浙江大学控制理论乙第三章

1、2021-7-6P60-12021-7-6P60-2一、稳定性的基本概念一、稳定性的基本概念 所谓稳定性，就是指系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的；若干扰消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，偏差越来越大，则系统是不稳定的。 一般来说，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性，如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的，则此系统就被认为是总体稳定的。2021-7-6P60-3二、线性系统的稳定性二、线性系统的稳定性单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为 mnasasasabsbsbs

2、bsXsYnnnnmmmm11101110)()(系统的特征方程式为： 01110nnnnasasasa此方程的根，称为特征根。它是由系统本身的参数和结构所决定的。2021-7-6P60-4三、线性系统稳定的充分必要条件三、线性系统稳定的充分必要条件 线性系统稳定的充分必要条件是：特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复数根，即特征方程式的根均在复数平面的左半部分。 也可以说，系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在s平面的左半部分。 如果特征方程在复平面的右半平面上没有根，但在虚轴上有根，则可以说该线性系统是临界稳定的，系统将出现等幅振荡。 2021-7-6P60-5四、劳斯四、劳斯赫尔维

3、茨（赫尔维茨（Routh-HurwitzRouth-Hurwitz）稳定判据）稳定判据1、稳定性的初步判别 设已知控制系统的特征方程01110nnnnasasasa式中所有系数均为实数，且a00。则系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。 若有任何一项系数为负或0，则系统不稳定；若系数均为正，对二阶系统肯定是稳定（充分必要条件），对二阶以上系统需要进一步判断。2021-7-6P60-62、劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式：01110nnnnasasasa 并将各系数组成如下排列的劳斯表： sna0a2a4sn-1a1a3a5sn-2b1b2b3sn-3c1c2c3s2e1

4、e2s1f1s0g1 表中的有关系数为：130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc2021-7-6P60-7 列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况：(1) (1) 第一列所有系数均不为零的情况第一列所有系数均不为零的情况这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。2021-7-6P60-8例例3-13-1 三阶系统的特征方程为320123( )0D

5、 sa sa sa sa试判断该系统的稳定性。解：列出劳斯表：0a2a1a3a12031a aa aa3a3s2s0s1s系统稳定的充分必要条件是：012312030,0,0,0,0aaaaa aa a2021-7-6P60-9例3-2 系统的特征方程 试判断该系统的稳定性05432)(2345ssssssD由左表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9，因此该系统有两个正实部的极点，系统是不稳定的。 s5114s4235s3-130（各元素乘以2）s2950s132（各元素乘以9）s05解：列出劳斯表：2021-7-6P60-10可以用一有限小的数值来代替为

6、零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（）上面的系数符号与零（）下面的系数符号相反，表明这里有一个符号变化。（2 2）某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不）某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不 等于零的情况等于零的情况2021-7-6P60-11例3-3 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性0122234ssss解：列出劳斯表：111220（0） 12-2/ 0s4s3s2s1s01现在考察第一列中各项数值。当趋近于零时，2-2/的值是一很大的负值，因此可以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部，系统是不稳定的。 2021-

7、7-6P60-12(3) (3) 某行所有各项系数均为零的情况某行所有各项系数均为零的情况如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项，这表示在s平面内存在一些绝对值相同但符号相反的特征根，如两个大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭纯虚根，或对称于实轴的共轭复根。为了写出下面各行，将不为零的最后一行的各项组成一个方程，这个方程叫作辅助方程，次数通常为偶数。由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数为零，而且没有其它项时，可以像情况（2）所述那样，用代替为零的一项，

8、然后按通常方法计算阵列中其余各项。2021-7-6P60-13例3-4 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性0161620128223456ssssss解：劳斯表中的 各项为：63sss6182016s5212160s4168（各元素乘以1/2）s3000由上表看出，s3行的各项全为零。2021-7-6P60-14 为了求出s3 s0各项，将s4行的各项组成辅助方程： 86)(24sssA 将辅助方程A(s)对s求导数，得ssdssdA124)(3s6182016s5212160s4168s3412s238s14/3s08 用上式中的各项系数作为s3行的各项系数，得劳斯表为： 从左表的第一列

9、可以看出，各项符号没有改变，因此可以确定在右半平面没有极点。另外，由于s3行的各项皆为零，这表示有共轭虚数极点。这些极点可由辅助方程求出。 辅助方程是：08624 ss求得大小相等符号相反的虚数极点为：22,1js24,3js2021-7-6P60-153、赫尔维茨判据（Hurwitz） 分析6阶以下系统的稳定性时，还可应用赫尔维茨判据 将系统的特征方程写成如下标准形式：01110nnnnasasasannaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa000000000567893456712345012301 现以它的各项系数写出如下之行列式 赫尔维茨判据描述如下：在a00的情况下，系统稳定的

10、充分必要条件是上述各行列式的各阶主子式均大于零，即对稳定系统来说要求： 011a023012aaaa00345123013aaaaaaaa0n2021-7-6P60-16例3-5 设反馈控制系统如下图所示，求满足稳定要求时K的临界值 +-R(s)C(s) 5)(1(sssk解：系统闭环传递函数KsssKsRsC)5)(1()()(特征方程为 D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0 或05623Kssss315s26Ks0Ks1630K列出劳斯表按劳斯判据，要使系统稳定，其第一列数值应为正，即K0，30-K0，则有0K0。系统的时间常数及放大系数均为正，所以满足各项系数均大于零的条件。将各项系

11、数代入a1a2-a0a30中，得： (T1+T2+T3)(T1T2+T1T3+T2T3)-T1T2T3(1+K)0 或者1+K1时，系统具有不相等的两个实极点，系统的暂态响应随时间按指数函数规律而单调衰减，衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过过阻尼阻尼情况。 212nnd,1s sjj 001tc(t)阶跃响应23122222( )=+( +2+)+-1+-1nnnnnnnAAAC sss ssss 2021-7-6P60-37第六节 二阶系统的暂态响应 当阻尼比 =1时，系统具有两重实极点，于是系统暂态响应中没有周期分量，暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称

12、系统处于临界阻尼临界阻尼情况。 212nnd,1s sjj 001tc(t)阶跃响应2-2211( )= -=1-(1+)+( +)( +)ntnnnnnnC st esss ss2021-7-6P60-38第六节 二阶系统的暂态响应 当0 -1（右半平面有正实部的共轭虚根）时系统响应 -1（右半平面有相异正实根）时系统响应 212nnd,1s sjj -5tc(t)阶跃响应00tc(t)阶跃响应2021-7-6P60-41第六节 二阶系统的暂态响应 n n =001系统极点位置与 、 、 及 之间的关系。对于标出的一对共轭复数极点 是从极点到s平面原点的径向距离， 是极点的实部， 是极点的虚

13、部，而阻尼比 等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹角的余弦，即 =cos阻尼比 是二阶系统的重要特征参量。 ndnd212nnd,1s sjj 2021-7-6P60-42第六节 二阶系统的暂态响应一、二阶系统的单位阶跃响应1、欠阻尼情况(0 1 )这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以写成)1)(1()()(222nnnnnsssRsC其拉氏反变换为：系统的响应c(t)包含着两个衰减的指数项。当 远大于1时，两个衰减的指数项中，一个比另一个衰减的要快得多，因此衰减得比较快的指数项（相应于较小时间常数的指数项），

14、就可以忽略不计。过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是随时间单调增长的，最后趋于静态值，最大超调是零。ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(s1s22021-7-6P60-45第六节 二阶系统的暂态响应二、二阶系统的暂态响应指标当系统为欠阻尼情况下，即0 1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量 的计算公式：p上升时间tr)1(tan11212nrt2121tan ()1dn峰值时间tp 2=1pdnt 由上式可见，如欲减小tr ，当 一定时，需增大 ，反之，若 一定时，则需减小 。nn)sin1(cos1)(2ttetcddtn)1tansin(

15、11212tedtn2021-7-6P60-46第六节 二阶系统的暂态响应最大超调量p 1)(pptc)sin1(cos2pnte)1/(2e调整时间ts 当00.8时)/(3nst当采用2%允许误差时 )/(4nst当采用5%允许误差时05. 1112sntenst)1/1ln(3221/1tne21/1tnec(t)t01.00包络线2021-7-6P60-47第六节 二阶系统的暂态响应 三、二阶系统的脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应C(s)为 2222)(nnnsssC该方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)当01时(0)t 0.30.51.0012345678910-0.8-0.6

16、-0.4-0.200.20.40.60.810.1 0.3 0.5 0.7 1.0 2021-7-6P60-48第六节 二阶系统的暂态响应例3-11 图示系统中 ， 弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量p和调整时间ts。 6 . 05n+-R(s)C(s)2(2nnssE(s)解：根据给定的 和 值，可以求得 n214dn上升时间tr211-3.14tan3.140.9344rdt0.55( ) s2021-7-6P60-49第六节 二阶系统的暂态响应峰值时间tp3.140.785( )4pdts最大超调量p2( / 1)(3/4) 3.140

17、.095pee因此，最大超调量百分比为9.5%调整时间ts对于2%允许误差标准，调整时间为：n441.333st秒对于5%允许误差标准，调整时间为： n3313st 秒2021-7-6P60-50第七节 高阶系统的暂态响应nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsC11101110)()(高阶系统传递函数一般可以写成 进行因式分解，可写成 )()()()()()(2121nmsssssszszszsKsRsC其阶跃响应的象函数为： rknknkkqiimjjssssszsKsC122111)2()()()(22211()112qrkknkknkkiikiknknkB sCAAsssss

18、 )1cos(12krkknktkteDnkkqitsiieAAtc1)(单位阶跃响应：2021-7-6P60-51第七节 高阶系统的暂态响应 高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统暂态响应分量的合成 2. 高阶系统暂态响应各分量的系数Ai和Dk不仅与s平面中极点的位置有关，并且与零点的位置也有关。对于系数很小的分量和远离虚轴的极点对应的衰减很快的暂态分量常可忽略，则高阶系统的响应可用低阶系统的响应去近似。3. 如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统主导极点。1.

19、 高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数 及 决定knk is2021-7-6P60-52第八节 用MATLAB进行暂态响应分析一、线性系统的MATLAB表示 25425)()(2sssRsCnum=0025den=1425 （注意，必要时需补加数字零 ）当阶跃命令的左端含有变量时，如y,x,t=step(num,den,t)，显示屏上不会显示出响应曲线。因此，必须利用plot命令去查看响应曲线。 如果已知num和den（即闭环传递函数的分子和分母），则命令step(num，den)，step(num，den，t)将会产生单位阶跃响应图。2021-7-6P60-53第八节 用MATLA

20、B进行暂态响应分析二、单位阶跃响应的求法 时间（秒）G(s)=25/(s2+4s+25)的单位阶跃响应00.511.522.5300.20.40.60.811.21.4Matlab源程序：num=0025;den=1425;step(num,den)title(G(s)=25/(s2+4s+25)的单位阶跃响应)2021-7-6P60-54第八节 用MATLAB进行暂态响应分析三、脉冲响应 impulse(num,den)y,x,t=impulse(num,den)y,x,t=impulse(num,den,t)例3-12试求下列系统的单位脉冲响应：12 . 01)()(2sssRsC时间（秒

21、）G(s)=1/(s2+0.2s+1)的单位脉冲响应0102030405060-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81num=001;den=10.21;impulse(num,den);gridtitle(G(s)=1/(s2+0.2s+1)的单位脉冲响应) Matlab源程序：2021-7-6P60-55第八节 用MATLAB进行暂态响应分析四、求脉冲响应另一种方法 当初始条件为零时，G(s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。对于上例，可写成：sssssssGsCsRsC112 . 012 . 01)()()()(22时间（秒）G(s)=s/(s2+0.2s

22、+1)的单位脉冲响应010203040506000.511.522.5Matlab源程序：num=010;den=10.21;step(num,den);grid;title(G(s)=1/(s2+0.2s+1)的单位脉冲响应) 2021-7-6P60-56第八节 用MATLAB进行暂态响应分析五、斜坡响应（MATLAB中没有斜坡响应命令） 对于单位斜坡输入量 21)(ssR2221111( )( ) ( )1(1)C sG s R sssssss s得：0123456701234567G(s)=1/(s2+s+1)的单位斜坡响应曲线t （秒）输入和输出Matlab源程序：num=0001;d

23、en=1110;t=0:0.1:7;c=step(num,den,t);plot(t,c,o,t,t,-)gridtitle(G(s)=1/(s2+s+1)的单位斜坡响应曲线)xlabel(t （秒）)ylabel(输入和输出) 2021-7-6P60-57第八节 用MATLAB进行暂态响应分析六、系统时域响应的求取 利用MATLAB语言的residue()函数命令，可以比较方便地求取线性时域响应解析解 例313 试求下列系统的阶跃输入响应2450351024247)()(23423ssssssssRsCnum=172424;den=110355024;r,p,k=residue(num,den,0)程序执行后得到如下结果r=-1.00002.0000-1.0000-1.00001.0000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.00000k=阶跃输入响应为：12)(234tttteeeety2021-7-6P60-58第八节 用MATLAB进行暂态响应分析例314 试求下列系统的阶跃输入响应18181123)()(234ssssssRsC解：matlab程序：num=13;den=1211