 ABCn ABD中, AB=AB AC=A阴条边对应相等，并且边 AC所对的角/ B二/ B,很显

4、然， ABCA ABD不 全等. DM (3)注意： 在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，且角 是两边的夹角，而不是其中一边的对角. 为了避免“ SAS与“ SSA (两边不夹角)混淆，在应用该方法 时，要观察图形确定三个条件，按“边T角T边”的顺序排列，并按 此顺序书写. 3.三角形全等的判定方法三、四：角边角 (ASA)及角角边(AAS) (可以简 (1)角边角： 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 写成“角边角”或“ ASA ). C C 书写格式： 如图，在 ABCWAA B C中， / A=Z A, “ AB= A B, B=Z B， ABC2AA B C

5、(ASA). (2)角角边： 内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角角边”或“ AAS ). 书写格式： 如下图，在 ABCJnA B C中， A=Z A, r / B=Z B, BC= B，C , ABC2A A B C (AAS). (3) “角边角”与“角角边”的关系： 由三角形的内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等， 则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一 定全等.无论这一边是“对边”还是“夹边”， 只要对应相等即可判 定两个三角形全等. 注意： 在运用 序排列条件； 在运用 序排列条件. 警误区 “ asa “ AAS

6、不能用 时，要从图形上确定是按“角7边7角” 时，要从图形上确定是按“角7角7边” “ AAA判定三角形全等 aaa / A= C不 有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“ 作为三角形全等的判定.如下图，在 ABCFHAA B C中， / A,/ B=Z B，/ C=Z C ,很显然， ABCFHA A B 全等. 4. 直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边 (HL) (1) 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 以简写成“斜边、直角边”或“ HL”). (2) 书写格式： 如下图，在Rt ABC和Rt A B C 中， Ab= a b , * IBC= B C ,

7、 /. Rt ABC2Rt A B C (HL). 警误区“ HL适用的前提条件 (1) “ HL只适合直角三角形 全等的判定，不适合一般三角形全等的判定；(2)直角三角形全等的 判定既可以用“ SSS “SAS “ASA和“ AAS，又可以用“ HL. 二角形全等的方法有： “AAS “ HL这五种，其中“HL只适合于 5. 判定两个三角形全等的常用思路 判定两个 “ SSS “SAS “ ASA 要认真分析已知条件，挖掘题中隐含条件, 般可按下面的思路进行： 直角三角形. 在具体运用过程中， 有目的地选择三角形全等的条件， (1) 已知两边 找第三边7 SSS 找夹角7 SAS 找直角7

8、HL. (2) 已知一边一角 (边为角的对边7找任一角7 AAS *找角的另一邻边7 SAS 边为角的邻边找边邻着的另一角7 ASA I找边的对角7 AAS. (3)已知两角 1找夹边7 ASA 找任一边7 AAS. 6. 全等三角形判定和性质的综合运用 全等三角形的性质是对应角相等、 对应边相等，全等三角形的判 定是“ SAS “ ASA “ AAS “SSS “ HL .在说明线段相等或角相 等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定. 说明两条线段或两个角相等时，可考虑两条线段或两个角所在的 两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等 时，可以由已知条件先推出其他的三

9、角形全等， 再由全等三角形的性 质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件. 7. 全等三角形判定中的探究性问题 动态探究型问题一般是指几何图形的运动，包括点动（点在线上 运动）、线动（线的平移、对称、旋转）、面动平面几何图形的平移、 对称（翻折）、旋转这类问题具有灵活性、多变性，常融入三角形，. 综合运用三角形全等知识. 但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形， 所以图形的运动其实是无数个点的运动. 点动带动图形动，图形动引 起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其宗，解决 问题要抓住一些关键点即可. 对于运动变化过程中的探索性问题的求解， 应动中取静

10、，先取某 一特定时刻物体的状况进行探究，获得结论，再由特殊推知其一般结 论，并运用几何知识（全等三角形的判定）加以证明. 二、例题讲解 例1、如图所示，已知 AB= DC AC= DB求证： ABC2A DCB 例2、如图，两个透明三角形纸片叠放到桌面上， 已知/ ACE=Z FCB AC= EC BC= FC则 ABCA EFC全等吗？请说明理由. F 例3、（一题多证）已知，如图，D是 ABC勺边AB上一点，AB/ FC, DF交 AC于点 E, DE= EF 求证：AE= CE 例4、如图，ADI CD AB! CB垂足分别是D, B,且AD= AB求证: AC平分/ DCB 例 5、如

11、图，已知/ E=Z F= 90 / 1 = Z 2 , AC= AB 求证: AEB2A AFC B 例 6、如图 1,已知 AB/ CD OA OD AE= DF,求证：EB/ CF 例 7、(科学探究题)如图，在 ABC中 , AB= AC= 10 cm , BC= 8 cm , 点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向 C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动. (1) 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后, BPD 与 CQP是否全等，请说明理由； (2) 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动 速度为多少时，能够使 BP

12、DW CQP全等？A D 三、巩固提高 1、在 ABC和 A B C中,AB=A B , / B二/ B ,补充条件后仍不一定 能保证 ABCAA B C ,则补充的这个条件是（） A、BC=B C B、/ A二/ A C 、AC二AC D、/ C=Z C 2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ A 、 45 B 、 135 C、45或135D 、都不对 3、现有两根木棒，它们的长分别是 40cm和50cm若要钉成一个三 角形木架，则在下列四根木棒中应选取（ A、10cm的木棒 B 、40cm的木棒 C、90cm的木棒 D 、100c m的木棒 4、根据下列已知条件, 能惟一画出三

13、角形 ABC的是（） AB= 3, BC= 4, AC= 8; AB= 4, BC= 3, / A= 30; / A= 60,/ B= 45, AB= 4; / C= 90, AB= 6 5、如图3, D, E分别是 ABC的边BC AC上的点，若/ B=Z C, / ADE=Z AED 贝() B、 当/ B为定值时，/ CDE为定值 当为定值时，/ CDE为定值 当/ P为定值时，/ CDE为定值 当/ Y为定值时，/ CDE为定值 6、 三角形 ABC中，/ A是/ B的2倍，/ C比/ A+Z B还大12度, 则这个三角形是三角形。 7、以三条线段3、4、x 5为这组成三角形，则x的取

14、值为. 8杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条, 这样做的数学原理是. 9、 ABC中, / A+Z B=Z C, / A 的平分线交 BC于点 D,若 CD= 8cm 则点D到AB的距离为 cm 10、ADABC的边BC上的中线，AB= 12, AC= 8,则边BC的取值 ;中线AD的取值范围是. 三、解答题: 11. 已知：如图 13-4, AE=AC AD二AB / EAC= DAB AB 图 13 4 求证： EADA CAB 12.如图 13-5, ACD中,已知 AB! CD 且 BDCB, BCEHA ABD 都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形: ABCA DBEACBA ABD CBEA BEDACEA ADE 这些三角形真的全等吗？简要说明理由。 图 13-5 F 13