5.5 定积分在几何学上的应用(2)

1、 第六章第六章5.5 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用(2)二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积一、旋转体的体积一、旋转体的体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 复习复习 , ,a b(1) 选取积分变量选取积分变量, 如选取如选取 x,并确定并确定 x 的变化范围的变化范围(2) 求求小区间小区间对应部分量对应部分量(3) 所求的量所求的量 ,d ,x xxa bI( )df xxI=dIdI定积分的元素法定积分的元素法:ba( )d .baf xx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 y

2、xOba( )yf x( )yg x(1) 由曲线由曲线( )( ),yf xyg x、与直线与直线)(,babxaxbaA ( )( ),f xg x且所围成的图形的面积所围成的图形的面积 A.( )( ) df xg xx上下结构上下结构平面图形的面积平面图形的面积 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 (2) 由曲线( )( ),xyxy、与直线,()yc ydcddcA ( )( ),yy且所围成的图形的面积 A.( )( ) dyyyyxO( )xy( )xycd左右结构 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 (3) 极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积(

3、 ) 及及,射线围成的曲边扇形围成的曲边扇形A( ) xO设曲线设曲线的面积的面积.21( )d2 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 Oxyba)(xfy 由一个平面图形绕平面内由一个平面图形绕平面内一、旋转体的体积一、旋转体的体积1. 旋转体旋转体:一条直线一条直线旋转旋转一周而成的一周而成的立体立体. 如圆柱、如圆柱、的曲边梯形的曲边梯形曲边梯形曲边梯形坐标轴坐标轴(1) 由连续曲线由连续曲线( ),yf x直线直线,xa xb及及 x 轴所围成轴所围成,xa b绕绕 x 轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的旋转体旋转体的的体积体积.取取 x 为积分变量为积分变量,dbaVVdV(

4、 )f x圆锥、圆锥、 球体等球体等.xdxx2( )df xx2( )df xx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 :解解例例1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点P(h,r)的直线的直线,直线直线 x=h 及及 x 轴轴轴围成一个直角三角形轴围成一个直角三角形,它绕它绕 x 轴旋转得到轴旋转得到圆锥体圆锥体,2drxxh求这个圆锥体的体积求这个圆锥体的体积.取取 x 为积分变量为积分变量,23213rxhh2220dhrxxh0hV 213r hxoy( , )P h r0,xh0hdbaVV2( )df xxOxyba)(xfy ryxh直线直线 OP 的方程为的方程为: 目

5、录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形分别绕所围图形分别绕 x 轴轴, , y 轴轴旋转而成的旋转体的体积旋转而成的旋转体的体积. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: :(1) 绕绕 x 轴旋转轴旋转, ,yaoa xbb取取 x 为积分变量为积分变量,xa a 22byaxa则则V aa222 () dbaxxa2222()daabaxxa2232213ba xxa0a243abdbaVV2( ) df xx222202()dabaxxa 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 的曲边梯形的

6、曲边梯形(2) 由连续曲线由连续曲线( ),xy直线直线,yc yd及及 y 轴所围成轴所围成,yc d而成的而成的旋转体旋转体的的体积体积.取取 y 为积分变量为积分变量,ddcVVdVxocd( )xy绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周y( )xydyy2( )dyy2( )dyy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 yaoa x例例2 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形分别绕所围图形分别绕 x 轴轴, ,y 轴轴旋转而成的旋转体的体积旋转而成的旋转体的体积. . 22axbyb则则2222()dbbabyyb2232213ab yyb0b243a bV 222() da

7、byyb(2) 绕绕 y 轴旋转轴旋转, ,bbbb取取 y 为积分变量为积分变量,yb b 2222(1)yxabddcVV2( )dyy2202()dbbyy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 练习练习3,2,0yx xy由所围成的图形,分别绕 x 轴及 y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.yOx3xy 2(1) 绕 x 轴旋转:0,2x则V 32() dxx20620= dxx77x201287(2) 绕 y 轴旋转:0,8y8则1V 2V 123() dyy802380= dyy13xy5335y809653212VVV96643255228 目录 上页 下页 返回 结

8、束高等数学高等数学 二、平行截面面积已知的立体的体积二、平行截面面积已知的立体的体积则对应于小区间d,xxx的体积元素为dV因此所求立体体积为dbaVV取 x 为积分变量, , .xa b ,d , ,x xxa b( )dA xxxabxxxd)(xA( )dA xx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 xoy计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积. . 交成交成 角角, ,一一平面平面经经过过半径为半径为R的圆柱体的的圆柱体的底圆中心底圆中心, ,并与底面并与底面例例3222xyR取取 x 为积分变量为积分变量, ,解解:,.xR R oxyRR楔形楔形

9、x( )A x222xyRdbaVV( )dA xx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 oxyRR1tan2231tan()3R xx221tan2Rx()截面面积截面面积A(x)V RRx22yRx( )A xtany222xyR1tan2y y221tan2Rxx()d2202RRxx()d0R32tan3RBdbaVV( )dA xx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 .计算该平面截圆柱体所得立体的体积.交成 角，一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面oRRy取 y 为积分变量,0, .yR作垂直于 y 轴的截面.y( )A y y222 Rytany截面

10、面积截面面积0( )dRVA yy2202tandRy Ryy323Rtan( )A ytany 22Rxx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 +dyyy( )xy类似地立体体积d2( )dVyyy2( )d2( )dddccVyyyyyy曲边梯形 绕 x 轴旋转而成( ),0 xyyc yd x 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 如如 xxxdy(sin )(1cos )xa ttyat绕y轴旋转而成的立体体积yV 2)sin(tta(1cos )at22dt02Oxy)0( a202daxy x2( )d2( )dbbaaVxf xxxf xx336 a 目录 上页

11、 下页 返回 结束高等数学高等数学 三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长(1) 曲线弧 L:( )()yf xaxbOxyLabxdxx取 x为积分变量,xa bds 弧微分P11321dyx所求弧长dbass21dyxddyy xdxydy22(d )(d )xy22)(d)(ddyxs弧长元素 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 (2) 曲线弧曲线弧 L :所求弧长所求弧长dss22d( )( ) dsttt)()()(ttytxdx dy ( )dtt( )dtt22( )( )dttt22d(d )(d )sxy(3) 曲线弧曲线弧 L:( )()xycydds 所求弧长所求

12、弧长ddcss21( ) dyy21( )dyydx ( )dyy( )yf xyyL:xx弧长元素弧长元素弧长元素弧长元素 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 (4) 曲线弧 L:( )() 所求弧长所求弧长dss22 ( )( ) dxy22( )( )d sdcosx siny ( )cosx ( )siny L:22( )( )d ( )x( )cos( )sin ( )y( )sin( )cos 22d( )( ) dsttt 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 计算曲线上相应于解解:y 1dx x10s 32213x103223yx01x的一段弧长.x1

13、Oy3223yx2(2 21)3122 33 2xxdbass21dyx10(11d)xx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:22ddddd()() dyxttst )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (22 sind2tat20s2cos22ta02a8a2Oxydss22( )( )dttt222 2sindtat2 sind2tat 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2222(1cos )sindaa例例6 求心形线求心形线的全长的全长.解解:(

14、1cos ) (0)aa22d( )( ) ds 2cos2a2 cosd2a8 sin2a08axOa2由对称性由对称性,02s 1s12 ,ssdss22( )( )d 04cosd2a0, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例7 求连续曲线段2cos dxytt解解:cos0,t 22x xysd1222的弧长.2221( cos ) dxxxxd2cos2220024 2 sin2x4 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1. 旋转体的体积旋转体的体积2( )dbaVfxx绕绕 x 轴轴 :2. 已知平行截面面积函数已知平行截面面积函数 A(x)

15、 的立体体积的立体体积baxxAVd)(绕绕 y 轴轴 :2( )ddcVyy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 4 .平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程22d(d )(d )sxy弧长元素弧长元素:22dds直角坐标方程直角坐标方程22d( )( ) dsttt弧微分弧微分作作 业业P187 5. (1) 6. 9. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 d dAy1 由曲线( ),xy用定积分表示为直线,yc yd及 y 轴围成的平面图形的面积+dyyy2 求图中阴影部分的面积A.解解:, )3,9( , ) 1, 1 ()32(y2y332取 y 为积分变量. 交点为2yx 032yxyxO13y思考与练习思考与练习d( )dAyydcA .+dyy(9,3)(1,1)