高等数学（上）：D8_2数量积 向量积 混合积

1、8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积第二节第二节1*三、向量的混合积三、向量的混合积 一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积 第八章第八章 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积2. . 2121MMsMMF表示位移表示位移以以点点移动到移动到作用下沿直线从点作用下沿直线从点设一物体在常力设一物体在常力1M2MsF. ,cos W 的夹角的夹角与与为为其中其中所作的功所作的功力力sFsFF 一、数量积一、数量积启示启示 两向量作这样的运算两向量作这样的运算, , 结果是一个数量结果是一个数量.

2、 .实例实例8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积3ab即即记作记作的数量积的数量积与与向量向量把它叫做把它叫做的余弦的乘积的余弦的乘积的夹角的夹角及它们及它们、作作设有向量设有向量, , , , babababa 所以所以的方向上的投影的方向上的投影量量在向在向时是向量时是向量当当由于由于, 0 ),cos(cos babababbaPrj . babaaPrj ., 0 ,abbabbPrj 有有时时当当同理同理 cosbab定义定义 cos|baba 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积4数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等

3、于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. .8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积5数量积的性质及运算规律数量积的性质及运算规律0)2( ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos ,2 .ba .|)1(2aaa )(,ba ,2 , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证:证证)(8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积6数量积的运算规律数量积的运算规律. )1(abba 交换律交换律.)( )2(cbcacba 分配律分配律有

4、有时时当当上式显然成立上式显然成立时时当当, 0 ; , 0 cc)()(baccbac Prj)(bacccPrjPrj bcacccPrjPrj . cbca . ),()( )3(为数为数结合律结合律 baba ).()()( );()( babababa 推论推论8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积7 试用向量证明三角形的余弦定理试用向量证明三角形的余弦定理. .则则如图如图中中设在设在),(, BCAABC,cABbCAaBC ,CBa CAb ABc 记记则则有有, bac 2()()cccab ab从从而而,( , ),aa bb cca b 由由及及即即得得.cos

5、2222 abbac 例例1证证222cos( , ).aba ba b ABC a cbbabbaa2 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积8数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积9 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦

6、的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积10正交正交( (垂直垂直) )向量向量.),(,2bababa 记作记作直直或垂或垂正交正交与与则称则称的夹角的夹角与与如果向量如果向量 ).(0,0aaa 即即正交正交都与零向量都与零向量任何向量任何向量8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积例例2. 已知三点已知三点11)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0

7、, 1,0 1则则AMBcos10022213AMB求求MBMAMA MB故故8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积12abbababaPrj|Prj)3( . 3|Prj bbaab所以所以.)3(;)2(;)1(),2 , 2, 1(),4, 1 , 1(上的投影上的投影在在的夹角的夹角与与求求已知已知babababa 解解:2)4()2(111)1( ba222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 cosbab ab cosa例例3. 9 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积13证明证明:cacbbca )()()()(

8、cacbcbca ()b c a ca c 0 cacbbca )()(4 ()()ca c bb c a 例例证证明明向向量量 与与向向量量垂垂直直8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积例例5. 设均匀流速为设均匀流速为14为为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度流体密度的流体流过一个面积为的流体流过一个面积为 A 的平的平面域面域 ,与该平面域的单位垂直向量与该平面域的单位垂直向量,A解解:单位时间内流过的体积单位时间内流过的体积APAA的夹角为的夹角为且且vvncosvcosvnv vnn为单位向量为单位向量8.2 数量

9、积数量积 向量积向量积 混合积混合积15在研究物体转动时在研究物体转动时, ,既要考虑物体所受的力既要考虑物体所受的力, ,又又要分析力所产生的力矩要分析力所产生的力矩. . . . .OLFPFOP 设设为为一一根根杠杠杆杆的的支支点点有有一一个个力力作作用用于于杠杠杆杆上上点点处处与与的的夹夹角角为为它的模它的模是一向量是一向量的力矩的力矩对支点对支点力力, MOFFOQM 二、向量积二、向量积LO PF Q sin ,OPF 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积16 , .MOPFMOPF 的的方方向向垂垂直直于于与与所所决决定定的的平平面面的的指指向向是是按按右右手手法法则

10、则从从以以不不超超过过的的角角转转向向来来确确定定的的LO PF QOPFM8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积17: 按照下列方式给出按照下列方式给出与与由两个向量由两个向量设向量设向量bac. ,sin 的夹角的夹角与与为为其中其中的模的模babacc . , 来确定来确定转向转向规则从规则从的指向按右手的指向按右手决定的平面决定的平面所所与与的方向垂直于的方向垂直于bacbac. , , , bacbabac 即即记作记作的向量积的向量积与与叫做向量叫做向量向量向量那么那么8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积18)( sin|的夹角的夹角与与为为其中其中babac

11、 即即bacba 的的向向量量积积为为与与向向量量.,、“外外积积”向向量量积积也也称称为为“叉叉积积”右右手手系系指指向向符符合合又又垂垂直直于于的的方方向向既既垂垂直直于于bac8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积19. 0)1( aa0sin0 ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积的性质向量积的性质)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin 0, 或或)( 或或0 0sin . 0sin| baba证证ba/ba/. 00sin2 aaa8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积20向量积的运算规律向量积的运算规律. )1(baab 交换律对向量积

12、不成立交换律对向量积不成立. .)( )2(cbcacba 分配律分配律). ( )()()( )3(为数为数其中其中结合律结合律 bababa 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积21向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式则则设设,kbjbibbkajaiaazyxzyx )()(kbjbibkajaiabazyxzyx )()()()()()()()()(kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibazzyzxzzyyyxyzxyxxx Oijk0 kkjjii,jikikjkji ,jkiijkkij kbabajbabaibababaxyyxzxxz

13、yzzy)()()( 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积22二阶行列式表示二阶行列式表示.kbbaajbbaaibbaabayxyxzxzxzyzy 三阶行列式表示三阶行列式表示.zyxzyxbbbaaakjiba zzyyxxbabababa /),(两两个个为为零零不不能能同同时时为为零零，但但允允许许zyxbbb0, 000 yxzzyxaabaaa例，例，8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积23向量积的几何意义向量积的几何意义ab sinbh :)1(的模的模ba sinbaba .面积面积为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的和和表示以表示以baba :)

14、2(的方向的方向ba .的平面相垂直的平面相垂直又平行于又平行于与一切既平行于与一切既平行于baba )sin( bhha 8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积例例6. 已知三点已知三点24, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面积的面积 解解: 如图所示如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积25ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 2

15、2216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD7 (1, 1,2)(5, 6,2)(1,3, 1),.ABCACBD例 在顶点为、和的三角形中求边上的高8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积26.),2 , 1, 2(),1, 1 , 3(),0 , 0 , 1(nCBA的向量的向量求一个垂直于平面求一个垂直于平面过空间三点过空间三点设平面设平面 ABC)02 , 01, 12( AC)01, 01 , 13( AB,ABAC 与与不不共共线线且且均均位位于于平平面面 内内ACABn .35kji 例例8 8解解2

16、11112 kji),1, 1 , 2( ),2 , 1, 1( .ABAC 故故垂垂直直于于平平面面8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积27解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj9 324 ,2aijk bijk 例求与都垂直的单位向量8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积2822)()(baba 所以所以.)()(2222bababa 证明证明),(cos)(2222bababa 由于由于),(sin2222bababa .22ba 例例1010证证),(sin),(cos222

17、2bababa 2)(ba8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积内容小结内容小结29设设1. 向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积叉积:kjixayazaxbybzbba8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积302. 向量关系向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积31思考与练习思考与练习1. 设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC8.2 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积32证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasi