第二章数学方法化的发展和演进

1、第二章 数学方法论的发展 第一节 数学发展历史 数学的萌芽时期数学的萌芽时期 从远古到公元前六世纪 常量数学或初等数学时期常量数学或初等数学时期 从公元前六世纪到公元十七世纪初 变量数学时期变量数学时期 从十七世纪初到十九世纪20年代。 这个时期的起点是笛卡尔的著作。 近代数学时期近代数学时期 十九世纪20年代到20世纪40年代。 现代数学时期现代数学时期 从20世纪40年代至现在 数学萌芽时期 1.数学的对象 天文历法的计算， 土地丈量的长度、面积、体积的计算， 商业交往中运输、交换的计算等 2.数学发展的特点 （1）数学研究的对象是初步的算术和几何的计算知识； 算术和几何结合在一起研究 （

2、2）数学概念的形成比较缓慢，数学知识是片断的、 零碎的，缺乏逻辑因素，没有形成严谨的科学体系 （3）已经逐步出现了一些数学概念和一些抽象的数学 符号， 产生了具有一定关系和规律的数学系统 算 术 （4）为建立抽象的数学理论科学，从思想和方法上 积累了丰富的素材 常量数学或初等数学时期 1.数学的对象 研究对象是客观事物在相对静止的状 态下保持不变的数量和图形，即常量。研 究方法采用了逻辑方法（主要是演绎法） 2.主要发明创造 希腊在几何发展方面有突出贡献。欧几 里得的几何原本是这个时期的重大贡 献，它是从经验数学到理论数学的标志。 中国的九章算术是这个时期杰出的 数学著作 九章算术 九章算术是

3、中国古代第一部数学专著， 是算经十书中最重要的一种。该书内容十分 丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学 成就。同时，九章算术在数学上还有其 独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首 先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界 数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。 要注意的是九章算术没有作者，它是一 本综合性的历史著作，是当时世界上最先进 的应用数学，它的出现标志中国古代数学形 成了完整的体系。 九章算术亦有其不容忽视的缺点： 没有任何数学概念的定义，也没有给出 任何推导和证明。魏景元四年(263年)， 刘徽给九章算术作注，才大大弥补 了这个缺陷。 九章算术是几代人共同劳动的结 晶，它的出现标

4、志着中国古代数学体系 的形成后世的数学家，大都是从九 章算术开始学习和研究数学知识的。 唐宋两代都由国家明令规定为教科书。 1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这 是世界上最早的印刷本数学书。 3.数学发展的特点 （1）数学的研究对象从实际事物的性质中抽 象出来，把它理想化成纯粹的研究对象相 对稳定状态下的数量和图形。 （2）由具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶 段，建立了更多的抽象的数字概念、符号和图 形，逐步脱离实际问题而成为独立的学科。 （3）研究方法运用逻辑方法（主要为演绎法） （4）依据研究对象的不同，建立起了算术、 代数、几何、三角等分支，并有专门的符号体 系、陈述方法和推理证明方法

5、。 变量数学时期 1.数学的对象：变量 2.主要发明创造 法国笛卡尔解析几何 英国牛顿和德国的莱布尼兹微积分 莱布尼兹最早引入微分符号dx和积分符号。 解析几何和微积分是常量数学到变量数 学的标志。 级数论、微分方程论、实变函数论、复 变函数论等，微分几何、数论、组合论、画 法几何学 3.数学发展的特点 （1）研究对象从常量到变量，离散量到 连续量，有限量到无限量，必然量到或然量。 （2）由几何方法向解析方法转变，数学 思想、观点出现了许多混乱并导致剧烈争论。 （3）建立解析几何和微积分两个新学科 （4）数学分析在数学发展中占主导地位 （5）数学与自然科学相互促进 近代数学时期 1.数学的对象

6、 数学对象是定义在任意性质的元素集上的运算和关系，它们由于遵 循的公理系统不同而形成不同的数学结构。 2.主要发明创造 公理方法和公理化集合论得到很大发展 三大转折：微积分发展为数学分析；解析几何发展为高等几何；方 程发展为高等代数。 三大突破：分析学产生了傅立叶级数，函数概念上产生重大突破； 几何学产生了非欧几何，空间概念上有重大突破；代数上产生伽罗华理 论，代数运算概念上有重大突破。 三大理论：实数理论、集合论和数理逻辑 出现了许多数学新分支，如：非欧几何、拓扑学、级数论、函数论、 积分方程、泛函分析、积分几何、代数几何、逻辑代数、随机微分方程 等 3.数学发展的特点 （1）革命的数学思想

7、、数学创造的自 由化促使数学很大发展； （2）数学研究对象更一般化、抽象化、 多样化 （3）数学的发展趋向于统分结合 （4）数学的应用越来越广泛 （5）数学新问题层出不穷 现代数学时期 1.数学对象 现实世界的空间形式和数量关系以及在这个基础上发展起来的结构和模 型。 2.主要发明创造 对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、数 理经济学、生物数学、数理心理学；计算数学、程序设计、程序语言、数 理逻辑、数理语言学、组合论、图论、非标准分析、模糊数学、突变理论 等 3.数学发展的特点 （1）以集合论为基础，数理逻辑成为数学推理的依据 （2）数学抽象化的程度进一步加强 （3）应

8、用数学蓬勃发展 （4）电子计算机的产生和应用 （5）基础数学理论飞速发展 三 数学发展的动力 一、外部动力：社会实践及社会生产 的发展 二、内部动力：数学内部的矛盾 斗争 社会实践及社会生产的发展 例如：以天文学需要为指南，建立了球面几何及三角学原理；例如：以天文学需要为指南，建立了球面几何及三角学原理； 数和形的初始概念产生于社会实践；数和形的初始概念产生于社会实践； 1717世纪欧洲生产的发展，促进了力学和技术的发展，从而世纪欧洲生产的发展，促进了力学和技术的发展，从而 向数学提出了从一般的形态上研究运动的问题。出于研究运动，向数学提出了从一般的形态上研究运动的问题。出于研究运动， 变量的

9、观念产生了，同时也产生了函数的概念；变量的观念产生了，同时也产生了函数的概念； 微积分的产生；微积分的产生； 连续介质力学、场论引导了偏微分方程的发展；连续介质力学、场论引导了偏微分方程的发展； 经济与军事竞争的需要发展了对策论；经济与军事竞争的需要发展了对策论； 在工程技术、国防科学、社会科学及工商业贸易中提出了在工程技术、国防科学、社会科学及工商业贸易中提出了 大量的最优化问题；大量的最优化问题； 数学内部的矛盾 负数、无理数、虚数的出现 在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题， 如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、 开方求出根来；古希腊几何三大问题不能通过圆规和 直尺作图来解决等等。 这些发现导致代数学从此以后 向抽象代数的方面发展