控制系统的状态空间分析

1、文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.5word版本可编辑欢迎下载支持.(8-1)(8-2)第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1.状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。2.状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了/ = 时刻 这组变疑的值（“仏）x2（r（）耳仇）和宀心时输入的时间函数“，则系 统在fng任何时刻（州（/） x2（t） 兀（）的行为就可完全确泄。3.状态向量 以状态变虽:为元素构成的向量，即x（t） = xj（r） x2（f） xn（r）o4.状态空间 以状态变量（為 x2（r）（/）

2、为坐标的料维空间。系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。5.状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。6.输出方程描述输出变量与状态变量、输入变咼间函数关系的代数方程。二. 状态空间描述（状态空间表达式）1状态方程与输岀方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式线性左常系统状 态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性左常连续系统有x(t) = Ax(f) + Bu(f) y(t) = Cx(f) + Du(f)对于线性左常离散系统有x(k +l) = Gx(Q +旳伙)y(k) = Cx(k) + Du(k)2.状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，

3、结构图（方框 图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z传递函数）等其它形式的数学模 型导出。3.状态空间描述的线性变换及规范化（标准型）系统状态变量的选择不是唯一的，状态变疑选择不同，状态空间描述也不一样。利 用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能 观标准型、对角标准型、约当标准型。文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎下载支持.2word版本可编输欢迎下载支持.三、传递函数矩阵及其实现1.传递矩阵G(s)G(s)：多输入多输出系统的输岀向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系， 称为传递矩阵G(s),即G(S) = 2_LL

4、1(8-3)U(s)式中：U(s)系统的输入向量r(5)系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是：G( (5) = C(.VI-A)_1B + D(8-4)上式中的A, B, C, D即为状态空间描述A,B,C,DA,B,C,D中的矩阵A,B,C,D。2.传递矩阵G(s)的实现：已知系统的传递函数矩阵G(s),寻找一个状态空间描述 A,B,C,DA,B,C,D, ,并满足式(8-4),则称 A,B,GD 为G($)的一个实现。当系统 A,B,C,DA,B,C,D的阶数等于传递函数矩阵G(s)的阶数时，称该系统A,B,C,DA,B,C,D为 G(s)的最小实现。传递函数矩

5、阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有：可控标准形实现，可观标 准形实现、对角型实现和约当型实现等。四、线性定常连续系统状态方程的求解1.状态转移矩阵0(/)(矩阵指数函数/)及其性质。2.汁算状态转移矩阵0(/)的方法1)级数展开法eA, =1 + At + 丄 A，/ 2!口+討”+(8-5)文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.5word版本可编辑欢迎下载支持.2)拉氏变换法曲)=A)(8-6)文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎下载支持.2word版本可编输欢迎下载支持.(8-7)4)处)=_ M)15,打. sest，_0()=1吐分

6、J S S S；：T _es当矩阵A具有川重特征值厲时，待定系数*(/)(其它相异特征值按式几(8-8)(j = 0,l,2,3M八由下式确10.n-I(n-i) -2 -6戶1!1! 101 1 (n 一 1)( 一 2)3- -5i2!2!.00 0 1 _严(H-l)!(8-9)希尔维斯特(Sylvester)法At $ %人人_巧/i丰k(8-10)1)齐次方程x(t) = Ax(t)的解3)凯莱哈密尔顿法(又称待泄系统法)FJ-1处) J工仅(/)屮&()当矩阵A的特征值互异时，久可由下式确龙:式中：sk(k = 12砒一矩阵的特征值/一单位阵当系统矩阵A的“个特征值互异时，用希尔维

7、斯特方法求0(/)最为简便。1.性左常连续系统状态方程求解x(t) = 0(f)x(O)(8-11)2)非齐次方程x(t) = AAV) + Bu(t)的解xt) = (r)x(O) + (!)t - T)Bu(T)dT(8-12)4.线性左常连续系统的离散化处理)。(8-8)0卫)文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.5word版本可编辑欢迎下载支持.对式(81)表示的系统进行簡散化，可导出如式(8-2)所表示的离散化状态空文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎下载支持.6word版本可编借.欢迎下载支持.(8-13)(8-14)间描述。其中，

8、H =飒 T)BH5.离散系统状态方程求解1)递推法七-1xk) = G Ax(0) + 工 G u Hu (i)伙=12 丿2)Z变换法X(z) = (z7- G)-* zX (0) + (7/- G)-* HU (8-15)五、线性定常连续系统的可控性与可观测性1.线性左常连续系统的可控性判断rankB AB A B AlB = n(8-16)1)当系统X=AX + Bu中的A矩阵为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B中 无全零行。2)当A为约当阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵B中约当块最 后一行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零。3)(si - A)-1

9、 B的行向量线性无关。4)单输入系统礼为可控标准型。5)单输入/单输岀系统，当状态空间描述导出的传递函数没有零、极点对消时， 系统可控，可观测。2.输岀可控型判据rankCB CAB CAB D= q (C阵的行数)(8-17)1)状态可控性与输岀可控性是两个不同的槪念，其间没有必然的联系。单输入/ 单输岀系统若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。3.线性建常连续系统的可观测型判据rankcT ATCT (ATy-lCT=n(8-18)1)当系统的A阵为对角阵且特征根互异时，输出矩阵C无全零列。2)当系统的A阵为约当阵且相同的特征值分布在一个约当块内时，输出矩阵中 与约当块最前一列对应的列不

10、全为零，输岀矩阵中与相异特征值对应的列不全 为零。文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:欢迎下载支持.5word版本可编辑欢迎下载支持.(8-21)(8-22)(8-23)3)Csl- A)-1的列向量线性无关。4)单输出系统A,C为可观测标准型。六、线性定常离散系统的可控性和可观测型判据1.可控性判据rankH GH GnH=n(8-19)2.可观测性判据rankcr GTCT (GTy-xCT=n(8-20)七、线性定常系统的状态反馈与状态观测器1.状态反馈与状态反馈控制系统的极点配巻1)状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变屋乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端 与参考输

11、入比较后形成控制率，作为受控系统的控制输入，即式中：r(0 -参考输入K-反馈系数向量X-状态向量(/)-控制输入若受控系统的状态空间描述为X(t) = AX(t) + Bu(t)y(t) = CX (/) + )“(/)将式(8-21)代入式(822)可得X(t) = (A-BK)X(t) + Br(t)y(t) = (C-DK)X(t) + Dr 上式的简化写法为A -BK、B,C-DK、D2)状态反馈控制系统的极点配巻极点配豊是通过计算选择状态反馈阵K,使得闭环控制系统q BKC DK,D的极点(即A BK的特征值)正好处于所希望的文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎

12、下载支持.8word版本可编借.欢迎下载支持.(8-24)一组极点的位垃上。即令det.v/ -(A-BK) = 口(s_&)式中：（i = 1,2, - n）为希望的一组闭环极点。a）用状态反馈实现闭环极点任意配置的充分必要条件是受控系统的状态要 完全可控。状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。b）在引入状态反馈后，系统的可控性不会改变，但可观测性不一左与原系统 一致。c）对于单输入系统，只要系统可控，则必能通过状态反馈实现闭环极点的任 意配苣，而且不影响系统零点的分布。2.状态观测器及其设计1）状态观测器：应用状态反馈涉及状态反馈控制系统，除了受控系统的状态要完 全可控外，还要求所有

13、的状态变量是可以量测的。当系统的状态变量不能全部 量测到时，实现完全状态反馈就会遇到困难，因此提出了用状态观测器来重构 系统的全部状态。故状态观测器又称状态估计器。2）状态观测器的设计设讣状态观测器的方框图如图1.8-1的虚框所示。图 1.8-1从图1. 8-1可以求出状态观测器的状态方程和输出方程文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借欢迎下载支持.9word版本可编借.欢迎下载支持.(8-24)(8-25)(8-26)X =AX +G(y-y) + Bu= AX+G(y-CX) + Bu= (A-GC)X + Bu + Gyy = CX状态观测器的反馈矩阵G可由下式求岀n_(A_GC) = ($_&)式中：儿