圆周运动中的临界问题专题

1、课题28圆周运动中的临界问题、竖直面内圆周运动的临界问题（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况:特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R宀v临界=.Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力能过最高点的条件：v . Rg，当v Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.的合力提供向心力，此时临界速度V临工-Rg不能过最高点的条件：vv V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运

2、动）【例题1】如图所示，半径为 R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速Vo,若vo Fn 0, Fn为支持力. 当 v= , Rg 时，Fn = 0当v、.Rg时，Fn为拉力，Fn随v的增大而增大（此时 Fn为拉力，方向指向圆心）典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状 态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴0O旋转，现将轻质弹簧的一端固定OOm, qzz1,/k4i Oii*i-J*Er*当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为

3、A点，物理最低点为 B点，而几何最高点在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A,设弹簧劲度系数为 k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心 R处，RL,圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速3逐渐增大，物块 A相对圆盘始终未惰动。当 3增大到国=|5k（R j）时，物块A是否受V 4mR到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。【解析对物块 A,设其所受静摩擦力为零时的临界角度为3,此时向心力仅为弹簧弹力；若33 ,则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若33 。V mRV 4mR可见物块所受静摩擦力指向圆心。【例3】如图所示，细绳长为 L, 一端固定在 O点，

4、另一端系一质量为 m、 电荷量为+q的小球，置于电场强度为 E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面 内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？解析：小球至最高点时能以 L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则 M叶Eq=mv2/L ,得v二.mg Eq L/m，故小球在竖直平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度v_ .mgEq L/m拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面 内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右如图,为C点，几何最低点为 D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重 合）.A处速度的最小值（

5、临界速度）应满足：mvA / R = F合=J（mg f +（Eqf思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？【例4】一内壁光滑的环形细圆管， 位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多）， 圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1, B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么mi,m2, R与v应满足怎样的关系式？解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上弹力 N ,此时两球对圆管的合力为零， m必受圆

6、管向下的弹力 Nb, 且 N=N2。2据牛顿第二定律 A球在圆管的最低点有 N! - mg = g V R2同理mi在最高点有 m2g +N2 =m2匕R1 2 1 2m球由最高点到最低点机械能守恒口讣尹M二尹松又心由式解得珂=（如+ mJgR f （m厂 叫）。【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会 变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作90转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为口和2,车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择

7、较错误选择所赢得的时间是多少？分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为Vm。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制， 只能达到一定的大小为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小 到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到Vm。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定.对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为V2，则应有 m22/r 2=卩mg解得 V2=l 两如图所示，设车自 M点开始减速，至 N点其速度减为V2, 且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加

8、速度的大小为a=ymg/m=3 g2 2此减速过程中行驶的路径长度（即MN的长度）为x2=VV22a车沿弯道到达 A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为X2的路程上加速，才能达到速度Vm。上述过程所用的总时间为rr2丄 丄丄丄Vm -Vo弋t 2=t减速+ t圆弧+ t加速=+a2v2Vm Vm _( 2_ 匸)22 r巴g同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为(2-7)另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多 走了长度 L = r 2 r i同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 x=2xi 2x2= r 2 ri由于上述

9、的 L和厶X刚好相等，可见车在直道上以 Vm匀速行驶的路程长度对于内外两道来 说是相等的这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的tl和t2即可由于t 2 tl，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为 t=t2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围【例6】如图，直杆上0102两点间距为L，细线OiA长为：/3L， O2A长为L,A端小球质量 为m,要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度3转动？解析：当3较小时线 OA拉直，OA松弛，而当3太大时OA拉直,O iA将松弛.设O2A刚好拉直，但Fo2a仍为零时角速度为3 i，此时/ QOA =30 ,对小球： 在竖直方向

10、Fqia- cos30 = mg在水平方向：Fqia- sin30 = m， 3L sin 30由得；.讣=设QA由拉紧转到刚被拉直,F Q1A变为零时角速度为32对小球：Fq2a cos60 =mgFq2a- sin60 =m3 22L - sin60 由得2=2gL，故，2g3L，2gL【例7】一根长约为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面 内转动，杆最初在水平位置。杆上距Q为a处放有一个小物体 B (可视为O质点)。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度 绕Q轴转动，问当3取什么值时，小物体与杆可能相碰。【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：体运动。若B

11、能与杆相碰，只可能在B下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。我们分两种情况进行讨论：(1)当杆的转速3较小时，物体B有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B下落t2,两物要能相碰，t 1和t2就满足下列条A做匀速转动，B做自由落到C作用的时间为t1，杆转过角所用时间为 件：t1 t2. - 2又因为Lbc= ?gt1 ,=3 t2，由几何关系Lbcf. l2a2 , Lcos =a,gt/= , L2 -a2 解得 t1 =1由=3 12=arccos a /L 解得 t2= arccos Q(a/L )g t2Z由 2 n + =3 t2/，所以 t=( 2 n

12、+)=(2 n +arccos ( a/L ) / 3代入得n +arccos ( a/L ) / 3,解得3 g arccos (a/L ) / 4 L2 -a2 2由以上分析可知，当杆转动的角速度满足径arccos ( a/L ) / Jl2 _a2或3 2.9 arccos (a/L ) / 4 L2 _a2时，物体B均有可能和细杆相碰。2若F向下，则典例分析 杆长为L,球的质量为m,杆连球在竖直平面内绕轴 O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1/2mg，求这时小球的即时速度大小。解：小球所需向心力向下，本题中F=1/2 mgmg所以弹力的方向可能向上 也可能向下。若 f向

13、上，则mg _F二ml八 gLL 2处于水平向右的匀强电场中，ABC运动后进入圆环内作圆周运动。R,斜面倾角为0 , Sbc=2R。若使小mg F=平，v = .39L如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道, 带负电荷的小球从高 h的A处静止开始下滑，沿轨道 已知小球所受到电场力是其重力的3 / 4,圆滑半径为球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？如图所示。可知F = 1.25mg ,方向与竖直方向左偏下37o,从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过 D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。由圆周运动知识得：2VdF - mR2即：1.25mg 二

14、 m由动能定理有：312mg(h - R - Rcos37 )mg (hcot 2R Rsin37 )mv联立、可求出此时的高度ho【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为 M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上， 细 绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O吊着质量为 m=0.3kg的小球B, A的重心到O点的距 离为0.2m .若A与转盘间的最大静摩擦力为 f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心 O旋转的角速度3的取值范围.（取g=10m/s2）解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止一一具有与转盘相同的角速度.A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成.角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向

15、圆心 0;角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 0.对于B, T=mg2对于 A , T f = Mr r2T - f = Mr 2x = 6.5rad/s，2 = 2.9 rad/sm2g 2R所以 2.9 rad/s _ . _ 6.5 rad/s【例7】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多）.在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）.A球的质量为 mi, B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为vo.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么mi、m2、R

16、与vo应满足的关系式是.解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题.A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力- -定是 竖直向下的.由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度 v满足方程2m2v 22对于 A 球，N m1 = m1B5畧根据牛顿运动定律2v 对于 B 球，N 2 m2 g = m2 -R又 Ni=N22解得E詈5 5m2)g针对练习：1 如图所示，长为L的细线，一端固定在 0点，另一端系一个球把小球拉到与悬点 0 处于同一水平面的

17、 A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕0点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为A. . 7gLB. . 5gLD.、2gL2 由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同,且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力A. 相等B.前者一定稍大于后者C.前者一定稍小于后者D.均可能为零3用一根细线一端系一小球（可视为质点） ，另一端固定在一光滑锥顶上，如图（ 1） 所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为 3 ,线的张力为T,则T随3 2变化的 图象是图（2）中的圏（1

18、）D4在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为 R,如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过M mmRM mmR5. 如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R,绕它的轴在光滑的桌面上以角速度3快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于C. RD . RA由静止下滑，若小球恰能通过A的高度h至少应为多少？6. 如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过0点的水平轴自由转动现给小球一初速度,使它做圆周运动，图中 a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆

19、对球的作用力可能 是A. a处为拉力，b处为拉力B. a处为拉力，b处为推力C. a处为推力，b处为拉力D. a处为推力，b处为推力7. 如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点 半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点:B/rhV* 1厂一rn1如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨 道半径为R, MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径 的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与B声打打打打打声芒打静止于该处的质量与 A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距 N为2R。重力加

20、速度为 g,忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：（1） 粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t;（2）小球A冲进轨道时速度v的大小。解析：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有1 22R gt2R解得 t =2 Rg（2）设球A的质量为m，碰撞前速度大小为 vi，把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为1 2 1 20，由机械能守恒定律知mvmv1 2mgR2 2设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为 v2，由动量守恒定律知 mVt = 2mv2飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有2R = v2t综合式得 V2 =2 2gR某兴趣小组设计了如图

21、所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以Va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“ 8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数u=0.3，不计其它机械能损失。已知ab段长L = 1.5m,数字“ 0”的半径R= 0.2m,小物体质量 m=0.01kg,g=10m/s2。求：（1）小物体从p点抛出后的水平射程。（2）小物体经 过数这“ 0 ”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。m=1kg的小球

22、通过长 L=0.5mPM设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则由式，得F=2N由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。(2)解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为V2,此时滑块的速度为 V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有mv2 MV = 0解析：(1)设小物体运动到 p点时的速度大小为 v,对小物体由a运动到p过程应用动能定理得：-mgL-2Rmg =1 mv2mv；2 21 22Rgts=vt由式联立代入数据解得：s=0.8m(2)设在数字“ 0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，

23、由牛顿第二定律得：2lmvF mgR由两式联立代入数据解得：F = 0.3N，方向竖直向下。答案：0.8m0.3N 方向竖直向下如图所示，质量 M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度 v0=4 m/s, g取10m/s2。(1) 若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作 用力大小和方向。(2) 若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速 度大小。(3) 在满足(2)的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。解析：(1)设小球能通过最高点

24、，且此时的速度为v1。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则1 2 + . 1 2-m mgLmv0在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则1 2 1 2 1 22 mv2 MV mgLmvo由式，得V2=2m/s（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为离为S2,任意时刻小球的水平速度大小为V3,滑块的速度大小为的动量守恒，得滑块向左移动的距VJ由系统水平方向mv3 - MV = 0将式两边同乘以.过，得mv3 ：t -MV ：t = 0因式对任意时刻附近的微小间隔.讥都成立，累积相加后,mq -Ms2 =010112 m 3如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半 部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之 一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为 R、下端固定 的轻质弹簧