振动力学第二章第二节单自由度系统的受迫振动

1、 第第2 2章章 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动 目录 2.1.1 振动微分方程振动微分方程2.1.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差的讨论、相位差的讨论2.1.3 受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4 受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.1.6 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 2.1.1 振动微分方程振动微分方程 简谐激振力简谐激振力SsinFHtH为激振力的幅值，为激振力的幅值， 为激振力的圆频为激振力的圆频率。以平衡位置率。以平衡位置O为坐标原点，为坐标原点

2、，x轴铅轴铅直向下为正，物块运动微分方程为直向下为正，物块运动微分方程为 22ddsinddxxmckxHttt thxptxntxnsindd2dd222，mFhmcnmkpn022具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 简谐激励的响应全解简谐激励的响应全解)()(21txtxx2.1.1 振动微分方程振动微分方程 thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和0dd2dd222xptxntxn)()(21txtxx1( )xt 有 阻 尼

3、自 由 振 动 运 动 微 分 方 程 的 解 ： tpAxtpd1sinen)(2txtBsin2.1.1 振动微分方程振动微分方程 tBtxsin)(P2.1.1 振动微分方程振动微分方程 ,稳态受迫振动的振幅滞后相位差2222)2()(nphBn 222tanpnn 00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd222振幅放大因子0BB22221122220222224)1 ()()(4)(1 / BppnpphBnnnn02neqhHBpknnnpmcpnpeqeq2,212arctan曲 线 族 幅 频 特 性 曲 线曲 线 族 相 频 特 性 曲 线2.1.2 受迫

4、振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差、相位差 的讨论的讨论 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应与，响应与激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。03、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左偏左处有峰值。通常将处有峰值。通常将 1，即，即 pn 称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，无论阻尼大小， 1时，总有，时，总有， /2 ,这也是

5、共振的重要这也是共振的重要现象。现象。2.1.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差、相位差 的讨论的讨论 例例 题题 例例 质量为质量为M的电机安装在弹性基础上。的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为偏心质量为m。转子以匀角速。转子以匀角速 转动如图转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作

6、用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。 根据达朗贝尔原理，有0sindd)(dd222sttmetxMxkMgtxctmekxtxctxMsindddd222)sin(dd2dd2222teMmxptxntxn,22McnMkpn ，= h2eMm例例 题题 电机作受迫振动的运动方程为电机作受迫振动的运动方程为)sin(tBx22222222224)1 (4)1 (bMmeB212arctgbB222224)1 (Mmeb 当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统

7、产生共振，此时电机的转速称为临界转速。时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 例例 题题 阻尼比阻尼比 较小时，在较小时，在 = 1附近，附近， 值急剧增大，发生共振。值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值由于激振力的幅值me 2与与 2成正比。成正比。当当 0时，时， 0，B0；当当 1时，时， 1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 Mme例例 题题 )dddd()(dd22tytxcyxktxm例例 题题 例例 2.2 在图示的系统中，物块受粘在图示的系统中

8、，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物，物块的质量为块的质量为m，弹簧的弹性常量为，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为且支撑的运动为 ,试求物试求物块的运动规律。块的运动规律。 y tbt( )sin建立物块的运动微分方程建立物块的运动微分方程 mxcxkxcykymxcxkxcbtkbtcossin2223412arctan例例 题题 利用复指数法求解，用利用复指数法求解，用 代换代换tbje btsin tBtxje)(并设方程的解为并设方程的解为 j2ejjBbcmkckB2222)2()1 ()2

9、(1 bB2223412tan放大系数放大系数2222)2()1 ()2(1bB例例 题题 2.1.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 tHFsinSxBtsin()sin(dd),cos(dd222tBtxtBtx已知简谐激振力已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为稳态受迫振动的响应为0sindddd22tHkxtxctxm现将各力分别用现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。的旋转矢量表示。kBc BHmB、 、2应用达朗贝尔原理，将应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统弹簧质量系统写成写成式式2-11不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多不仅反映了各项力之间的相位关系，而

10、且表示着一个力多边形图边形图2-7。惯性力惯性力阻尼力阻尼力弹性力弹性力激振力激振力（a）力多边形力多边形 (b) 1 1 (c) = 1= 1 (d) 1 12.1.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为受迫振动

11、系统的稳态响应为xBtsin()周期 2T1. 激振力激振力tHFSsinsindsin)2sin(2d)cos(sind)(dd000BHttHBttBtHtttxFWTTTSH在系统发生共振的情况下，相位差在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期内做功为一周期内做功为 ，做功最多。，做功最多。 2BHWH对于无阻尼系统对于无阻尼系统( (除共振情况外除共振情况外) )相位差相位差 。因此，。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 0或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 txcFRddTTRRttBctttxFW

12、0220d)cos(d)(dd上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。2022d)(2cos1 21BcttBcT2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 3. 弹性力弹性力 做的功做的功

13、FkxE 能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 TEEttxtFW0ddd)(WWHR在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量TttBtBk0d)cos()sin(0d)(2sin202TttkB2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，

14、经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即然是简谐振动，即xBtsin()非粘性阻尼在一个周期内做的功非粘性阻尼在一个周期内做的功txtFWNNd)(粘性阻尼在一周期内消耗的能量粘性阻尼在一周期内消耗的能量2BcWR相等相等2BcWeN2 BWcNe等效粘性阻尼系数等效粘性阻

15、尼系数2222n)()(mcphBe2ncme2222222n)()()()(eecmkHmcphB利用式利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 库仑阻尼库仑阻尼阻尼力表示为阻尼力表示为NFFc一周期内库仑阻尼消耗的能量为一周期内库仑阻尼消耗的能量为 WF Bcc 42BcWRBFCce4等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 得到稳态振动的振幅表达式得到稳态振动的振幅表达式2n221)4(1pHFkHBc相等相等2BcWec 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 结构阻尼结构阻尼 一周期内一周期内结构结构阻尼消耗的能量为阻尼消耗的

16、能量为 2BcWR相等2BcWec 2XWd22XXce等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 ec具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为 tFkxtxtxmdddd222.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应, ,系统系统的运动微分方程和初始条件写在一起为的运动微分方程和初始条件写在一起为

17、00022)0( 0sinddvvxxtFkxtxm通解是相应的齐次方程的通解与特解的和通解是相应的齐次方程的通解与特解的和, ,即即tkFtpCtpCtxsin11sincos)(20n2n1根据初始条件确定根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为。于是得到全解为tkFtpkFtppvtpxtxtxtxsin11sin1 sincos)()()(20n20nn0n021 特点是特点是: :振动频率为系统的固有频率振动频率为系统的固有频率, ,但振幅与系统本身但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。的性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动无激励时的自由振动系统对初始系统对初始条件的响应条

18、件的响应稳态强迫振动稳态强迫振动伴随激励伴随激励而产生自而产生自由振动由振动, , 称为称为自由自由伴随振动伴随振动2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析x tx tnT( )()周期振动周期振动 展成傅氏级数展成傅氏级数x taantbntnnn( )(cossin)01112TnTnTttntxTbttntxTattxTa010100dsin)(2dcos)(2d)(2一个周期一个周期 T中的平均值中的平均值 x taAntnnn( )sin()0112n=1,2,3,n=1,2,3,T21基频基频,tan22nnn

19、nnnbabaA， 一个周期振动可视为频率顺次为基频一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。简谐振动分量的合成振动过程。 1在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析 周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。

20、周期函数的特性。 由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。由时间域转入频率域。 这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。 周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。近似表示周期振动。例例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。 解解 矩形波一个周期内函数矩形波一个周期内函数F (t)可表示为可表示为F tff( ) 0020tt表示

21、表示F(t)的波形关于的波形关于t轴对称，故其平均值为零。轴对称，故其平均值为零。 0d)(1200ttFa周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 n=1，2，30dcosdcos1210010ttnfttnfan4cos12dsindsin100210010nfnnfttnfttnfbn于是，得于是，得F(t)的傅氏级数的傅氏级数tttftnnftnbtFnnn1110.5 . 3 . 110115sin513sin31sin4sin14sin)(F(t)是奇函数，在它的傅氏级是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要际的振动计算中，根

22、据精度要求，级数均取有限项。求，级数均取有限项。F(t)的的幅值频谱如图所示。幅值频谱如图所示。 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。期激励的响应。 设粘性阻尼系统受到周期激振力设粘性阻尼系统受到周期激振力F tF tT( )()F taantbntnnn( )(

23、cossin)01112谐波分析方法，得到谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为kxtxctxmdddd22F taantbntnnn( )(cossin)01112周期周期T21基频基频由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应x takAntBntnnnnn( )cos()sin()01112n2nn12222222212tan)2()1 (1)2()1 (1mpcmkppnkbBkaAnnnnnnnnnnn， 例例2.3 弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态

24、响应。系统的稳态响应。(其中其中 )n12pT 62n1pTF tff( ) 0020tt解：周期性矩形波的基频为解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数矩形波一个周期内函数,.3 , 110sin14)(ntnnftF将矩形波分解为将矩形波分解为固有频率固有频率 ,.3 , 110sin14)(ntnnftFn120,.3 , 11,)1 (14sin)(pnknfBtnBtxnnnnn 可得稳态响应可得稳态响应将矩形波分解为将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响

25、应的振幅放大频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。 画出系统的响应频谱图画出系统的响应频谱图奇数奇数 2.3.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应2.3.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 2.3.3 单位脉冲响应函数的时单位脉冲响应函数的时-频变换频变换2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 2.3.5 传递函数传递函数 2.3.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度

26、却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度用获得的速度vFmF设冲量的大小为设冲量的大小为作用在单自由度系统中，求响应。作用在单自由度系统中，求响应。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。1. 用冲量描述瞬态作用用冲量描述瞬态作用如果取如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应t 0 x00mFv0tpmpFxnnsin初位移初位移初速度初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如果

27、如果 作用在作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为的响应为Ft )(sinnntpmpFx2.3.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应tppvtpxxnnnsincos00同理，如果在同理，如果在t = 0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应欠阻尼的情形，得其响应tpmpFxdntdsine)(sine)(tpmpFxdtnd如果如果 作用在作用在 的时刻，则物块的响应为的时刻，则物块的响应为Ft 2.3.1系统对冲量的响应系统对冲量的响应用用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力函数表示

28、作用在极短时间内冲击力2.3.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 01d)(0)(ttttt表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数它对时间积分是有限数1。函数的定义是函数的定义是)( tFF从积分式可见，如果时间以秒计，从积分式可见，如果时间以秒计， (t)函数的单位是函数的单位是1/s。用用单位脉冲单位脉冲(unit impulse)函数函数 (t)表示表示冲击力冲击力冲量表示施加冲量的瞬时)()(ttFF)(tF如果在如果在t = 0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力的瞬时施加冲量，则相应的冲

29、击力 当当 ，即施加单位冲量时，冲击力为，即施加单位冲量时，冲击力为F 1F是冲击力是冲击力, (t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。)(tkxxcxm 单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为2.3.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 )(dddd22tkxtxctxm单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，对

30、欠阻尼的情形，F 1根据初始条件可确定根据初始条件可确定A和和 。最后得其响应。最后得其响应mvxttpAtxdnt1)0(, 0)0(, 0)sin(e)(tpmptxdntdsine1)(2.3.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 为了应用方便，单位脉冲函数的响应用为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应h tmpp tnn( )sin1h tmpptnn()sin()1tpmpthdntdsine1)()(sine1)()(tpmpthdtnn有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性

31、阻尼系统对单位脉冲函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数称为单自由度系统的时域响应函数 2.3.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 000,sine1)() 1 (tttpmpthdntdtttpmpthdtnd0),(sine1)()2()(h(t)有以下特性有以下特性不难发现不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲是单位脉冲冲量的响应，其量纲为冲量的响应，其量纲为位移位移/冲量冲量。 2.3.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉

32、冲力的响应 2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 作用有一任意激振力作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物块的运动微分方程欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加将激振力看作是一系列元冲量的叠加t d)(FF 元冲量为元冲量为得到系统的响应得到系统的响应)(sined)(d)(tpmpFxdtnd)(dddd22tFkxtxctxm由线性系统的叠加原理，系统由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统对任意激振力的响应等于系统在在 时间区间内各个元时间区间内各个元冲量的总和，即冲量的总和，即0 ttdtndttpmpFxtx0)(0d)(sine

33、)(d)(tt1得到系统的响应得到系统的响应)(sined)(d)(tpmpFxdtnd2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定定理，也称杜哈梅理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。积分。tnntpmpFtx0d)(sin)()(tthFtx0d)()()(tt1对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应用单位脉冲函数响应

34、表示，得到单自由度系统对任意激振力响用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式应的统一表达式2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 tdtnddddnttpFmptppvnxtpxtx0)(000d)(sine)(1)sincos(e)(tt1tnnnnntpFmptppvtpxtx000d)(sin)(1sincos)(tt1系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻尼振动系统的响应为对于无阻尼振动系统的响应为t t1 即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。即激振力停止作用

35、后，物块的运动称为剩余运动。)(dd)(11ttxtx、以以为初始条件的运动为初始条件的运动2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 例例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。的作用，试求其响应。FF0( )x tFkp tn( )(cos)01积分后得响应为积分后得响应为代入代入在突加的常力作用下，物块的运动在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿仍是简谐运动，只是其振动中心沿力力F0的方向移动一距离的方向移动一距离Fk0解：取开始加力的瞬时为解：取开始加力的瞬时为t = 0，受阶跃函数载荷的图形，受阶跃函数

36、载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且如图所示。设物块处于平衡位置，且 。000 vx也是弹簧产生的静变形。也是弹簧产生的静变形。 2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 若阶跃力从若阶跃力从t = a 开始作用，则系开始作用，则系统的响应为统的响应为0)(cos1 )(sinn0n0 xatpkFdtpmpFxtanat t a2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 F tFtt( ) 010，解：在解：在 阶段，系统的响应显阶段，系统的响应显然与上例的相同，即然与上例的相同，即01tt)cos1 (n0tpkFx例例 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲

37、力无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力作用，试求其响应。作用，试求其响应。当当t t1时，时，F ( t ) = 0，得，得cos)(cosd)(sin1d)(sin)(d)(sin)(1n1n00n0nn0nn111tpttpkFtpFmptpFtpFmpxtttt2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 系统的响应为系统的响应为cos)(cos)cos1 ()(n1n0n0tpttpkFtpkFtx10tt t t1实际上，在实际上，在t t1阶段，物块是以阶段，物块是以t = t1的位移的位移x1和速度和速度 为初为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。始条

38、件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。 x1tppkFxtpkFxnn01n01sin)cos1 (cos)(cos)(sin)(cos)(n1n01nn11n1tpttpkFttppvttpxtx将初始条件将初始条件2.3.4 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应 例例 题题 系统基础有阶跃加速度系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为，初始条件为 ，求质，求质量量m的相对位移。的相对位移。 )(tbu0)0()0( vx解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为 )()(ssxxkxxcxm )(tmbukxxcxmrrr )(srxxx系统的激振力为系统的激振力为