向学生展示数学之美

1、向学生展示数学之美 初中数学课外活动点滴体会新的数学课程标准，提出了义务教育阶段数学课程的总体目标，即：通过义务教育阶段数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；体会数学与自然及人类社会的密切关系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。这表明新课标体系已革新了传统课程体系，由过去的以学科中心逐渐转向以学生为本的

2、轨道上来。初中数学教师必须以新课标为指导，着力构建以人为本的数学课程体系，自觉遵循学生学习数学的心理规律，积极引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。只有教师尽快适应新课标，并将新课标贯穿于实际教学中，才能为学生的学习和终身发展奠定坚实的基础。在教学过程中，如何让学生掌握知识，提高能力，培养良好的情感态度是新课程实施过程中的核心问题。笔者认为：如果要使学生学好数学，必须要让学生热爱数学；要使学生热爱数学，必须给学生展示数学之美。数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。数学美即是蕴藏于

3、它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法之中的简单、和谐、严谨、奇异等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美。数学中美的因素是多方面的、具体的、意义深刻的，其主要表现在以下四方面：一、简单性。简单性是美的特征，也是数学美的基本内容。数学的简单美具有形式简洁、秩序、规整和高度统一的特点，还具有数学规律的普遍性和应用的广泛性。例如，众所周知的三角形、平行四边形、梯形的面积公式，形式简洁规整，应用广泛普遍。在梯形的面积公式s=1/2（ab）h（a为上底，b为下底， h为高）中，当a=0时变成三角形的面积公式；当a=b时，变成平形四边形的面积公式，

4、这种既有区别又有联系、既对立又统一、从量变到质变的辩证方法在数学中处处可见。其思维方法引入深思。 在解决数学问题的过程中，把看似复杂的问题，化归到最简程度，是展示数学美的重要方法。例1：19世纪，法国数学家刘卡在一次国际会议期间，当来自各国数学家出席的宴会结束时，向在场的人们提出如下有名的“刘卡问题”： 每天中午，某航运公司有一艘轮船从巴黎开往纽约。与此同时，该公司还有一艘船从纽约开往巴黎。假定该公司的所有轮船，在航途中以同速匀速前进，所花的时间正好是7天7夜，并且在大西洋中行驶同一航线，两船交错时彼此都能看见。那么今天中午从巴黎开出的轮船到达纽约时，将会遇到多少艘自己公司对面开来的轮船？为寻

5、找解决问题的思路，我们无妨把问题约简到最简程度：假使所花的时间是一天一夜，其余条件都不变。我们可进行如下思考：船出发，会遇到该公司昨天开出的另一条船，途中会遇到与此船同时开出的另一条船，到达时会遇到从对面刚出发的第三条船。所以，途中（包括出发时和到达时）共遇对面开来的三条船。用这样的思路，完全可以解决“刘卡问题”。 为把问题解决直观化，我们还可以用“运行图”来解答。依题意画图如下：图中，两斜线交点表示，从巴黎6号出发的船，在13号到达纽约时，与对面开来相遇的船，共13艘。例2：均分溶液4个容积相同的量杯分别盛满4种不同的液体，还有一个容积相同的空量杯。请你不借用其它用具，把4种不同的液体分成4

6、杯成分相同的液体。（量杯上有刻度，且任两种液体混和后能自动呈均匀状态）【讲析】：在此题中，我们着重训练一种重要的数学思维方法，即我们在研究某种较复杂的过程时，往往要把这个过程约减到最简程度，而又不失其一般性。在这种状况下，往往能找到解决较复杂问题的方法。 我们先来研究三个杯子，两种溶液的情况： 再考虑四个杯子，三种溶液的情况：（1）用法把两杯先均匀分开。（2）两杯混合液各倒 1/3 入空杯。（3）用第三杯溶液把其余三杯添满。 如果是四种溶液五个杯子的情况，可根据法先把三种溶液均分在三个杯子内，然后各倒 1/4 入空杯。最后，把第四种溶液均分在四个杯子中即可。 二、和谐性。各种自然形态，特别是动

7、植物的生态以及人类的许多造物形态都有蕴含丰富的数学关系，有丰富的对称美、和谐美。作为反映和研究客观规律的数学科学，集中反映了这种美的特征。数学美的和谐性是指数学内容与结构系统的协调完备和数学所表现出的均衡对称。 例：蜂窝结构 蜜蜂的蜂窝构造非常精巧、适用而且节省材料。蜂房由无数个大小相同的房孔组成，房孔都是正六角形，每个房孔都被其它房孔包围，两个房孔之间只隔着一堵蜡制的墙。令人惊讶的是，房孔的底既不是平的，也不是圆的，而是尖的。这个底是由三个完全相同的菱形组成。有人测量过菱形的角度，两个钝角都是109而两个锐角都是70。令人叫绝的是，世界上所有蜜蜂的蜂窝都是按照这个统一的角度和模式建造的。 蜂

8、房的结构引起了科学家们的极大兴趣。经过对蜂房的深入研究，科学家们惊奇地发现，相邻的房孔共用一堵墙和一个孔底，非常节省建筑材料；房孔是正六边形，蜜蜂的身体基本上是圆柱形，蜂在房孔内既不会有多余的空间又不感到拥挤。 蜂窝的结构给航天器设计师们很大启示，他们在研制时，采用了蜂窝结构：先用金属制造成蜂窝，然后再用两块金属板把它夹起来就成了蜂窝结构。这种蜂窝结构强度很高，重量又很轻，还有益于隔音和隔热。因此，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船在内部大量采用蜂窝结构，卫星的外壳也几乎全部是蜂窝结构。因此，这些航天器又统称为“蜂窝式航天器”。 蜂窝化石三、严谨性。严谨性是数学的独持之美。它表现在数学定义准确

9、地揭示了概念的本质属性；数学结论存在且唯一，对错分明，不模棱两可；数学的逻辑推理严密，从它的公理开始到演绎的最后一个环节不允许有一句假话，即使错一个符号也不行。此外，数学结构系统协调完备，数学图形美丽和谐，数学语言生动严密等等都表现了数学的严谨性。这样，对它所推出的结论的正确性人们确信无疑，达到尽善尽美，令人陶醉的境界。数学美的这种严谨性，要求数学工作者具有实事求是，谦虚谨慎，孜孜不倦地追求真理的美德，这正是数学美的伦理价值所在。 在数学活动中让学生感受数学严谨之美笔者采用以下几种方法： 1、分析思维训练，例：中国民间趣题：李白街上走，提壶去打酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒

10、。试问酒壶中，原有多少酒？题意：李白不等壶中酒干就上街买酒。先遇一个酒店，便买酒将壶中酒增加一倍，有看到一处花景，便赏花饮酒喝去一斗。如此三次，恰好把壶中酒喝干。李白壶中原有多少酒？此题可用逆推法易得结论原来酒店花酒店花酒店花 结果7/87/43/43/21/210 2、逻辑趣味训练，例：说谎部落迷题（）某海岛上有两个土著部落。一个部落的人只说谎话；另一部落的人则很诚实，不说谎话。他们相距很近，两个部落的人经常互相串门。一天，一个游客上了海岛来到某一部落。他想知道这究竟是哪个部落。一进村，正好碰见一个人。游客问：“这是你的部落吗？”对方回答：“不是。” 游客仔细想了想，很快判断出他来到的这个地

11、方是哪个部落。他是如何判断的？ 【讲析】：如果游客到的是诚实的部落，遇到的是诚实的人，回答应为“是”。若遇到来串门的说谎者，他不会说实话，回答也只能为“是”。这样，游客若来到诚实部落不管遇见谁，都不可能得到“不是”的回答。只有游客来到说谎部落时，这个部落的人回答“不是”，而来串门的诚实部落的人也会回答“不是”。 因此断定，游客来到的是说谎部落。 说谎部落迷题（） 某海岛上有两个土著部落，一个部落的人总是说谎话，而另一个部落的人总是说真话。 一位旅行者来到这个岛上，遇见一高一矮两个土著居民。旅行者问高个子：“你是说真话的人吗？”高个子回答：“奥匹甫。”旅行者上海岛之前学过几天土著话，但记不清“奥

12、匹甫”的意思是“是”还是“不是”，但肯定是两者之一。旅行这又问矮个子：“高个子说的是是还是不是？”矮个子回答：“他说的是是，但他是个说谎者，千万别相信他。” 旅行者困惑了，矮个子的话能信吗？ 【讲析】：不论遇到谁，用“你是说真话的人吗？”提问，回答总是一样的，就是“是”。这样可断定“奥匹甫”是“是”的意思。而矮个子的人回答正确，故矮个子是诚实的人，诚实的人不说谎，故矮个子说高个子是“说谎者”也是正确的。3、悖论，例： 理发师悖论 一个男理发师的招牌上写着：城里所有不自己刮胡子的男子都由我来刮，我也只给这些人刮胡子。 谁给理发师刮胡子呢？ 【讲析】：悖论在科学发展史上占有重要的位置。以下几题介绍

13、几个著名的悖论，使读者对这方面的知识有所认识，提高读者对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力。 所谓悖论，可以这样来描述，当你为解决某个问题遵循着一条无懈可击的推理思路往前走的时候，不需多久，忽然发现自己已陷入矛盾之中而不可自拔。这种问题就是悖论。 从古希腊起至今，悖论一直给人们带来很大的乐趣。更重要的是，最伟大的数学家总是极严肃地对待悖论，因为对它的研究不断推动着科学的发展。 这个理发师悖论是伯特兰德罗素提出的。 现在来考虑此悖论中的问题：谁来给理发师刮胡子呢？ 若他的胡子是别人给他刮的，但按照他招牌上所言，凡是不是自己刮胡子的人都由理发师来刮，这样他的胡子应由他理发师自己来刮。

14、若真是这样的话，根据招牌所言，理发师只给不给自己刮胡子的人刮胡子，又作何解释呢？ 理发师的胡子自己刮不对，自己不刮也不对。理发师挂出的招牌就是一个悖论。鳄鱼悖论 希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事：鳄鱼从一位母亲怀里抢走了一个小孩。母亲苦苦哀求，请鳄鱼放了孩子。鳄鱼说：“你只要回答我一个问题：我会不会吃你的小孩？你若答对了，我就把孩子还给你；你若答错了，我就吃掉这个孩子。”母亲回答：“啊，啊？你是要吃掉我的孩子的。”听到母亲的回答，鳄鱼懵了，母亲的回答是错还是对，他是该吃掉这个孩子还是该放呢？ 【讲析】：鳄鱼怎样想呢？我若把孩子吃掉，就说明母亲猜对了，猜对了，就应该把孩子还给她，但若把孩子还给她，

15、又分明是她猜错了，她猜错了，我就应该把她的孩子吃掉，吃掉孩子，分明是她猜对了 于是，鳄鱼陷入了一个逻辑怪圈之中。 梵学者的预言梵学者自称能预见未来。一天，他同女儿苏娜发生争论：苏娜：你是个大骗子，爸爸，你根本不能预见未来。梵学者：我肯定能。我预测过很多事情，从不出差错。苏娜：那好，马上来验证一下。说着，苏娜在一张纸上写了一句话“几分钟后你将写个不字。”写完后，苏娜把纸条折起来，压在水晶球下。苏娜：我这里写了一件事情。几分钟后它可能发生，也可能不发生。你若预见它发生，就写一个“是”字，你若预见它不发生，就写一个“不”字。爸爸，你能猜准这件事，那你就不是骗子。”细想想：梵学者能赢吗？【讲析】：这个

16、悖论可以写成最简单的形式。规则：只能用“是”或“不”回答问题。问题：你下句话要讲“不”，是不是？若回答“是”，表明你同意问题结论。而问题结论是你要讲“不”，为什么你要说“是”呢？若回答“不”，表明你不同意问题结论。而问题结论是你要讲“不”，既然你已讲了“不” 表明问题结论是对的，既然问题结论对，为什么你要说“不”呢？这样，回答“不”也不对，“是”也不对。这个问题无法回答。介绍的几个悖论到此为止。若读者有某种疑惑，某种质问，从而产生某种兴趣，我们的目的就达到了。几乎所有的数学家都研究过一些悖论，提出过一些发人深省的问题。正是由于人们对悖论的研究，导致了二十世纪数学的重要成果哥德尔不完备定理的产生

17、。请读者在这方面去寻求新的知识吧。四、奇异性。数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法都表现出了一种独特的令人惊讶的奇异美。好似天工巧设，出神入化，给人一种奇异的美感。 数学美的奇异性，还表现在学生对一个数学问题强烈的解决欲望。如： 让学生观察上图，能否发现其中的矛盾，激发学生解决问题的强烈欲望。向学生介绍我国数学发展的历史，介绍我国古代数学家的杰出成就和现代数学家对数学发展的巨大贡献，既激发了学生的学习兴趣，也对他们进行了爱国主义教育，增强了他们的民族自尊心、自信心和自豪感。勾股定理教学诗歌古代数学里程碑，勾股定理放光辉。周髀算经测天文，西周商高答周公； 勾三股四径隅五，由此定名垂千

18、古。 （1） 巴比伦有泥板书，考证记载勾股数。 （2） 古希腊人毕达氏，证明定理用割补。 （3） 印度文明佛教国，梵藏著作述“折竹”。（4）要问谁家数第一，中华最早明勾股。 龙的传人黄皮肤，科学高峰摘明珠。 （5）注：（1）我国最早的一部数学及天文著作周髀算经记载了勾股定理。该书称直立的竿为“股”，地面上的日影为“勾”，杆顶，影端的长为“弦”。于是这个定理就记为：勾+股=弦这就是勾股定理名称的来历。周髀算经是公元前一世纪的著作。该书一开始，就记载了我国周朝初年（约公元前1100多年）周公与当时学者商高关于直角三角形性质的一段对话：“昔者，周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度

19、，夫天不可阶而升，地不得尺寸而度，请问数安从出？商高曰数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积畸。”大意是说，从前，周公问商高：“我听说您精通于数，请问古代伏羲是如何确定天地的度数的？要知道天是不能用梯子攀登上去，地无法用尺子来测量，那么数是从哪里来的呢？”商高回答说：“数的方法是从研究圆形和方形中开始的，圆形由方形产生，方形则是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形前需要知道九九口诀。设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边（勾）的长为三，长直角边（股）的长为四，斜边（弦）长则为五。

20、以弦为边长作一个正方形，并用四个上述半矩形（直角三角形）把它围起来拼成一个方形盘。从它的总面积四十九中减去原来两个被切开的矩形面积，便得最初所作正方形面积为二十五。由此可知，勾三股四必有弦五，这种方法称为“积矩”。后人把商高的一段话画成图形，称为“弦图”：容易知道，这实际上给出勾股定理的一种证明方法。（2）古代巴比伦用泥板书来记载文字（培烧过的黏土书板，书板有大有小，小的只有几平方英寸，最大的和一般教科书大小差不多，中心大约有一英寸半厚）考古家对上面的文字做出成功的破译。发现上面有关勾股数的知识。（3）据西方国家记载，古希腊数学家毕达哥拉和他的学生们于公元前六世纪在意大利南部的克罗之岛（Cro

21、ton）组成了一个学术性团体，这就是数学史上著名的毕达哥拉斯学派，他们在公元前550年，也是用割补的方法证明了这个定理。据说，为此还杀了100头牛，开了三天的隆重庆典大会，因此，国外称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。尽管如此，他比商高提出并证明的时间晚了550年。（4）印度梵藏著作中（公元七世纪）记载了应用勾股定理的“折竹问题”：竹高十八尺，为风所折，竹尖抵地、离跟六尺，求两段之长。（5）勾股定理在周髀算经中没有给出一般性的证明。到公元三世纪，三国时代的吴国人赵爽（字君卿），在他的著作周髀算经注后附了一个文献勾股圆方圆，对勾股定理给出了严格而巧妙的证明（在教材习题中专门介绍了这种方法）。这种方法穿到西方后，引起了很大注意。国外许多数学家都认为这是“最省力的证明方法”。与古希腊的证明方法有“完全不同的色彩”。在国外，直到公元二十世纪，巴斯达拉才给出类似的证法。勾股定理对世界数学发展有巨大的影响，是我国古代数学的一项辉煌成果。在讲授勾股定理时，教师应在课外活动中，