崇文一模数学理有答案

1、北京市崇文区20202020学年度第二学期统一练习（一） 数学试题（理）2020 . 4本试卷分第I卷（选择题）和第U卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1 .已知全集U R，集合Ax| x 12，B x|x2 6x 80，则集合euA B( )A. x| 1 x 4B .x| 1 x 4C.x|2 x 3D .x|2 x 32. 一个单位共有职工200 人,其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的

2、健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为 25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为( )A . 5B. 10C. 15D. 503.已知PA是e O的切线，切点为的直径，PC交e O于点B，半径为A. 1C.34 已知等比数列an为递增数列，且33 373 , 32 38 2，则37A.2B-C.3D.-5 .已知324m,n是两条不同直线，,是三个不同平面，下列命题中正确的为()A.若，则PB .若 m,n,贝U m PnC.若 m P , n P ，贝U m PnD .若 m P , m P ,则Pxy6.设 M , N20- 3)x y, P 3 xy (其中 0 xy），

3、则M, N,P大小关系为( )A. MNPB. N PMC. P M ND. P NM7. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排若男生甲不站两端，3位女生中有且 只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )A . 36B. 42C.48D. 601 , (x1),8 .设定义在R上的函数f(x)x 1|若关于x的方程1,(x1)-f2(x) bf(x)c 0有3个不同的实数解为，沁，X3，则X1 X2 X3等于( )A. 3B. 2C.b 1D.c第U卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9如果复数m2 i 1 mi （其中i是虚数单位）是实数，则实数m .10. 若

4、（皈 -）12的展开式中的常数项为220，贝U实数3 .xx 1 2cos11 将参数方程,(为参数)化成普通方程为y 2sin ,12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M , N的值分别为13 .若数列 an的前n项和为则Xnc、4s,(nSn 1an1),2).若数列g的前n项积为节，类比上述结果，贝U bn =十财此时，若 Tn n2 (n N )，则 bn =x 114 .定义在R上的函数满足f(0) O,f(x) f(1 x) 1, f(-)- f (x)，且当521 0 X1 X2 1 时，f (xi) f(X2)，贝U f () :2010三、解答题：本大题共6小题，共80分

5、。解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程。15. (本小题共12分)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足sin 亠5，且ABC的2 5面积为2 .(I) 求bc的值；(U)若b c 6，求a的值.16. (本小题共13分)为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10,15，15,20，20,25 , 25,30，30,35,频率分布直方图如图所示.已知生产的产品数量在20,25之间的工人有6位.(I)求 m ；(n)工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？17. (本小题共14分)侧棱与

6、底面垂直， ABC 90三棱柱ABC ABQ,中AB BC BB,2 , M ,N 分别是 AB :(I)求证：MN P平面 BCC,B,;(U)求证：MN 平面A,B,C ;(川)求二面角M B,C A,的余弦值.18. (本小题共14分)已知 f(x) x3 6ax2 9a2x (a R ).(I) 求函数f(x)的单调递减区间；(U)当a 0时，若对x 0,3有f(x) 4恒成立，求实数a的取值范围.19. (本小题共14分)已知抛物线y2 4x，点M (1,0)关于y轴的对称点为N，直线I过点M交抛物线于代B两点.(I)证明：直线NA,NB的斜率互为相反数；(U)求 ANB面积的最小值

7、；(川)当点M的坐标为(m,0)( m 0，且m 1).根据(I) (U)推测并回答下列问题(不必说明理由)： 直线NA,NB的斜率是否互为相反数？ ANB面积的最小值是多少？20. （本小题共13分）已知数列an中，a1 1 , a2 a 1 （a 0且a 1），其前n项和为Sn，且1 1 1 当n 2时，丄丄丄.Sn an an 1（I）求证：数列 Sn是等比数列；（U）求数列an的通项公式；（川）若a 4，令bn9an，记数列bn的前n项和为人.设是整（an 3）（ an 1 3）3 7数，问是否存在正整数n ,使等式Tn -成立？若存在，求出n和5an 18相应的 值；若不存在，请说明

8、理由.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1 4 DCCA 5 8 BDCA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 110. 12 211. x 1 y 412. 13,21T113. bn卫Tn 1(n1)1(n1)(n2)； bn252)14.132n 16小题，共80分）三、解答题（本大题共15. （共 12 分）A 詔5解: (I)v sin 0 A25A cos 22屆5 .sin AAA42sin cos.225S ABC1besin A 2，2be 56分 A 5 () sin252 A 3cos A 1 2s in25I be 5, b c

9、 6,2222 a b e 2beeosA (b e) 2be(1 cos A) 20a 2弱.12分16. （共 13分）解：（I）根据直方图可知产品件数在 20,25内的人数为m 5 0.06 6，则 m 20 （位）.15,20，20,25 , 25,30 , 30,35,（U）根据直方图可知产品件数在10,15，组内的人数分别为2，4，6, 5，3.17.设选取这5人不在同组为B事件,答：选取这5人不在同组的概率为（共14分）（I）证明：连结BC1，AC1.则 P(B)153231315323在VAB中,M ,N是AB, AC的中点,MN | BC1 .18.(共 14分)(1)当 a

10、 3a，即 a 0 时，f (x) 3x20 ,不成立.又 MN 平面BCC1B1 ,MN |平面 BCC1B1 .(U)如图，以b为原点建立空间直角坐标系B1 xyz .则 Bi(O,O,O) , C(0,2,2) , A( 2,0,0),1,0,2) , N( 1,1,1)umr umurB1C (0,2,2) , 2(2,0,0) , NM(0,1,1).设平面ABQ的法向量为n(x, y, z).umrn B1C 0uuuun0令z 1，则x0,yn (0, 1,1).uuuu n 二 NMMN 平面 A1B1C .(川)设平面MBQ的法向量为m (x0, y0, z0)uuuirB1

11、M( 1,0,2).UULTm RC0x0UUULTm BiM0y02z0%令z01，则 X02, y分(2, 1,1).cosn, m|n| |m|所求二面角MB1CA1的余弦值为_3314解：(I) f (x) 3x2 12ax 9a23(xa)(x3a)0(2) 当a 3a，即a 0时，单调减区间为(3a,a).(3) 当 a 3a，即a 0时，单调减区间为(a,3a) . 5分(n) f(x) 3x2 12ax 9a23(x a)(x 3a)，f(x)在(0, a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,)上递增.(1) 当 a 3时，函数f(x)在0,3上递增，所以函数f(x)在0,

12、3上的最大值是f(3)，若对x 0,3有f (x) 4恒成立，需要有f (3) 4,解得a .a 3,(2) 当1 a 3时，有a 3 3a，此时函数f(x)在0, a上递增，在a,3上递 减，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f (a)，若对x 0,3有f (x)4恒成立，需要有f(a) 4,解得a 1 .1 a 3,(3) 当a 1时，有3 3a，此时函数f(x)在a,3a上递减，在3a,3上递增，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)或者是f (3).由 f(a) f (3) (a 3)2(4a 3)，3 0 a 时，f(a) f (3)，4f(3) 4,若对 x 0,3有f (

13、x)4恒成立，需要有30 a-,4解得a 1耳, a 1 时，f(a) f (3)， .9414分若对 x 0,3有f(x) 4恒成立，需要有4 1 ) a af 3 - 4a3-4综上所述,a 12、. 3亍1-14 分1819.(共 14分)解：(I)设直线I的方程为y k x 1 (k 0).由；2：1,可得掀 2k2 4x k2 0.设 A X% ,B X2, y2，则人 X22k242 MX?ky241,0kNAkNB%x1 14y1和2X2 1 y1y214y22y2 42* y22.y2 y1442 2y14 y2 44(4y2 4y1 4y1 4y?)2 2y14 y2 4又当

14、I垂直于x轴时，点A,B关于x轴，显然kNAk|NB0, k|AkNB .综上，kNAkNB 0, kNA kNB 4 .y1y2y1y24y1y2X1 X2 8当I垂直于x轴时，S nab 4 ANB面积的最小值等于 4 .(川)推测：kNAkNB ； ANB面积的最小值为4m、,m .20.(共 13 分)2 时，Sn1 1SnSn 1Sn+1Sn化简得 Sn2 Sn 1Sn 1 (n 2),又由S1 1 0, a 0 ,可推知对一切正整数n均有Sn 0 ,数列Sn是等比数列.4分(U)由(I)知等比数列Sn的首项为1，公比为a ,当n2时,anSn Sn 1 (an 21)a,又a1S1

15、,-an1,(a1)an(n2, (n1),2).8分(m)当a4,n2时，an 34n 2，此时二 Snn 1 abn9an(an 3)(an 13)9 34n2(3 4n 2 3)(3 4n 13)4n2n 2n 1(41)(41)14n 219佝 3)(a23)bi(n 1)(n2)当n2时,1）7Tnb1b2L bn3 (1_18 (42 2 142 11）1n 2n 14141，则等式Tn5a n 152不是整数,不符合题意.2，则等式Tn5 an 1JQ是整数， 4n11是5的因数.n 1n 2 时,415,当且仅当n 2时,启是整数,综上所述，当且仅当4时，存在正整数n2，使等式Tn5an 1i成立.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题1 4 DCCA 5 8 BDCA二、填空题（本大题共9.10.6小题，每小题11.12.13.14.5分,5分,13分共 40