第十周周一高等数学の5定积分在几何物理上的应用广义积分

1、oyxx x x x x xabx 设yf (x)0 (xa，b)a(x) f (t)dtxa a(x) f (t)dt是以a, x为底的曲边梯形的面积xa a= f(x)dx 是以a, b为底的曲边梯形的面积ba5.4 定积分在几何问题中的应用举例 曲边梯形面积a(x)的微分为da(x)f (x)dx， 点x处，高为f (x) 、宽为dx的矩形的面积为：f (x)dxoyxx+dxab daf (x)dx，且daf (x)dxo(dx) f (x)dx称为曲边梯形的面积元素x 以dx为宽的曲边梯形面积为：da dttfdxxx)( 以a，b为底的曲边梯形的面积a就是以面积元素f (x)dx为

2、被积表达式，以a，b为积分区间的定积分：a(x) f (t)dtxaa f (x)dxba 一般情况下，为求某一量u (不一定就是面积，即使是面积也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间a，b上的函数u(x)，再求这一量在a，b上的元素d u(x)，设d u(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以a，b为积分区间求定积分即得用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)u u(x)dx ba注注：量u的特点：1：与区间a,b有关；2：具有可加性。微元法的步骤：微元法的步骤：1：取积分变量并决定其变化区间a,b；2：在区间a,b上找一小区间x,x+x,得微元uf(x)dx

3、=du，且udu=o(dx)3: 在区间a,b上相加(在a,b上做定积分)得( ).bbaauduf x dx主要思想主要思想：以直代曲；以不变代变。二、平面图形的面积oyxaby=f 上(x)y=f 下(x)x x+dx 求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的面积面积元素为：所求图形的面积为：f 上(x)f 下(x)dxa= f 上(x)f 下(x)dxba讨论：下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？ab y=f 上(x) y=f 下(x)oyxa1oyxab y=f 上(x) y=f 下(x)a2oxycdx=f 左( y)x=f 右( y)a3

4、a1=a2= f 上(x)f 下(x)dxba3( )( )dcafyfydy右左oyxab 求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的面积，也可以按如下方法求面积：所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差 y=f 上(x) y=f 下(x) y=f 下(x)a= f 上(x)dxba f 下(x)dxba 例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积 解 在区间0, 1上过x点且垂直于x 轴的直线左侧的面积记为a(x)， 于是面积元素为得所求的图形面积以0, 1为积分区间求定积分011xyx x+dx直线平移dx 后所产生的面积的改

5、变量近似为a(x) y2x yx 2da ( x 2)dx ，x以( x 2)dx为被积表达式，xda = ( x 2)dx ，xa10(xx 2)dx x 2)dx 32x 3/231x3 1 0 31 例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积 解02468x42-2 y 2=2x y=x4(8, 4)(2, -2) 例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积 解求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)将图形向 y 轴投影得区间2，4a(y)为区间2，4上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为于是面积元素为所求的图形面积为

6、da (y 4 y2)dy ，21da = (y 4 y2)dy ，21a42(y 4 21y2)dy y2)dy 21y 24y 61y 3421802468x42-2 y 2=2x y=x4(8, 4)(2, -2) 解 设椭圆在第一象限的面积为a1，则椭圆的面积为a4a1第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为0，a因为面积元素为ydx，于是a 4a1 a b椭圆的参数方程为: yb sin t ， xa cos t ，yxo12222byaxab y dx 所以a0a1 ydx ，a1 a0 ydx b sin t d (a cos t) a b02sin 2t d t ydx 02b

7、 sin t d (a cos t) a b21a b20(1cos 2t )d t (1cos 2t )d t 21a b2 41a b 例 3 求椭圆12222byax所围成的图形面积2. 极坐标的情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素：由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积为xo r () +d 曲边扇形的面积元素：da () 2d 2121a () 2d 例4 计算阿基米德螺线ra (a 0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积 解ox2ara d 2021a a 2 d a 2 3 a 2 3312034da=21 a 2 d a2021 a(1cos

8、 ) 2d 例5 计算心形线ra(1cos ) (a0) 所围成的图形的面积 解oxra(1cos )2a) d da =21 a(1cos ) 2d a 223 2sin 41sin2 023 a 2 a 20(212cos 21cos 2 ) d三、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴 常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、 xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体oxba y yf (x)aoxb y yf (x) 设过区间a，b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为v

9、(x)，旋转体的体积为 dv f (x)2dx ，于是体积元素为 dvf (x)2dx ， 当平面右平移dx后，体积的增量近似为v (x)dx f (x)v f (x)2dx ba x 例1 连接坐标原点o及点p(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体计算这圆锥体的体积体积元素为 解 过原点o及点p(h，r)的直线方程为 xhry dv ( )2dxxhrhrxyoxhry 所求圆锥体的体积为v ( )2dxxhrh0 x 3 h r 2 h022 hr3131及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体旋转体(旋转椭球体)的体积体积元素为

10、于是所求旋转椭球体的体积为abxyodv y 2dx ， 例2 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的12222byax 解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22xaabyv y 2dxaa (a 2x 2)dxaa22ab a 2x x 322ab31aa a b 234ab22xaaby2221sin2xdx221 cos222xdx2222442xy1ov解：2. 平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为a，b，x y obadx则体积元素为a(x)dx ，立体的体积为面与立体相截，已知截面面积为a(x)，v a(x)dx baa(x)过点x 且垂直于x轴的平x 例4

11、 一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积 解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x 2 y 2r 2于是所求的立体体积为) y x o)rrx 2 y 2r 2截面积为a(x) (r 2x 2)tan a ，21v (r 2x 2) tan a dx21rr tan a r 2x x 3rr2131 r 3tan a 3222xr tan a22xr 四、平面曲线的弧长 定理 光滑曲线弧是可求长的 设a，b 是曲线弧的两个端点 在弧ab上任取分点)am0，m1，m2， ，mi1，mi， ，mn1

12、，mnb ，并依次连接相邻的分点得一内接折线当分点的数目无限增加极限存在，且每个小段mi1mi都缩向一点时，是可求长的则称此极限为曲线弧ab的弧长，m0mnabm1m2mn1如果此折线的长 |mi1mi|的 ni 1)并称此曲线弧ab1. 直角坐标的情形 设曲线弧由直角坐标方程yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区间a，b上具有一阶连续导数 曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为，弧长元素(即弧微分)为已知曲线的弧长为ds mxdxdym x+dxdsm0 x0 xyoyf(x)22)()(dydxdxy21，ds，dxy21sbadxy21讨论： (2)设曲线弧由极坐标方程r

13、= r() ( )给出，其中r()在，上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？ (1)设曲线弧由参数方程(t)、(t)在，上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？ ( t )给出，其中)(),(tytx 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区间a，b上具有一阶连续导数，则ds，dxy21sbadxy21dxydymnpo),smompd )22,dsmpdxdy)2211.dydsdxydxdx) ) )2222.dsdxdyx ty tdt) ) )2222.dsdxdyrrd ),yf x ) ),xx tyy t ),rr直角坐标

14、系下参数方程下极坐标 解因此，所求弧长为yx 1/2， 从而弧长元素 例1 计算曲线 上相应于x从a到b的一段弧的长度2/332xy dsdxy21dxx22/1)(1，dxx1sdxxba1bax2/3)1 (32，)1 ()1(322/32/3ab课堂练习课堂练习ln38yxx求曲线对应于的一段弧长？解：1,yx 28311sdxx2831xdxx2221,1,1txtxtdxdtt令322211ttsdttt23322211131ln1ln .12122ttdttt 2. 参数曲线的情形 设曲线弧由参数方程其中(t)、(t)在，上具有连续导数如图dx(t)d t ，所以弧长元素为所求弧长

15、为 ( t )(),(tytxdxdy因为)()(tt，(t)d tds)()(122tt，dttt)()(22st dtt)()(22dxydymnpo 解所求弧长为8a a2 a2ax yo弧长元素为x ( )a (1cos )，y ( )a sin 例3 计算摆线的一拱(0 2 )的长度)cos1 (),sin(ayaxdsdyx)()(22daa2222sin)cos1 (da2sin2s202sin2da202cos22 a3. 极坐标的情形 设曲线弧由极坐标方程给出，其中r()在，上具有连续导数由直角坐标与极坐标的关系可得r = r() ( )于是得弧长元素为从而所求弧长为,sin

16、)(,cos)(ryrxds，drr)()(22sdrr)()(22 解ds于是所求弧长为 例4 求阿基米德螺线ra (a0)相应于 从0到2 一段的弧长s弧长元素为r( ) a ox2ara drr)()(22daa222，da212021da)412ln(412222a(1cos )ra求心形线的全长？课堂练习课堂练习解： ) )22dsrrd)22(1 cos )asad2(1 cos )2cos2aad04cos2ad ) )2202srrd08 sin8 .2aa 作业：p301 9,135.5 定积分在物理中的应用举例 解于是所求的功为wq1orabr r+dr1 例1 把一个带q

17、电量的点电荷放在r轴上坐标原点o处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点o为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(aa 如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a，)上的广义积分，即dxxfa)( 如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区间a，)上的广义blimdxxfba)(dxxfa)(记作 ，blimdxxfba)(，积分 就没有意义，dxxfa)(此时称广义积分 发散dxxfa)(这时也称广义积分 收敛；dxxfa)( 类似地，设函数f(x)在区间(，b 上连续，取a

18、0)1limlimlim0pbpbpbbbbbbeepe定理1：设f(x)为f(x)在区间a,+上的一个原函数，则 )lim( )( )axf x dxf xf a) ).ff a ) )f x dxf x设f(x)为f(x)在区间,+上的一个原函数，则).ff 2arctan.1dxxx0ptte dt01pttdep 0011ptptteedtpp 201ptep 21.p例1：例2： 例 2 计算广义积分dttept0 (p 是常数，且 p0)0000211()111()ptptptptpttedttd eteedtppteppp 111lim()limlim0ptptptttttpte

19、pepe发散当p1时，这广义积分发散11pap因此，当p1时，这广义积分收敛，其值为 ；例3 证明广义积分 (a0)当p1时收敛，当p1时dxxpa1 证 当p1时，dxxpa1dxxa1 lnaxdxxpa1dxxa1 lnaxdxxpa1dxxa1 lnax当p1时，dxxpa1 111apxp11papdxxpa1 111apxp11pap21xdxx例：讨论反常积分的收敛性2222 1lim1lim11xxxdxxxxx22lim1lim1xxxx、都不存在，所以反常积分发散 二、无界函数的广义积分 定义2 设函数f(x)在区间(a，b上连续，而在点a 的右邻域内无界取0，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a，b上的广义积分，仍然记作即，dxxfba)(dxxfba)( 如果上述极限不存在，就称广义积分 发散dxxfba)(dxxfba)(0limdxxfba)(0lim这时也称广义积分 收敛dxxfba)(+uali