2.1数量值函数的曲面积分ppt课件

1、第二节第二节 数量值函数的曲面积分数量值函数的曲面积分 ( (第一类曲面积分第一类曲面积分) )一、概念的引入一、概念的引入二、第一类曲面积分的定义二、第一类曲面积分的定义三、第一类曲面积分的计算法三、第一类曲面积分的计算法一、概念的引入一、概念的引入 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .oxyz引例引例: : 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx 类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, , 采用采用kkkkS ),( n

2、k 10lim M),(kkk“分割分割, , 取近似值取近似值, , 求近似和求近似和, , 求极限的方法求极限的方法, ,可得可得求质量求质量M.M.其中其中, , 表示表示n n小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 ( (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ). 二、第一类曲面积分的定义二、第一类曲面积分的定义 设设曲曲面面 是是光光滑滑的的, , 函函数数),(zyxf在在 上上有有界界, , 把把 分分成成n小小块块iS （iS 同同时时也也表表示示第第i小小块块曲曲面面的的面面积积）, ,设设点点),(iii 为为iS 上上任任

3、意意取取定定的的点点, ,作作乘乘积积 ),(iiif iS , , 并作和并作和 niiiif1),( iS , , 如果当各小块曲面如果当各小块曲面的直径的最大值的直径的最大值0 时时, , 这和式的极限存在这和式的极限存在, , 则称此极限值为数量值函数则称此极限值为数量值函数),(zyxf在曲面在曲面 上上对面积的对面积的曲面积分曲面积分或或第一类曲面积分第一类曲面积分. . 1.1.定义定义 Szyxfd),(记为记为 Szyxfd),(iiiniiSf ),(lim10 即即叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf,叫叫积积分分曲曲面面 .d 叫曲面面积元素叫曲面面积元素S注

4、意：注意：.d),(),()1 Szyxfzyxf曲曲面面积积分分常常记记为为上上第第一一类类在在闭闭曲曲面面函函数数.d,1),()2的的面面积积曲曲面面时时当当 Szyxf2.2.第一类曲面积分的存在性第一类曲面积分的存在性.d),(,),(存在存在第一类曲面积分第一类曲面积分上连续时上连续时在光滑曲面在光滑曲面当当 Szyxfzyxf3.3.第一类曲面积分的性质第一类曲面积分的性质1) 第一类曲面积分具有线性性质第一类曲面积分具有线性性质,则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,)221 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzyxfSzyxf回忆回忆:2.:( ,

5、)yy x z 若若曲曲面面3.( , )xx y z 若若曲曲面面：),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么按照曲面的不同情况按照曲面的不同情况,曲面面积元素分为以下三种：曲面面积元素分为以下三种：那么那么那那么么22dS1dxyzzxdy22dS1dxzyyxdz221yzdSxx dydz, ),(yxzz 的方程可以化为的方程可以化为曲面曲面 :二二重重积积分分上上计计算算面面上上的的投投影影区区域域在在在在xyDxoy ,d),(时时计算计算 Szyxf22 , , ( , ) 1d d.xyxyDf x y z x yzzx y即可：换换为为只只要要把把Sd221xyzzdxd

6、y,),(代代入入的的方方程程用用yxzzz 三、第一类曲面积分的计算法三、第一类曲面积分的计算法 当当 为为 xoy 平面上的区域平面上的区域 D 时，时， 即是即是 D 上的二重积分，上的二重积分， Szyxfd),( Szyxfd),( Dyxyxfdd)0 ,(Oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知由定义知Szyxf

7、d),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而( 光滑).1432,d)342(位位于于第第一一卦卦限限部部分分为为平平面面计计算算 zyxSzyxI 例例1 1第一类曲面积分的计算法第一类曲面积分的计算法:.d)3;)

8、,()2;),(,)1,是曲面上的面积元素是曲面上的面积元素上的上的是定义在曲面是定义在曲面上连续上连续在在是光滑或分片光滑的是光滑或分片光滑的但要注意：但要注意：积分计算积分计算在一定条件下化为二重在一定条件下化为二重Szyxfzyxf .1,)d(2222的边界曲面的边界曲面为立体为立体其中其中计算计算 zyxSyxI 例例2 2.,d22222所围立体的表面所围立体的表面和锥面和锥面为球面为球面计算计算yxzyxRzSzI 例例3 322 , ( , ), 1d d ;xzxzDf x y x z zyyx z Szyxfd),(那么那么22 ( , ), , 1d d .yzyzDf

9、x y zy zxxy z Szyxfd),(),(. 3zyxx 可表示为可表示为若曲面若曲面 那那么么2. 若曲面若曲面 可表示成可表示成 y = y(x,z)1zyx11o0,0,0,1 zyxzyx的表面的表面, , 计算计算.d)1(12 SyxI例例4 4 设设 是四面体是四面体(2) 计算计算.d SxyzI2解解: 设设上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (1203, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 zyx111O小结小结(第一类曲面积分计算第一类曲面积

10、分计算):2.:( , )yy x z 若若曲曲面面22 , , ( , ) 1;xyxyDf x y z x yzzdxdy dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：22 , ( , ), 1;xzxzDf x y x z zyy dxdz dSzyxf),(那么那么3.( , )xx y z 若若曲曲面面：22 ( , ), , 1.yzyzDf x y zy zxx dydz dSzyxf),(那那么么说明：说明：.,的方程的表达式的方程的表达式影取决于影取决于向哪个坐标面投向哪个坐标面投但把但把化为二

11、重积分来计算化为二重积分来计算投影到坐标面上投影到坐标面上是将是将计算第一类曲面积分计算第一类曲面积分 .),(,的形式的形式的方程可以表示为的方程可以表示为则要求则要求面投影面投影若向若向yxzzxoy .),(,.),(,的的形形式式的的方方程程可可以以表表示示为为则则要要求求面面投投影影若若向向的的形形式式的的方方程程可可以以表表示示为为则则要要求求面面投投影影若若向向zyxxyozzxyyxoz 2222221d ,0.ISxyzxyRzzH计算为圆柱面介于与之间的部分例例5 5注：注：.,),(222面作投影面作投影向向故不能将故不能将的形式的形式不能表示为不能表示为因圆柱面因圆柱面

12、xoyyxzzRyx zzd例例5. 计算计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后若将曲面分为前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解: 取曲面面积元素取曲面面积元素两片, 则计算较繁. OyxzLO练习：练习： 求椭圆柱面求椭圆柱面19522yx位于 xOy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220sy

13、Ld4. 4. 利用对称性简化计算：利用对称性简化计算：则则上的连续函数上的连续函数为为对称对称关于平面关于平面与与其中其中设曲面设曲面,),(,0,2121 zyxfz ;0d),(,),( Szyxfzyxf为奇函数时为奇函数时关于关于当当z2;d),(d),(d),(,),(21 SzyxfSzyxfSzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当z2例例 1 1 计计算算Szyxd22 ,其其中中 为为球球面面2222azyx . 补充补充: :,有轮换对称性有轮换对称性若曲面若曲面 Szyxfd),( Syxzfd),( Sxzyfd),(.轮换对称性轮换对称性即第一类曲面积分也有

14、即第一类曲面积分也有()dd ,:1, (0,0,0).xySx Sxyzxyz例计算及其中则则有有：P225. 1(10) 设设),0(:2222 zazyx 为1在第一卦限中的部分在第一卦限中的部分, , 则有则有( ).( ).;d4d)(1 SxSxA;d4d)(1 SxSyB;d4d)(1 SxSzC.d4d)(1 SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )例例1. 计算计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用轮换对称性可知SzSySxddd222SzyxId)(3222222d3aS解解:22.za483a四、几何与物理意义四、几何与物理意义,),()1(的的面面密密

15、度度时时表表示示当当 zyx;d),( SzyxM;d,1),()2( Szyxf的的面面积积时时当当,)3(轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量、轴轴轴轴、曲曲面面块块对对zyx,d),()(22 SzyxzyIx曲曲面面块块的的重重心心坐坐标标)4(.dd,dd,dd SSzzSSyySSxx,d),()(22 SzyxxzIy,d),()(22 SzyxyxIz,d),()(222 SzyxzyxIO其中其中的引力为的引力为处的单位质点处的单位质点外的点外的点对位于对位于, ),(),()5(0000zyxFFFFzyxM ,d),()(30 SrzyxxxkFx,d),()(30 Sr

16、zyxyykFy,d),()(30 SrzyxzzkFz,为为引引力力系系数数式式中中k,)()()(202020zzyyxxr 例例1. 求半径为求半径为R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心的重心.解解: 设设 的方程为的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 2223RRR用球面坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR解解依对称性知：依对称性知：22,zxyxozyoz 抛抛物物面面关关于于面面面面对对称称，有有 14成立成立，xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 1

17、4xy dS 2241(2 )(2 )xyDxyxy dxdy 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,1222004cos sin14dtrttr rdr 原原式式2132002sin214tdtrr dr 令令241ru 511112()244uuud 5352211225 51()|.16 531260uu例例2 2解解 321显然显然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS 其其中中1 ：0 z,1( , ),x yD ( , )xzx zD 12,11dSdxdydSdxdy 在在上上在在上上讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上

18、.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.例例3 3积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxy dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 五、小结五、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲

19、面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2 2、 ds