第11章 影响线及其应用1

1、1211-1 11-1 概述概述11-2 11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线用静力法作单跨静定梁的影响线11-3 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线11-4 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线11-5 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线11-6 11-6 桁架的影响线桁架的影响线11-7 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值11-8 11-8 铁路和公路的标准荷载制铁路和公路的标准荷载制11-9 11-9 最不利荷载位置最不利荷载位置11-10 11-10 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩11-1111-11简支

2、梁的包络图简支梁的包络图3荷载的分类荷载的分类按作用位置是否变化，可分为固定荷载和移动荷载。按作用位置是否变化，可分为固定荷载和移动荷载。固定荷载固定荷载：大小、方向和作用位置不变。：大小、方向和作用位置不变。移动荷载移动荷载：大小、方向不变，作用位置可在结构上移动。：大小、方向不变，作用位置可在结构上移动。411-1 概述概述1. 1. 问题的提出问题的提出结构除了承受固定荷载作用外，还受结构除了承受固定荷载作用外，还受移动荷载移动荷载的作用。的作用。移动荷载作用下，反力和内力将随移动荷载作用下，反力和内力将随荷载位置荷载位置的移动而变化，的移动而变化，结构设计中，须求出移动荷载作用下反力和

3、内力的最大值。结构设计中，须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。5 为解决这个问题，要研究荷载移动时反力和内力变化规为解决这个问题，要研究荷载移动时反力和内力变化规律。而不同的反力和不同截面内力变化规律各不相同，即律。而不同的反力和不同截面内力变化规律各不相同，即使同一截面，不同的内力变化规律也不相同，解决这一问使同一截面，不同的内力变化规律也不相同，解决这一问题的工具就是题的工具就是影响线影响线。2. 2. 最不利荷载位置最不利荷载位置 某一量值产生最大值的荷载位置，称为某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位置最不利荷载位置。 工程中工程中移动荷载移动荷载常由很多常由很多间距不变的

4、竖向荷载间距不变的竖向荷载组成，类型组成，类型多样，不可能逐一研究。多样，不可能逐一研究。 6ABRAF 弄清弄清竖向单位力竖向单位力F=1沿结构移动时对沿结构移动时对某量值某量值的影响，据叠加的影响，据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。1231F=1F=1F=1F=1F=1 图形表示图形表示F=1在梁上移动时反力在梁上移动时反力 RA的变化规律，这一的变化规律，这一图形就称为反力图形就称为反力RA的影响线的影响线。03/41/21/473. 3. 影响线定义影响线定义 指向不变的单位集中荷载指向不变的单位集中荷载(竖直向下竖直向下)沿

5、结构移动时，表示沿结构移动时，表示某一某一量值变化规律的图形量值变化规律的图形，称为该量值的，称为该量值的影响线影响线。 某量值影响线一经绘出，就可用其确定最不利荷载位置，某量值影响线一经绘出，就可用其确定最不利荷载位置， 应用叠加法求该量值的最大值。应用叠加法求该量值的最大值。RA的影响线的影响线ABRA1F=10811-2 用静力法作单跨静定梁的影响线用静力法作单跨静定梁的影响线绘制方法：绘制方法：2. 静力法步骤静力法步骤 1) 选坐标系，荷载选坐标系，荷载 F=1置于置于 x处；处； 2) 据静力条件求量值与据静力条件求量值与x的函数关系，即的函数关系，即影响线方程影响线方程S(x)

6、； 3) 据据S(x)绘影响线。绘影响线。静力法和机动法。静力法和机动法。93. 简支梁的影响线简支梁的影响线 1）反力影响线）反力影响线由由MB=00)(1xllRAx=0, RA=1；x=l, RA=0R RA A影响线影响线1RA影响线影响线:RB影响线：影响线：由由MA=0 RB l1x =0)0(lxlxRBx=0, RB=0；x=l, RB=1RB影响线影响线1yKxRARBF=1K00 当当F=1移动到移动到K截面时，截面时，支座支座A反力反力RA的大小的大小)0(lxlxlRA当当F=1移动到移动到K截面时，截面时，支座支座B反力反力RB的大小的大小10 MC影响线影响线 2）

7、弯矩影响线）弯矩影响线MC的影响线：的影响线：当当F=1在在C左侧移动时，左侧移动时，研究研究C右侧右侧:左直线左直线b左直线左直线)0(axblxbRMBCF=1xxF=1xF=1abCx F=1RARBlabMaxMxCC/,0, 00lab /11 MC影响线影响线 2）弯矩影响线）弯矩影响线MC的影响线：的影响线：当当F=1在在C左侧移动时，左侧移动时，研究研究C右侧右侧:左直线左直线当当 F=1在在C右侧移动时，右侧移动时，研究研究C左侧左侧:)(lxaalxlaRMAC右直线右直线右直线右直线ab左直线左直线)0(axblxbRMBCF=1xxF=1xF=1abCx F=1RARB

8、labMaxMxCC/,0, 00,/,CCMlxlabMax0lab /12F=1F=1la1左直线左直线xx FsC影响线影响线F=1xFsC的影响线：的影响线：3）剪力影响线）剪力影响线F=1F=1RAabCRBx F=1当当 F=1在左段移动时在左段移动时, 研究截面研究截面 C右侧右侧:FsC=RB (0 xa) (左直线左直线)13F=1F=1la11右直线右直线左直线左直线xx FsC影响线影响线b/lF=1xFsC的影响线：的影响线：3）剪力影响线）剪力影响线F=1F=1RAabCRBx F=1-当当 F=1在在AC段移动时段移动时, 研究截面研究截面 C右侧右侧:FsC=RB

9、 (0 xa) (左直线左直线)当当 F=1在在CB段上移动时段上移动时,研究截面研究截面 C左侧左侧:FsC=RA(axl ) (右直线右直线)14 4. 伸臂梁的影响线伸臂梁的影响线1）反力影响线）反力影响线11 2）跨内截面内力影响线）跨内截面内力影响线MC、FsC影响线影响线: 当当 F=1在在DC段移动时，段移动时，研究研究C右侧，有：右侧，有：MC=RBb，FsC=RB1当当F=1在在CE段移动时，段移动时，研究研究C左侧，有：左侧，有：MC=RAa，FsC=RAab1RB影响线影响线 MC影响线影响线 FsC影响线影响线 )()(2121llxlLxRllxlLxLRBAF=1x

10、RARBabEDABCF=1x RA影响线影响线15F=13)3)伸臂部分截面内力影响线伸臂部分截面内力影响线 MK、FsK影响线：影响线：当当F=1在在DK段移动时段移动时KDEF=1研究研究K左侧，有：左侧，有：MK=xFsK=1dd1 MK影响线影响线 FsK影响线影响线当当F=1在在KE段移动时段移动时研究研究K K左侧，有：左侧，有：MK=0FsK=0FsA左左影响线：影响线：1 FsA左左影响线影响线FsA右右影响线：影响线：11 FsA右右影响线影响线0 xF=11611-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线1.间接荷载（结点荷载）间接荷载（结点荷载） 桥梁的纵横梁桥

11、面系统的主梁受力简图。桥梁的纵横梁桥面系统的主梁受力简图。主梁主梁横梁（结点）横梁（结点）纵梁纵梁荷载传递：纵梁荷载传递：纵梁横梁横梁主梁。主梁。主梁承受结点荷载，这种荷载称为主梁承受结点荷载，这种荷载称为间接荷载间接荷载或或结点荷载结点荷载。F1718以以MC影响线为例：影响线为例：F=11. 当当F=1移至各结点处，与直接移至各结点处，与直接荷载相同；荷载相同；F=1MC影响线影响线y yDDy yE E2）F=1在在DE间移动时，主梁间移动时，主梁在在D、E处分别受到结点荷载处分别受到结点荷载 和和 的作用。的作用。dxd dxxdxd dxd)(直线EDydxydxdyy yF=1F=

12、1CDDA ABE EF=12. 间接荷载的影响线间接荷载的影响线若直接荷载若直接荷载MC影响线在影响线在D、E处竖标处竖标为为yD、yE，则两荷载共同作用下，则两荷载共同作用下MC值值：193. 间接荷载作用下影响线的绘制：间接荷载作用下影响线的绘制： 1）先作直接荷载作用下量值的影响线；）先作直接荷载作用下量值的影响线； 2）取各结点处的竖标，在每一纵梁范围内连以直线。）取各结点处的竖标，在每一纵梁范围内连以直线。例：例：F=1RB影响线影响线MK影响线影响线a10K2011-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线1.机动法的依据机动法的依据虚位移原理：虚位移原理：

13、刚体系在力系作用下处于平衡的充要条件是：在任何微小刚体系在力系作用下处于平衡的充要条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。2. 机动法简介机动法简介21B 作反力作反力RA影响线。为求影响线。为求RA，撤撤掉相应约束即掉相应约束即A处支座，以处支座，以正向反力代替。正向反力代替。原结构变成有一个自由度原结构变成有一个自由度的几何可变体系的几何可变体系(机构机构)，给此体系给此体系微小虚位移微小虚位移。 A(x)虚功方程：虚功方程： RA(x) A(x)-1F (x) =0 F(x)RA(x) =)()(xxAFA令令 =1= F(x) 虚位移虚

14、位移 F图图=RA的影响线。的影响线。1F=1虚位移图虚位移图影响线影响线RA(x) 223 .机动法机动法 欲作某一量值欲作某一量值S的影响线，只需的影响线，只需撤掉撤掉与其相应的约束，与其相应的约束，代以量值代以量值S，使机构沿，使机构沿S正向发生正向发生单位位移单位位移，所得，所得竖向位移图竖向位移图即为即为S的影响线。的影响线。例例. 用机动法绘用机动法绘MC影响线。影响线。ABCabMCMCABCF=1 A1 Fa)()1求何撤何代以何求何撤何代以何,沿何吹气位移沿何吹气位移 123RB影响线影响线ABRB11MC1bab/lCABabMC影响线影响线FsC影响线影响线FsC111b

15、/la/l2411-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 分清基本部分和附属部分及其传力关系，利用单跨静定梁分清基本部分和附属部分及其传力关系，利用单跨静定梁的已知影响线。的已知影响线。1. 举例说明举例说明 分析几何组成并绘层叠图。分析几何组成并绘层叠图。Kal当当F=1在在CE段上移动时段上移动时MK影响线与影响线与CE段单独段单独作为一伸臂梁相同。作为一伸臂梁相同。MK影响线影响线当当F=1在在AC段上移动时段上移动时MK=0当当F=1在在EF段上移动时段上移动时RFCE梁相当于在结点梁相当于在结点E处受到处受到VE的作用：的作用：VE=LxLa绘制绘制MK的影响线的影响线0VEF=

16、1F=1xE故故MK影响线在影响线在EF段为段为直线。直线。绘制绘制FsB左左的影响线的影响线按上述步骤绘出按上述步骤绘出FsB左左影响线如图。影响线如图。101FsB左左影响线影响线253. 结论结论 多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：1）当）当F=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线与相应在量值本身梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同。单跨静定梁相同。2）当）当F=1在对于量值所在部分是基本部分的梁段上移动时，在对于量值所在部分是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖标为零。量值影响线的竖标为零。3）当）当F=1在对于量值所在部

17、分来是附属部分的梁段上移动时，在对于量值所在部分来是附属部分的梁段上移动时， 量值影响线为直线。量值影响线为直线。 此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也很方便。此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也很方便。26MC影响线影响线30MK影响线影响线FsC左左影响线影响线0FsC右右影响线影响线1111.500习题习题 271.1.表示单位移动荷载作用下某指定截面内力变化规律的表示单位移动荷载作用下某指定截面内力变化规律的 图形称为内力的影响线图形称为内力的影响线 。( )( )2. 2. 图示结构图示结构MME E的影响线的影响线ACAC、CDCD段纵标为段纵标为 。F =1ABCDEA. A

18、C、CD均不为零；均不为零； B. AC、CD 均为零；均为零；B. AC为零，为零，CD不为零；不为零； D. AC不为零，不为零，CD为零。为零。课课 堂堂 练练 习习283. MD影响线在影响线在C点处的纵标为点处的纵标为 。F =1ADCB3m2m1m4/3m1m1、图、图b是图是图a的的_影响线，竖标影响线，竖标4. 图图b是图是图a的的_影响线，影响线，yD表示表示F=1作用在作用在_截面时截面时 _ 的数值。的数值。F=1CABDK( )( )ab-yD1mMKDMK2911-6 桁架的影响线（自学）桁架的影响线（自学） 单跨静定桁架支反力的计算与单跨梁相同，二者反力影单跨静定桁

19、架支反力的计算与单跨梁相同，二者反力影响线相同。响线相同。 用静力法作桁架影响线，方法与桁架内力计算相同，同用静力法作桁架影响线，方法与桁架内力计算相同，同样分为结点法和截面法，不同的是作用样分为结点法和截面法，不同的是作用F=1F=1的移动荷载，只的移动荷载，只需求出需求出F=1F=1在不同位置时内力影响线方程。在不同位置时内力影响线方程。30解：作解：作-截面截面例例. 作桁架下弦件作桁架下弦件12内力内力S12的影响线。的影响线。 当当F=1在在A-1间移动时间移动时F=1F=1AB取右部为隔离体，取右部为隔离体，由由M5=0 有：有：RARBRB5dS12h=0S12=hd5RBS12

20、影响线影响线hd5F=1F=1当当F=1在节间（在节间（1-2）内）内移动时，移动时，S12的影响线的影响线为一直线。为一直线。hd3当当F=1在在2-B间移动时间移动时取左部为隔离体，取左部为隔离体，由由M5=0 有有RA3dS12h=0S12=hd3RA3111-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 前面学习了影响线的绘制方法。现在开始研究影响线的应用。前面学习了影响线的绘制方法。现在开始研究影响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。首先讨论如何利用影响线求量值。F1F2Fny1y2yn据叠加原理据叠加原理: S=F1y1+F2y2+Fnyn=FiyiS影响线影响线1. 集中荷载集中荷载

21、某量值的影响线已绘出，若干荷载作用在已知位置。某量值的影响线已绘出，若干荷载作用在已知位置。32F1F2Fn若集中力作用在影响线某一若集中力作用在影响线某一直线范围直线范围内，则有内，则有:S影响线影响线S影响线影响线y1y2ynox1x2S=Fiyi0 = Fixi)tg =tg Fixi据合力矩定理据合力矩定理: Fixi=RxS=Rxtg =RyRyx合力合力R作用点处影响线竖标作用点处影响线竖标合力合力332. 分布荷载分布荷载qxabS影响线影响线微段微段dx上荷载为上荷载为qxdx，则，则ab区区段内分布荷载产生的影响量：段内分布荷载产生的影响量：dxyS=baxydxq均布荷载（

22、均布荷载（q=常数）常数）S=baqydxqqS影响线影响线ab qxdx影响线在荷载范围内面积的影响线在荷载范围内面积的代数和代数和3411-8 铁路和公路标准荷载制铁路和公路标准荷载制 公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况复杂，公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况复杂，设计结构时不可能对每种情况都进行计算，而是以一种统一的设计结构时不可能对每种情况都进行计算，而是以一种统一的标准荷载进行设计。这种标准荷载是经统计分析制定出来的，标准荷载进行设计。这种标准荷载是经统计分析制定出来的，既概括了当前各类车辆的情况，又适当考虑了将来的发展。既概括了当前各类车辆的情况，又适当考虑了将

23、来的发展。 我国公路标准荷载，分为计算荷载和验算荷载。我国公路标准荷载，分为计算荷载和验算荷载。计算荷载计算荷载汽车汽车-10级级汽车汽车-20级级汽车汽车-超超20级级汽车汽车-15级级验算荷载验算荷载履带履带-50挂车挂车-100挂车挂车-120挂车挂车-803511-9 最不利荷载位置最不利荷载位置 使某一量值发生最大使某一量值发生最大(或最小或最小)值的荷载位置，即为值的荷载位置，即为最不最不利荷载位置。利荷载位置。 移动荷载作用下，各种量值均随荷载位置变化而变化，移动荷载作用下，各种量值均随荷载位置变化而变化，设计时须求出各种量值的最大值设计时须求出各种量值的最大值(或最小值或最小值

24、)。1. 一个集中荷载一个集中荷载直观判断直观判断S影响线影响线FSmaxFSmin362. 可以任意布置的均布荷载（如人群、货物）可以任意布置的均布荷载（如人群、货物）S=q S影响线影响线SmaxSmin 3. 行列荷载行列荷载 ： 荷载移动到该位置时荷载移动到该位置时S最大，因而荷载由该位置向左或向右最大，因而荷载由该位置向左或向右移动到邻近位置时，移动到邻近位置时，S值均将减小。值均将减小。 一系列间距不变的移动集中荷载。一系列间距不变的移动集中荷载。37xyS影响线影响线 1 2一组集中荷载图示位置，影响量：一组集中荷载图示位置，影响量：R1R2Rny1y2ynS1=R1y1+R2y

25、2+Rnyn当荷载组右移当荷载组右移x时，时，xy1xxy2yn n相应量值为：相应量值为：S2=R1(y1+y1)+ +Rn(yn+yn)增量增量: S=S2S1 =R1y1+Rnyn =R1xtg 1+Rnx tg n =xRi tg i设某量值设某量值S的影响线如图，的影响线如图，38当当x0(荷载右移荷载右移)Ri tg i 0Ri tg i 0同理，同理，S有极小值：有极小值：荷载左、右移动微小距离，荷载左、右移动微小距离，Ri tg i变号，变号，S才可能有极值。才可能有极值。S= xRi tg i 0S有极大值条件有极大值条件:当当x0(荷载右移荷载右移)Ri tg i 0Ri

26、tg i 0当当x039 Ri tg i变号变号各段合力各段合力Ri的数值发生变化，显然只的数值发生变化，显然只有当某一集中荷载恰好位于影响线有当某一集中荷载恰好位于影响线顶点顶点处时，才有可能。处时，才有可能。 能使能使Ri tg i变号的荷载称为变号的荷载称为临界荷载临界荷载，此时的荷载位，此时的荷载位置称为置称为临界荷载位置临界荷载位置。 试算试算：不止一个，将各临界位置相应的：不止一个，将各临界位置相应的S极值均求出，从中选极值均求出，从中选出最大出最大(小小)值，该荷载位置即为最不利荷载位置。值，该荷载位置即为最不利荷载位置。40abh 荷载左移荷载左移(Ra+Fcr)tg Rbtg

27、 0荷载右移荷载右移Ratg (Fcr+Rb)tg 0将将tg =ah和和tg =bh代入，得代入，得aFRcrabRbbRaRbcraF三角形影响线的判别式，设临界荷载三角形影响线的判别式，设临界荷载Fcr处于顶点，则：处于顶点，则：FcrRaRb把把 Fcr归到顶点哪一边，归到顶点哪一边，哪一边的平均荷载就大哪一边的平均荷载就大4111-10 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩1. 绝对最大弯矩：绝对最大弯矩：梁的各截面最大弯矩中的最大者。梁的各截面最大弯矩中的最大者。2. 确定绝对最大弯矩的一般方法确定绝对最大弯矩的一般方法需解决：需解决：（1）绝对最大弯矩发生在）绝对最大弯矩发生

28、在哪个截面？哪个截面？（2）该截面发生最大弯矩的）该截面发生最大弯矩的荷载位置？荷载位置？ 集中力作用下，集中力作用下，M图顶点位于力作用点，可断定：图顶点位于力作用点，可断定： 绝对最大弯矩在某一绝对最大弯矩在某一集中力作用点集中力作用点处截面上。处截面上。思路思路 任选一集中力，找出其作用点在什么位置弯矩最大，再计算其它任选一集中力，找出其作用点在什么位置弯矩最大，再计算其它集中力作用点处截面最大弯矩，并加以比较，即可求出绝对最大弯矩。集中力作用点处截面最大弯矩，并加以比较，即可求出绝对最大弯矩。423 . 集中荷载作用下绝对最大弯矩的确定集中荷载作用下绝对最大弯矩的确定ABF1F2FkF

29、n 荷载荷载Fk, 作用点处：作用点处：Mx=RAxMkl/2l/2Fkx=RA/l(lxa)xMkRA=R/l(lxa)Fk以以左左荷载对荷载对Fk作用点力矩总和，作用点力矩总和，是与是与x无关的常数。无关的常数。Mx有极值，令有极值，令Ra逐个荷载计算，然后加以比较，便可得出绝对最大弯矩。逐个荷载计算，然后加以比较，便可得出绝对最大弯矩。 x=l/2a/20)2(axllRdxdMx定荷载定荷载定位置定位置43计算步骤计算步骤: 1）找出可能使跨中产生最大弯矩的）找出可能使跨中产生最大弯矩的临界荷载临界荷载； 2）使）使上述荷载上述荷载与梁上荷载的与梁上荷载的合力合力对称于中截面，计算此时

30、临对称于中截面，计算此时临界荷载所在截面的界荷载所在截面的最大弯矩最大弯矩； 3）类似地，计算出其它截面的最大弯矩并加以比较，其中）类似地，计算出其它截面的最大弯矩并加以比较，其中最大者即为最大者即为绝对最大弯矩绝对最大弯矩。A AB BF F1 1F F2 2F Fk kF Fn nl/2l/2l/2l/2F Fk kx xR R44 例例 11-5 求简支梁在汽车求简支梁在汽车-10级荷载作用下的绝对最大弯矩，级荷载作用下的绝对最大弯矩，并与跨中截面的最大弯矩比较。并与跨中截面的最大弯矩比较。ABC20m解：解：1）求）求MCmax10m绘绘MC影响线影响线5.0MC影响线影响线6m4m5

31、m4m100503070 重车后轮位于影响线顶点时重车后轮位于影响线顶点时为最不利荷载位置：为最不利荷载位置：3.02.50.5MCmax=503.0+1005.0+302.5+700.5 =760 kNm 2）求绝对最大弯矩）求绝对最大弯矩设发生绝对最大弯矩时有设发生绝对最大弯矩时有4个个荷载在梁上，其合力为：荷载在梁上，其合力为：a=m322250450970530ABC100503070R232m8.84m8.84mMmax=k2M)2a2L(LR=777 kNmR=50+100+30+70=250kNR到到 Fcr(100)的距离的距离4511-11 简支梁的包络图简支梁的包络图1.1

32、.内力包络图内力包络图 结构计算中，需要求出荷载作用下结构计算中，需要求出荷载作用下各截面的内力极值各截面的内力极值，作，作为设计依据。为设计依据。 把梁上把梁上各截面内力极值各截面内力极值按同一比例标图上，连成的曲线，按同一比例标图上，连成的曲线，即为即为内力包络图内力包络图。2.2.绘制方法绘制方法 将梁将梁10等分，求出各截面最大弯矩，再求出绝对最大弯等分，求出各截面最大弯矩，再求出绝对最大弯矩；最后，将这些值连成光滑曲线。矩；最后，将这些值连成光滑曲线。46例：求简支梁的包络图和例：求简支梁的包络图和绝对最大弯矩绝对最大弯矩12m823.5m 1.5m3.5m8282821234567891002.88mM4影响线影响线x4=4.8mM4max=559kN.m578559 574215366465M包络图包络图