2.1曲线的凹向、拐点与渐近线ppt课件

1、编编curvilinear cave to with turn to order with asymptote经经济济数数学学基基础础三、小结三、小结 思考题思考题二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线一、曲线的凹向与拐点一、曲线的凹向与拐点微微积积分分学学2/25一、曲线的凹向与拐点一、曲线的凹向与拐点1.11.1、问题的提出、问题的提出1.21.2、曲线凹向的定义、曲线凹向的定义1.31.3、曲线凹向的判定、曲线凹向的判定1.41.4、曲线的拐点及其求法、曲线的拐点及其求法二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线2.12.1、渐近线的定义、渐近线的定义1.51.5、有关拐点的若干话题、有关拐点的若干话题

2、2.22.2、分类、分类作业：作业：p1963 (1,2,6);4 (1,3)2.22.2、有关渐近线的认识、有关渐近线的认识三、小结三、小结练习：练习：p195 1,23 (3,4,5);4 (2,4)3/25同样是单调上升的曲线同样是单调上升的曲线, , 但却但却有不同的弯曲方向有不同的弯曲方向, , 如何研究如何研究曲线的弯曲方向？曲线的弯曲方向？xyoxyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x曲线向上弯曲的弧段曲线向上弯曲的弧段位于其上任一点处切位于其上任一点处切线的上方线的上方, 称为上凹称为上凹.ABC1.11.1、问题的提出、问题的提出曲线向下弯曲的弧段曲线向下弯曲的弧

3、段位于其上任一点处切位于其上任一点处切线的下方线的下方,称为下凹称为下凹.4/25定义定义4.34.31.21.2、曲线凹向的定义、曲线凹向的定义 若在某个区间内若在某个区间内, 曲线弧位于其上任一曲线弧位于其上任一点的切线上方点的切线上方, 则称曲线在该区间内是上凹的则称曲线在该区间内是上凹的; 若若曲线弧位于其上任一点的切线下方曲线弧位于其上任一点的切线下方, 则称曲线在该则称曲线在该区间内是下凹的区间内是下凹的.注注: 上凹简称凹上凹简称凹, 也称下凸也称下凸; 下凹简称凸下凹简称凸, 也称上凸也称上凸.xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减

4、)(xf 0 y图形分析图形分析结论结论: 利用一阶导数符号来研究函数的增减性利用一阶导数符号来研究函数的增减性; 利用二阶导数的符号来研究函数的凹凸性利用二阶导数的符号来研究函数的凹凸性.5/251.31.3、曲线凹向的判定、曲线凹向的判定证明略。证明略。例例1 1.3的凹向性的凹向性判断曲线判断曲线xy 解解定理定理4.10 4.10 设函数设函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内具有二阶导数内具有二阶导数, ,若对若对x(a,b),x(a,b),有有f(x)0,f(x)0,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内上凹内上凹; ;若对若对x(a,b),x(a,

5、b),有有f(x)0,f(x)0,f(x)0,则为上凹区间则为上凹区间; f(x)0, ; f(x)0, 则为下凹区间则为下凹区间; ; 若上述各点是不同凹向区间分界点若上述各点是不同凹向区间分界点 , , 则与该点对则与该点对 应的曲线上的点就是拐点应的曲线上的点就是拐点; ; 反之则不是拐点反之则不是拐点. .8/25例例3 3.14334的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐

6、点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为xyO119/25例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy xyo3xy 10/25例例5.5.求曲线求曲线 的凹向区间及拐点的凹向区间及拐点. . xxey )1(xexeeyxxx 解：解：),()(

7、yD)2()1( xeexeyxxx20 xyyx+上凹上凹下凹下凹y )2 ,( 2), 2( 022 e故故 上凹区间：上凹区间： 下凹区间：下凹区间： 拐点拐点), 2( )2 ,()2 , 2(2 exxey 11/25解解),()( yD35) 1(92 xy列表考察一阶、二阶导数的符号列表考察一阶、二阶导数的符号yxy y )0 ,(0)1 , 0(1)2 , 1(), 2( 2例例6 6 求求 增减、凹向区间、极值与拐点增减、凹向区间、极值与拐点. .3/13xxy ,31)1(3132 xy2, 00 xxy,x = 1 不可导不可导点点 + + 00不可导不可导+ 1 3/1

8、3/1 故函数的单增区间为故函数的单增区间为(0,2)(0,2)，单减区间为，单减区间为 上凹区间上凹区间 , ,下凹区间下凹区间 , ,极小值极小值 极大值极大值 ， 拐点拐点 ), 2(),0 ,( )1 ,( ), 1( 1)0( y3/1)2( y)3/1, 1( 12/250)( af假设假设(a ,f(a)(a ,f(a)为曲线为曲线 y=f(x) y=f(x) 的拐点的拐点, ,则其必在曲线上；则其必在曲线上；若若y=f(x)y=f(x)二阶可导二阶可导, ,且且(a ,f(a)(a ,f(a)为拐点为拐点, ,则必有则必有 ; ; 的点称驻点，的点称驻点， 的点无名份的点无名份

9、, ,二者间切莫混二者间切莫混. .0 y0 y1.51.5、有关拐点的若干话题、有关拐点的若干话题13/25假设 ,函数单增假设 ,函数单减0 y0 y 增减区间 凹向区间求 或 不存在的点0 yy 求 或 不存在的点0 yy 上述各点分定义域为若干区间,考察各 符号y 上述各点分定义域为若干区间,考察各 符号y 假设 ,曲线上凹假设 ,曲线下凹0 y0 y求增减区间求增减区间 与凹向区间方法比较与凹向区间方法比较 写出函数的定义域 写出函数的定义域综上可知：增减凹向四步曲综上可知：增减凹向四步曲, ,率先当推定义域率先当推定义域; ; 求得界点列出表求得界点列出表, , 考察符号全无敌考察

10、符号全无敌. .14/25 极值点与拐点比较极值点与拐点比较假设 的两侧 异号 为拐点假设 的两侧 异号 为函数极值点求 或 不存在的点求 或 不存在的点 同左 函数的定义域 拐点 极值点0 yy 0 x0 yy 0 xy 0 xy 1x1x)(,(11xfx综上可知：一阶导数知升降，二阶导数晓凹向；综上可知：一阶导数知升降，二阶导数晓凹向； 极值拐点有区别，灵活运用细思量。极值拐点有区别，灵活运用细思量。Back15/252.12.1、渐近线的定义、渐近线的定义 若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)上的动点上的动点P P沿曲线无限远离坐标沿曲线无限远离坐标原点时，该点原点时，该点P P与某条

11、定直线与某条定直线L L的距离趋于零，则称的距离趋于零，则称该定直线该定直线L L为曲线为曲线y=f(x)y=f(x)的一条渐近线的一条渐近线. . 2.22.2、分类、分类水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的的一一条条水水平平渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy xyo 16/25注注: : 设曲线设曲线 y=f(x) y=f(x) 的定义区间为无限区间，的定义区间为无限区间，假设假设 则曲线向左无限延伸时，以直

12、线则曲线向左无限延伸时，以直线 y=b1y=b1为其一条水平渐近线；为其一条水平渐近线；假设假设 则曲线向右无限延伸时，以直线则曲线向右无限延伸时，以直线 y=b2y=b2为其一条水平渐近线；为其一条水平渐近线；假设假设 则曲线向左右无限延伸时，都以则曲线向左右无限延伸时，都以直线直线 y=by=b为其水平渐近线为其水平渐近线. . bxfx )(lim1)(limbxfx 2)(limbxfx xyo xyo1xy 2 xy21 xyoxy1 17/25例例8. 8. 求求 的水平渐近线的水平渐近线xxeey 1解解: :01lim xxxee故曲线向左延伸以故曲线向左延伸以 y=0 y=0

13、 为水平渐近线为水平渐近线1lim1lim xxxxxxeeee曲线向右延伸，以曲线向右延伸，以 y=1y=1为为水平渐近线水平渐近线Oxy1 y22)1 ()1 ()1 (xxxxxxxeeeeeeey 3)1/()1(xxxeeey 18/25铅垂渐近线铅垂渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=ax=a处间断，且处间断，且 ,)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfaxaxax或或或或则曲线向上方或下方无限延伸时，以直线则曲线向上方或下方无限延伸时，以直线x=ax=a为铅垂渐近线为铅垂渐近线. .注意：注意：若若x=a x

14、=a 是函数的无穷间断点，必为曲线的铅是函数的无穷间断点，必为曲线的铅垂渐近线；垂渐近线；无穷大有正、负无穷大之分，具体解题无穷大有正、负无穷大之分，具体解题应分清应分清. .例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xxxyO32 19/25例例9 9 求求 的水平渐近线和铅垂渐近线的水平渐近线和铅垂渐近线xey/1 解解1lim0/1 eexx曲线向左右延伸以曲线向左右延伸以 y=1y=1为水平为水平渐近线渐近线x=0为函数的间断点，又因为为函数的间断点，又因为 xxe/10lim故故x=0 x=0为曲线的为曲线的一条铅垂渐近线一条铅垂渐近线xy0

15、1 y1。20/25 例例10.10.求求 的铅垂渐近线的铅垂渐近线. .12322 xxxy解：解： 为间断点为间断点1 x2/1232lim123lim1221 xxxxxxx故故 x=1 不是铅垂渐近线，不是铅垂渐近线，故故 x=-1 是铅垂渐近线是铅垂渐近线注意注意: : 由于由于xx时时, y1;, y1;故故y=1y=1是水平渐近线是水平渐近线. . 123lim221xxxx21/25斜渐近线斜渐近线.)(),( 0)()(lim0)()(lim的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或若若xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:

16、:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注意注意: :;)(lim1不不存存在在如如果果xxfx .)(lim,)(lim2不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 注意：在同一个方向上，若曲线有水平渐近线，注意：在同一个方向上，若曲线有水平渐近线，则必无斜渐近线，反之亦然则必无斜渐近线，反之亦然. .22/25例例11. 11. 求求 的斜渐近线的斜渐近线1 xxy 解解xyO, 1)1(lim)(lim2 xxxfaxx0lim)(lim1 x

17、axxfbxx故故 y=x y=x 为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线注：关于渐近线我们要防止如下的错误认识：注：关于渐近线我们要防止如下的错误认识： 渐近线与曲线不能相交渐近线与曲线不能相交? 是可以相交的！如是可以相交的！如xOyxyO23/25例例1212.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 1124lim xxx.42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxfxyO22 24/25渐近线都是直线渐近线都是直线, ,但斜率不同但斜率不同 水平渐近线平行于水平渐