数学教育毕业论文（设计）二次函数在实际生活中的应用

1、宁 德 师 范 学 院毕 业 论 文 专业 09数学教育 指导教师 学生 学号 2009041235 题 目 二次函数在实际生活的应用 2012年5月27日二次函数在实际生活中的应用（宁德师范学院 数学系 09级数学教育(2)班 福建宁德 352100）摘要：介绍二次函数在实际生活中的若干应用,将数学与实际生活联系起来.关键词：二次函数 最优化 政策. 二次函数是数学研究中的一个非常重要的工具，贯穿于整个中学数学的教与学之中.从通过最浅显的直观的图像，解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题、再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不显现出二次函数的的

2、魅力.在数学能力的培养上，无论是培养学生严谨的数学思维还是培养学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力上，二次函数都有着不可替代的作用.同时二次函数的应用过程就是数学思想得到充分体现的过程，分类讨论、数形结合、化归与转化、函数与方程的思想在二次函数中都得到了很好的体现.形如叫做二次函数，二次函数的图像是抛物线，对称轴方程，当时，是开口向上的抛物线，最低点坐标是；当时，是开口向下的抛物线，最高点坐标是；对于一元二次方程；当时，方程没有实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程有两个不相等的实数解并且由韦达定理得.1 在经济生活中的应用 在投资方面，投资者要如何投资才能使利润达到最大，商业投

3、资切忌盲目.项目不同利润也不同，商业投资就是要使得风险最小收益最大，不同的项目风险与收益一般不同，风险高的收益一般也高，如何权衡二者，从中选择最优的投资组合，在这里可利用二次函数知识解决.例1 某信息部进行市场调研发现.信息一：如果单独投资甲产品则所获利润（万元）与投资金（万元）之间存在着正比例函数关系，并且投资4 万元时利润为3 万元.信息二：如果单独投资产品，则所获利润，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元，投资 3 万元时可获得利润2.7万元.如果某投资商人想同时对投资，投资金额共15 万元，请你帮助设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出这个方案的最大利润.解：，设投资a 项目万元，

4、则投资b 项目万元.利润和.通过求导数，使得，得出.因此可设计方案为：投资项目万元，投资项目万元，利润最大为万元.投资问题在生活中无处不在，从投资对象看：如购买股票、基金、债券、期权等金融资产的投资；同时也可以是对实物资产的投资，例如更换设备，提高生产力，降低成本.卖家要如何定价才能使促销有利.为了使利润最大化，厂家以及卖家常常被商品定价问题所困扰.定价过高，产品销路不好，定价过低，利润率太低，如何在销量跟单价之间选择最优的组合，对商家来说至关重要，这里我们也将用二次函数来解决定价问题.例2 某专卖店销某牌子的保温杯，进价为每个元，售价为每个元.为了促销，专卖店决定凡是买个以上的每多买一个，销

5、售价就降低元，但是最低价格定为元/个.（1）求顾客一次购买多少个，才能以最低价格买?（2）写出当一次购买个时，利润（元）和购买量（个）之间的函数关系.（3）有一天一位顾客买了个，另一位顾客买了个，专卖店发现卖了个反而比卖了36个赚钱还少，为了使每次达到卖的多赚的多，在其他促销条件不变的情况下，最低价元/个应至少提高到多少?为什么?策略出台：应先理解，每多买一个保温杯单价就降低0.20元的本意，要保证“卖的多赚的多”的原则，最低价位要确定得合适才行.解：（1）(2).(3） 当时，利润达到最大，当时，利润在减小，当时，利润又开始增加.因此买个的时候的价格作为最低价，最低价格为：（元）.价格定价问

6、题就是要使总的利润最大化，利润=销量*（单价-成本），成本是固定的，销量越大利润越大，单价越高，利润也越大.但是通常随着单价的升高，销量会成反方向变化即下降，故确定一个最优的销量单价组合，来取得最大的利润.现在厂家都意识到“卖的多赚的多”的道理，来确定价格的底线，从而赚取最大利润.定价问题不仅适用于厂商，销售商，也适用于酒店旅馆，旅游景点门票的定价.厂家要何时出售，才能使得获得的利润为最高.某种产品在市场上都有四个周期，进入市场期 成长期成熟期 衰退期，企业选择在哪种时间段将产品投入市场，其销量跟利润自然也就不同了.例3 某公司推出新款洗发水，进行大量推广，第一批洗发水上市天内全部售完，该公司

7、对第一批洗发水上市后市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：其中图1中的折线表示市场日销售量和上市时间的关系，图2中的折线表示每瓶洗发水的销售利润与上市时间的关系图1 图2（1）试写出第一批产品的市场日销售量和上市时间的关系式.（2）第一批产品a上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大日销售利润为多少万元?解：(1）根据图形1易求日销售量和上市时间的函数关系：，.（2）根据图形2求得销售利润和上市时间的关系函数：，则日销售利润w和上市时间t 的函数关系可分三段讨论：,此时，最大为2400元.,此时，最大为3600元.，此时，最大为3600元因此，时，即第天出售，日销售利润最大为元.

8、故企业在产品推出的第填出售，日销售利润将最大.如果商家预测到某种产品在未来的某段时间的市场价将以某种价格上涨，但要存放这种商品要一定的存储费用，要存放多久后出售可获得最大利润例4 我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格元/千克收购了这种野生菌千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计元，而且这类野生菌在冷库中最多保存天，同时，平均每天有4千克的野生菌损坏不能出售（1）设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的

9、函数关系式（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？（利润销售总额收购成本各种费用）分析：因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨元，所以，天就应该上涨元；市场价格元+上涨价=天后每千克该野生菌的市场价格为元，这样第一问就解决了；销售总额为元应该等于野生菌的价格乘以数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用.解：（1）由题意得与之间的函数关系式是：（），且(是整数）（2）由题意得与之间的函数关系式是： （3）由题意得：因为，所以，函数有最大值，并且，当时，函数有最大值，最大值为，所以，当时，因为，所以，存放天后

10、出售这批野生菌可获得最大利润元商家最关注的是销售和利润，商家要怎样灵活经营才能谋求双赢例5 苏宁电器将进价为元的冰箱以元价格售出，每天可售出台.假设这种品牌的冰箱每台降价（为正整数）元，每天可多售出台.（1）设商场每天可销售这种冰箱获得的利润为元，写出与之间的函数关系.（2）销售该品牌冰箱每天获得的最大利润是多少?此时，每台彩电的销售价是多少时，冰箱的销售量和利润均较高.支招：商家最关注是销售量和利润.如果能确定彩电的定价能使这两项都达到最高，当是双赢的结果了.解：（1）；（2）上式通过配方可得： 因为时利润能达到最大.但是为正整数，那么取3和4利润一样大.可销售量随增大而增大.所以时，即定价

11、为2500元时能达到销售量和利润均较高.2 在建筑方面上的应用抛物线在建筑方面的运用也是很广泛的，由于地形的需要或者为了美观，很多建筑都运用了二次函数的原理.像七彩变幻的彩虹是抛物线的形状，在现实生活中有很多类似于抛物线的建筑物. 图3 图4为了美化，在生活中不难看到抛物线形状的建筑物，如公园或学校的大门，喷泉等等.下面我们举个例子来说明一下.例6 某小区要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内柱高0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图5所示：根据设计图纸已知：在图6中所示的直角坐标系中，水流喷出的高度(m)与水平距离

12、(m)之间的函数关系式是（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他因素，为使水不溅落到水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水都流在水池内？ a a 图5 00图6解：（1） . 故当时，取得最大值为1.8m, 喷出的水流距水平面的最大高度是1.8m.（2）为使水不溅落到水池外,求水池的最小半径，也就是求水溅到水平面的最远点，也就是图6中的抛物线与x轴的交点.故令得， 所以水池半径至少为时，才能使喷出的水都流在水池内.我们常常在生活中或在电视里看到过广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水下，一会高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡.其实喷水池就是应用二次函数的原

13、理.除了喷水池，很多美观的抛物线形状的建筑物都是应用到二次函数的原理，可见二次函数在生活中的运用之广泛.由于地形的需要，建筑师在设计时要增强安全系数.比如很多地方地面都不是平整的，有上坡也有下坡，你可曾注意到上坡跟抛物线的形状很像，而下坡跟倒转过来的抛物线也很像，其实这也应用到了抛物线的原理.除此之外，像横跨江面的桥，如某些涵洞等等在建筑过程中都用到了二次函数.下面我们举例来说明下.例7 有一个抛物线型的拱形桥洞，如下图7所示，最大高度为4m,跨度为10m，把它的图形放在如图8直角坐标系中. 图7 图8（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）如图，在对称轴右边的点处，对应的桥洞壁离水面的高

14、度是多少？解：在图8的坐标系中，设桥洞壁离水面的高度为米，水平面离点的距离为米，则（1）设这条抛物线所对应的函数关系式.当；当；当. 则.故这条抛物线所对应的函数关系式为.（2）对称轴是，故点的横坐标为6，当时，y=3.84. 故在称轴右边的点处，对应的桥洞壁离水面的高度是3.84 米.上坡、下坡、桥、涵洞，这些建筑都与安全有关，故都需要比较精确，这就需要在建设过程中严格按照二次函数的原理来设计，以提高安全系数.二次函数在建筑生活中的应用相当广泛，无论是安全需要，还是美观，都应用到抛物线的形状，也就是应用了二次函数的原理.3 在政策决策上的应用如政府对城市建设的规划，对城乡居民的补助，以及一些

15、安全方面的政策，如公路的建设要求，车灯等都有涉及到.下面举个例子说明.例8 某种水果，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种水果的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种水果一次性补贴果农若干元经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图9所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图10所示的一次函数关系图9x/元20600400y/亩o图10x/元5018001300z/元o（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩水果的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（2）要使全市这种水果的总收益（元）最大，政府

16、应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值解：（1）由题意可设与的函数关系为，将代入上式得，得.所以种植亩数与政府补贴的函数关系为，同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为.（3）由题意得：所以，当，即政府每亩补贴70元时，全市的总收益额最大，最大为1210000元4 在日常生活中的应用二次函数除了应用在经济生活、建筑业及政策中，在我们的日常生活中也是不罕见的 下面我们也举个例子说明一下.例9 一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时球离地面约1.6m,铅球落地在处.铅球运行中在运动员前4米处点达到最高点，最高点距离地面高度为3.2m.已知铅球经过的路线是抛物线，在图示的直角坐标系中，

17、你能算出这个运动员的成绩吗？（精确到0.1m）图10解：依题意得：设铅球经过的路线的解析式是，又因为该抛物线经过点，则，解得.所以铅球经过的路线的解析式是，因而当时，铅球刚好落地，.像本题中的抛物线就不是个完整的抛物线，只是抛物线的一半或者一截.本题中，我们可以解决何时出手，多高出手，什么角度出手才能使铅球投掷得更远，使成绩更好.二次函数在实际生活中应用是非常广泛的，由于篇幅所限，不能一一列举说明.只要我们在现实生活中能巧妙的应用二次函数就可以帮我们解决现实生活中的很多实际问题，应用得好就能起到事半功倍的效果.参考文献： 1 塘子腾,浅谈数学与创新猜想 ,北京师范出版社,2010.03.062

18、福建教学育学院学报 ,2004年第12期3 郑大庆, 初中数学探究教学中的问题设计 ,北京师范出版社,2010.09.244福建教学育学院学报 ,2004年第12期附表1： 宁德师范学院毕业论文(设计)开题报告学生姓名洪丽玲学 号2009041235系 别数学系专 业数学教育指导教师赵小珍职 称导师毕业论文（设计）题目二次函数在实际生活中的应用毕业论文（设计）工作期限2011年 12 月 15 日起至 2012年5月27 日止选题的目的和意义二次函数是数学研究中的一个非常重要的工具，贯穿于整个中学数学的教与学之中.从通过最浅显的直观的图像，解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元

19、二次方程中根的分布问题、再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不显现出二次函数的的魅力.在数学能力的培养上，无论是培养学生严谨的数学思维还是培养学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力上，二次函数都有着不可替代的作用.同时二次函数的应用过程就是数学思想得到充分体现的过程，分类讨论、数形结合、化归与转化、函数与方程的思想在二次函数中都得到了很好的体现.总之二次函数在实际生活中应用是非常广泛的，只要我们在现实生活中能巧妙的应用二次函数就可以帮我们解决现实生活中的很多实际问题，应用得好就能起到事半功倍的效果.毕业论文、设计综述主要从以下几方面进行论述：引言 二次函数是数学研究中的一个非常重要

20、的工具，贯穿于整个中学数学的教与学之中.从通过最浅显的直观的图像，解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题、再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不显现出二次函数的的魅力.在数学能力的培养上，无论是培养学生严谨的数学思维还是培养学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力上，二次函数都有着不可替代的作用.同时二次函数的应用过程就是数学思想得到充分体现的过程，分类讨论、数形结合、化归与转化、函数与方程的思想在二次函数中都得到了很好的体现.1 在经济生活中的应用.在投资方面，投资者要如何投资才能使利润达到最大，商业投资切忌盲目.项目不同利润也不同，商业投资就

21、是要使得风险最小收益最大，不同的项目风险与收益一般不同，风险高的收益一般也高，如何权衡二者，从中选择最优的投资组合.2 在建筑方面上的应用.抛物线在建筑方面的运用也是很广泛的，由于地形的需要或者为了美观，很多建筑都运用了二次函数的原理.像七彩变幻的彩虹是抛物线的形状，在现实生活中有很多类似于抛物线的建筑物.3 在政府决策上的应用.如政府对城市建设的规划，对城乡居民的补助，以及一些安全方面的政策，如公路的建设要求，车灯等都有涉及到.4 在日常生活中的应用.总结 二次函数在实际生活中应用是非常广泛的，只要我们在现实生活中能巧妙的应用二次函数就可以帮我们解决现实生活中的很多实际问题，应用得好就能起到事半功倍的效果.研究步骤1、定题方向，确定论文题目 2、查阅和收集资料 3、拟定论文写作提纲 4、写出论文初稿 5、修改论文 6、定稿提交 日程安排1.定题方向，确定论文题目 2011.12.152012.12.312.查阅和收集资料 2012.01.012012.01.313.拟订论文写作提纲 2012.02.012012.02.294.写出论文初稿 2012.03.012012.04.0